Författare:Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
De Moivres formel används för att relativt enkelt kunna beräkna potenser av komplexa tal. Det är en utbyggnad av den regel för multiplikation av komplexa tal på polär form, som vi sett i en tidigare lektion.
De Moivres formel
$z^n=\left(r(\cos v+i\sin v)\right)^n=r^n((\cos(n\cdot v)+i\sin(n\cdot v))$zn=(r(cosv+isinv))n=rn((cos(n·v)+isin(n·v))
De Moivres formel används inte bara för att beräkna potenser, utan är också en förutsättning för att kunna lösa ekvationer på formen $z^n=w$zn=w, där $n$n är ett heltal, även större än $2$2, och $z$z och $w$w är komplexa tal. Detta kommer vi titta närmare på i lektionen som handlar om ekvationer med komplexa rötter.
Exempel 1
Utveckla $z^4$z4 då $z=2(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})$z=2(cosπ6 +isinπ6 ) .
Lösning
Vi använder De Moivres formel.
$z^4=$z4= $2^4(\cos(4\cdot\frac{\pi}{6})+i\sin(4\cdot\frac{\pi}{6}))=$24(cos(4·π6 )+isin(4·π6 ))= $16(\cos\frac{4\pi}{6}+i\sin\frac{4\pi}{6})=$16(cos4π6 +isin4π6 )= $16(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})$16(cos2π3 +isin2π3 )
Exempel i videon
- Bestäm z2z2, z3z3 och znzn då z=2(cos40°+isin40°)z=2(cos40°+isin40°).
- Bestäm z6z6 och svara på formen a+bia+bi om z=1+3iz=1+3i.
- Rita ut zz, z2z2, z3z3 och z4z4 i ett komplext talplan då z=0,5+0,5iz=√0,5+√0,5i.
Kommentarer
e-uppgifter (4)
1.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Låt z=2(cos4π+i sin4π)z=2(cosπ4 +i sinπ4 ) . Beräkna z3z3.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(2/0/0)ME C A B P 2 PL M R K Bestäm ett tal zz så att z4=81(cos2π+i sin2π)z4=81(cosπ2 +i sinπ2 ) .
Svar:Ditt svar:Rätt svar: z=3(cos8π+isin8π)(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(2/0/0)E C A B P 2 PL M R K Låt z=5+5iz=5+5i .
Bestäm ∣q∣|q| då q=z2q=z2
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 50(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(2/0/0)E C A B P 2 PL M R K Låt z=5+5iz=5+5i .
Bestäm argqargq då q=z2q=z2
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 2π(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (4)
5. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Låt z=1+2iz=1+2i . Beräkna z6z6.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Skriv (1+i)5(1+i)5 på formen a+bia+bi .
Svar:Ditt svar:Rätt svar: −4−4i(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(1/1/0)E C A B P 1 PL 1 M R K Vilken av vektorerna beskriver (3+3i)4(3+3i)4 ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(1/1/0)E C A B P 1 PL M R 1 K José menar menar att (−1−2i)4=25( cos974°+i sin974°)(−1−2i)4=25(cos974°+i sin974°).
Felicia menar att (−1−2i)4=25( cos254°+i sin254°)(−1−2i)4=25(cos254°+i sin254°).Vem har rätt? Har de båda rätt eller har ingen rätt?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (2)
9. Premium
(0/1/1)E C A B 1 P PL M R 1 K Vilket zz är sådant att z4z4 är ett reellt tal?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...10. Premium
(0/0/1)E C A B P PL M R 1 K Vilka värden på a>0a>0 gör att zaza alltid får en realdel som är 00 då z=cosπ+i sinπz=cosπ+i sinπ ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Elliot Myrsten
Skrev ”z=-4-4i” på fråga 4, fick fel svar 🙁
Sara Petrén Olauson
I uppgiften står inget om att talet betecknas z, det blir därför fel om det läggs till i svaret. Det korrekta svaret är alltså −4−4i.
Anders Johansson
Exemplet i videon: rätt svar är (1+3i)^6 = 352 + 936i
inte 349 + 937i som i videon, avrundningsfel i den polära formen, 71,6 grader. Om vi behåller decimalerna i räknaren så blir det rätt. Kanske bättre att skriva 71,565… i genomgången.
bigr
Hej! Jättebra sida.
Om fråga 4: Jag förstår inte varför √2^5 blir 4√2? Jag förstår heller inte varför argumentet omvandlas till radianer. Man gör ju inte det i de andra fallen, hur ska man veta att man ska göra det här? I uppgift 5 ger exempelvis argumentet av z också 1, men här omvandlar man det inte till radianer.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, Vi kan skriva det som
25=24⋅21=4⋅2
Blir det tydligare då?
Vi skall göra så att vi lägger till en förklaring med grader också, det går lika bra och det spelar egentligen ingen roll vilket vinkelmått som används där. Men då de andra uppgifterna använder grader så förstår jag att det kan vara lite förvirrande.
BotenAnnie
men om du har en formel där det står (roten ur 3 + i) ^9 och du ska svara på formen a+ bi? hur gör jag då?
Simon Rybrand (Moderator)
Då behöver du först skriva om på polär form och när detta är klart och du har använt de Moivres kan du gå tillbaka igen till formen a + bi genom att beräkna cosv och sinv.
HenrikOlsmar
Hej! I fråga ett beräknar vi sin + isin vilket inte överensstämmer med de fyra svaren där vi har beräknat cos + isin.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Uppgiftsbeskrivningen i den uppgiften är felaktig, tack för att du uppmärksammade oss på detta.
Det är korrigerat.
Endast Premium-användare kan kommentera.