...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 4
 /   Komplexa tal och Polynom

Ekvationer med komplexa rötter

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 99 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

En av grundförutsättningarna för att utforma nya typer av tal (de imaginära talen) är att man vill kunna lösa ekvationer där vi behöver kunna ta roten ur ett negativt tal. Med de imaginära talen och definitionen av $i^2 = -1$ hittar vi en sådan möjlighet. Så om vi vill lösa en ekvation där vi behöver ta roten ur ett negativt tal har vi den möjligheten.

Enkla ekvationer med komplexa rötter

Vissa ekvationer med komplexs rötter (lösningar) liknar de vanligaste andragradsekvationerna och man kan använda sig av roten ur, nollproduktmetoden eller pq-formeln för att lösa dessa. Tänk bara på att använda dig av att $i^2 = -1$.

Ett exempel på detta kan vara följande ekvation.

Exempel 1

Lös ekvationen $ x^2+8x+25 = 0 $.

Lösning

$ x^2+8x+25 = 0 ⇔ $ (pq-formeln)

$ x= -4 ±\sqrt{16-25} ⇔ $

$ x= -4 ±\sqrt{-9} = -4±3i  $

Vi får alltså att ekvationenes lösningar är

$ \begin{cases} x_1=-4+3i \\ x_2=-4-3i  \end{cases}$

Ekvationer av typen $z^n = w$

Det finns även ekvationer där både högerled och vänsterled består av komplexa tal. Metoden för att lösa dessa ekvationer går vi igenom i videon och strategin som där presenteras är följande.

  1. Skriv om VL och HL på polär form
  2. Sätt leden lika med varandra och lös ut argumentet med periodicitet och absolutbeloppet.
  3. Använd argumentets periodicitet för att hitta alla lösningar till ekvationen.

Exempel 2

Lös ekvationen  $z^4=i$z4=i 

Lösning

Eftersom att ekvationen är en fjärdegradsfunktion finns fyra möjliga lösningar. Vi börjar med att skriva om $VL$VL och $HL$HL till polär form för att kunna sätta dem lika med varandra och lösa ekvationen.

 $VL=z^4=r^4(\cos(4\cdot v)+i\text{ }\sin(4\cdot v))$VL=z4=r4(cos(4·v)+i sin(4·v))  enligt de Moivres formel

 $HL=i$HL=i 

Då det komplexa talet $i=0+i$i=0+i  i rektangulär form, är absolutbeloppet för $HL$HL 

 $|0+i|=\sqrt{0^2+1^2}=1$|0+i|=02+12=1 

Argumentet är$\frac{\pi}{2}$π2  eftersom talet  $i$i  ligger på den imaginära koordinataxeln i det komplexa talplanet, alltså rakt upp i koordinatsystemet. 

Det leder till att  $i$i skrivet i i polärform är  $1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{2}\right)$1(cosπ2 +i sinπ2 ).

För att likheten $VL=HL$VL=HL ska gälla, måste $r^4(\cos4v+i\text{ }\sin4v)=1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{2}\right)$r4(cos4v+i sin4v)=1(cosπ2 +i sinπ2 ).

Det leder till att

$\begin{cases} r^4=1\\ 4v=\frac{\pi }{2}+n \cdot 2\pi  \end{cases}$

Vi får att

 $r^4=1$r4=1  

 $r=1$r=1 

och $v$v får vi fram genom att

 $4v=\frac{\pi}{2}+2\pi n$4v=π2 +2πn

$v=\frac{\pi}{8}+n\cdot\frac{\pi}{2}$v=π8 +n·π2  

De fyra olika lösningarna får vi nu av att sätta   $n=0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3$n=0, 1, 2, 3 och förenkla ekvationen.

För  $n=0$n=0 gäller att

  $v=\frac{\pi}{8}+0\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}$v=π8 +0·π2 =π8  som ger att    $z₁=1(\cos\frac{\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{8})$z=1(cosπ8 +i sinπ8 ) 

För  $n=1$n=1 gäller att

 $v=\frac{\pi}{8}+1\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{8}$v=π8 +1·π2 =5π8   som ger att   $z₂=1(\cos\frac{5\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{5\pi}{8})$z=1(cos5π8 +i sin5π8 ) 

För  $n=2$n=2 gäller att

 $v=\frac{\pi}{8}+2\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{9\pi}{8}$v=π8 +2·π2 =9π8   som ger att    $z₃=1(\cos\frac{9\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{9\pi}{8})$z=1(cos9π8 +i sin9π8 ) 

