00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 4
/  Komplexa tal och Polynom

De Moivres formel och Potenser av komplexa tal

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

De Moivres formel används för att relativt enkelt kunna beräkna potenser av komplexa tal. Det är en utbyggnad av den regel för multiplikation av komplexa tal på polär form, som vi sett i en tidigare lektion.

De Moivres formel

 $z^n=\left(r(\cos v+i\sin v)\right)^n=r^n((\cos(n\cdot v)+i\sin(n\cdot v))$zn=(r(cosv+isinv))n=rn((cos(n·v)+isin(n·v)) 

De Moivres formel används inte bara för att beräkna potenser, utan är också en förutsättning för att kunna lösa ekvationer på formen  $z^n=w$zn=w, där  $n$n  är ett heltal, även större än  $2$2, och  $z$z  och  $w$w  är komplexa tal. Detta kommer vi titta närmare på i lektionen som handlar om ekvationer med komplexa rötter.

Exempel 1

Utveckla  $z^4$z4  då  $z=2(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})$z=2(cosπ6 +isinπ6 ) .

Lösning

Vi använder De Moivres formel.

 $z^4=$z4= $2^4(\cos(4\cdot\frac{\pi}{6})+i\sin(4\cdot\frac{\pi}{6}))=$24(cos(4·π6 )+isin(4·π6 ))= $16(\cos\frac{4\pi}{6}+i\sin\frac{4\pi}{6})=$16(cos4π6 +isin4π6 )=  $16(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})$16(cos2π3 +isin2π3 ) 

Exempel i videon

  • Bestäm  z2z^2z2,  z3z^3z3  och  znz^nzn  då  z=2(cos40°+isin40°)z=2(\cos40°+i\sin40°)z=2(cos40°+isin40°).
  • Bestäm  z6z^6z6  och svara på formen  a+bia+bia+bi  om  z=1+3iz=1+3iz=1+3i.
  • Rita ut  zzz,  z2z^2z2,  z3z^3z3  och  z4z^4z4  i ett komplext talplan då  z=0,5+0,5iz=\sqrt{0,5}+\sqrt{0,5}iz=0,5+0,5i.