00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 4
/  Komplexa tal och Polynom

Ekvationer med komplexa rötter

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

De imaginära talen var en ny typ av tal, som utformades bland annat för att kunna hantera ekvationer där lösningen krävde att dra roten ur ett negativt tal. Med de imaginära talen och definitionen av  $i^2=-1$i2=1 ges just den möjligheten. Roten (lösningen) till en sådan ekvation är ett komplext tal.

Enkla ekvationer med komplexa rötter

Vissa ekvationer med komplexa rötter liknar de ”vanliga” andragradsekvationerna, och då kan roten ur, nollproduktmetoden eller pq-formeln användas. Det vi behöver komplettera metoderna med är att  i2=1i^2=-1i2=1.

Exempel 1

Lös ekvationen  x28x+25=0x^2-8x+25=0x28x+25=0 .

Lösning

Vi använder pq-formeln:
 x28x+25=0x^2-8x+25=0x28x+25=0 
 x=4±1625x=4\pm\sqrt{16-25}x=4±1625 
 x=4±9x=4\pm\sqrt{-9}x=4±9 
 x=4±3ix=4\pm3ix=4±3i 

Ekvationens lösningar är

{x1=4+3ix2=43i  \begin{cases} x_1=4+3i \\ x_2=4-3i  \end{cases}

Ekvationer av typen zn=wz^n = w

Det finns även ekvationer där både högerled och vänsterled består av komplexa tal. En strategi för att lösa dessa ekvationer är följande:

  1. Skriv om  VLVLVL  och  HLHLHL  på polär form
  2. Sätt leden lika med varandra och lös ut argumentet med periodicitet och absolutbeloppet.
  3. Använd argumentets periodicitet för att hitta alla lösningar till ekvationen.

Exempel 2

Lös ekvationen  z4=iz^4=iz4=i 

Lösning

Eftersom ekvationen är en fjärdegradsekvation finns fyra möjliga lösningar. Vi börjar med att skriva om VLVLVL och HLHLHL till polär form för att sedan sätta dem lika med varandra och lösa ekvationen.

 z=r(cosv+isinv)z=r(\cos v+i\sin v)z=r(cosv+isinv) 
 VL=z4=r4(cos4v+isin4v)VL=z^4=r^4(\cos4v+i\sin4v)VL=z4=r4(cos4v+isin4v)  enligt de Moivres formel

 HL=i=0+iHL=i=0+iHL=i=0+i  på rektangulär form, vilket ger absolutbeloppet:
 0+i=02+12=1|0+i|=\sqrt{0^2+1^2}=1|0+i|=02+12=1 
Argumentet är  π2\frac{\pi}{2}π2   eftersom talet  iii  ligger på den positiva imaginära axeln i det komplexa talplanet. 
Detta innebär att  iii  på polärform är  1(cosπ2+i sinπ2)1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{2}\right)1(cosπ2 +i sinπ2 ).

Likheten VL=HLVL=HLVL=HL ger att:
 r4(cos4v+i sin4v)=1(cosπ2+i sinπ2)r^4(\cos4v+i\text{ }\sin4v)=1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{2}\right)r4(cos4v+i sin4v)=1(cosπ2 +i sinπ2 ) 

Det leder till 
{r4=14v=π2+n2π \begin{cases} r^4=1\\ 4v=\frac{\pi }{2}+n \cdot 2\pi  \end{cases}

Vi får 
 r4=1r^4=1r4=1  
 r=1r=1r=1 

och kan bestämma vvv genom 
 4v=π2+n2π4v=\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi4v=π2 +n·2π 
 v=π8+nπ2v=\frac{\pi}{8}+n\cdot\frac{\pi}{2}v=π8 +n·π2  

 \text{⇒}   z=cos(π8+nπ2)+i sin(π8+nπ2)z=\cos\left(\frac{\pi}{8}+n\cdot\frac{\pi}{2}\right)+i\text{ }\sin\left(\frac{\pi}{8}+n\cdot\frac{\pi}{2}\right)z=cos(π8 +n·π2 )+i sin(π8 +n·π2 ) 

För att få de fyra olika lösningarna kan vi nu sätta   n=0, 1, 2, 3n=0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3n=0, 1, 2, 3  och förenkla ekvationen.

För  n=0n=0n=0 gäller 
 v1=π8+0π2=π8v_1=\frac{\pi}{8}+0\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}v1=π8 +0·π2 =π8   som ger 
 z1=cosπ8+i sinπ8z_1=\cos\frac{\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{8}z1=cosπ8 +i sinπ8  

För  n=1n=1n=1 gäller 
 v2=π8+1π2=5π8v_2=\frac{\pi}{8}+1\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{8}v2=π8 +1·π2 =5π8   som ger 
 z2=cos5π8+i sin5π8z_2=\cos\frac{5\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{5\pi}{8}z2=cos5π8 +i sin5π8  

För  n=2n=2n=2 gäller 
 v3=π8+2π2=9π8v_3=\frac{\pi}{8}+2\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{9\pi}{8}v3=π8 +2·π2 =9π8   som ger 
 z3=cos9π8+i sin9π8z_3=\cos\frac{9\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{9\pi}{8}z3=cos9π8 +i sin9π8  

För  n=3n=3n=3  gäller 
 v4=π8+3π2=13π8v_4=\frac{\pi}{8}+3\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi}{8}v4=π8 +3·π2 =13π8   som ger 
 z4=cos13π8+i sin13π8z_4=\cos\frac{13\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{13\pi}{8}z4=cos13π8 +i sin13π8  

De fyra lösningarna till ekvationen  z4=iz^4=iz4=i  är

{z1=cosπ8+isinπ8z2=cos5π8+isin5π8z3=cos9π8+isin9π8z4=cos13π8+isin13π8\begin{cases} z_1=\cos \frac{\pi }{8}+i\sin \frac{\pi }{8}\\ z_2=\cos \frac{5\pi }{8}+i\sin \frac{5\pi }{8}\\z_3=\cos \frac{9\pi }{8}+i\sin \frac{9\pi }{8}\\z_4=\cos \frac{13\pi }{8}+i\sin \frac{13\pi }{8} \end{cases}

Beräknar vi vinkeln för n=4n=4n=4 kommer den att sammanfalla med π8\frac{\pi}{8}π8  eftersom att 17π8=16π8+π8=π8+\frac{17\pi}{8}=\frac{16\pi}{8}+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{8}+17π8 =16π8 +π8 =π8 +2π2\pi2π , dvs vinkeln på nästa varv. Eftersom det ger samma komplexa rot som  z1z_1z1  behöver vi inte ange det som en lösning till ekvationen.

Grafisk tolkning av rötterna

I exemplet ovan ser vi att rötterna hamnar på en cirkel med medelpunkten i origo och radien  111, vilket motsvarar absolutbeloppet av iii

Mönstret att rötterna fördelar sig symmetriskt som punkter på en cirkel är återkommande när vi löser ekvationer på formen  zn=wz^n=wzn=w  där nnn är ett positivt helt tal och www ett komplext tal. Vi kan sammanfatta det på följande vis:

Lösningarna till ekvationen  zn=wz^n=wzn=w  i det komplexa talplanet utgör hörn i en regelbunden nnn-hörning med medelpunkten i origo.

Exempel i videon

  • Lös ekvationen x2=16 x^2=-16 .
  • Lös ekvationen x2+4x+13=0 x^2+4x+13=0 .
  • Lös ekvationen z4=16i z^4=16i .
  • Lös ekvationen z3=1 z^3=1 .