För  $n=3$n=3  gäller att

 $v=\frac{\pi}{8}+3\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi}{8}$v=π8 +3·π2 =13π8   som ger att   $z_4=1(\cos\frac{13\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{13\pi}{8})$z4=1(cos13π8 +i sin13π8 ) 

Vi får att de fyra lösningarna är

$\begin{cases} z_1=\cos \frac{\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{\pi }{8}\\ z_2=\cos \frac{5\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{5\pi }{8}\\z_3=\cos \frac{9\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{9\pi }{8}\\z_4=\cos \frac{13\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{13\pi }{8} \end{cases}$

Beräknar vi vinkeln för $n=4$n=4 kommer den att sammanfalla med $\frac{\pi}{8}$π8  eftersom att $\frac{17\pi}{8}=\frac{16\pi}{8}+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{8}+$17π8 =16π8 +π8 =π8 +$2\pi$2π  alltså vinkeln på nästa varv. Därför behöver vi inte ange det som en lösning till ekvationen efter som att det ger samma komplexa rot.

Grafisk tolkning av rötterna

I exemplet ovan ser vi att rötterna hamnar på en cirkel med medelpunkten i origo och med radien $1$1, vilket motsvara absolutbeloppet av $i$i

Mönstret att rötterna fördelar sig symmetriskt som punkter på en cirkel kommer upprepa sig när vi löser ekvationer på formen  $z^n=w$zn=w  där $n$n är ett positivt helt tal och $w$w ett komplext tal. Vi kan sammanfatta det på följande vis.

Lösningarna till ekvationen  $z^n=w$zn=w  i det komplexa talplanet utgör hörn i en regelbunden $n$n -hörning med medelpunkten i origo.

Exempel i videon

  • Lös ekvationen $ x^2=-16 $.
  • Lös ekvationen $ x^2+4x+13=0 $.
  • Lös ekvationen $ z^4=16i $.
  • Lös ekvationen $ z^3=1 $.

Kommentarer

Daniel Öhman

Hur kommer man fram till argumentet? Har tittat igenom alla video tills denna och verkar inte kunna hitta svaret.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Kolla här: https://eddler.se/lektioner/komplexa-tal-pa-polar-form/

Jacob Nilsson

Skriv z = 1−i √3 på polär form, bestäm sedan z^11 på rektangulär form (a+i b ).

Här undrar jag om argumentet ska vara -pi/3 eller 2pi/3? Jag har fått lära mig att jag ska addera ett pi om argumentet blir negativt. Sedan när jag ska bestämma z^11 så får jag inte riktigt till det

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du har absolutbeloppet
    $\sqrt{1^2+\sqrt(3)^2}=\sqrt{4}=2$
    Gällande argumentet så kika på den här videon om komplexa tal på polär form, där förklarar vi hur man tänker kring detta. Men kortfattat så finns talet i fjärde kvadranten och då får vi
    $v = 2\pi – arctan(\sqrt{3})$
    Hoppas att det här hjälper dig vidare!

Karl Tellander

Mitt tal: z^2+2z+2= 0 Blir med hjälp av pq formerln.
-1 +/- roten ur -1.

Hur bryter jag ur i ur -1?

i = \sqrt{-1}

    Simon Rybrand (Moderator)

    Här har vi ju
    $z^2+2{z}+2=0 ⇔$
    $\mathrm{z}=-1 \pm \sqrt{1-2}$
    $\mathrm{z}=-1 \pm \sqrt{-1}$
    Här gäller att $ \sqrt{-1} = i $ så du kan svara
    $ z=-1 \pm i $
    Du behöver inte ”bryta ut” -1 där utan det räcker med att använda dig av imaginära tal för att kunna svara.
    Du kan även ange bägge rötterna som
    $\begin{cases} z_1=-1+i \\ z_2=-1-i \end{cases}$

soulpat

ekvationen z^5=-32 är given.
Skriv om ekvationen i polär form:

Mitt förslag: r^5(cos5v+isin5v)=32(cos0+isin0)
Facit: r^5(cos5v+isin5v)=32(cos(180+360*n)+isin(180+360*n))

Vart får man 180 grader ifrån? Jag får det till 0.

    soulpat

    Tror jag förstår nu!

      Simon Rybrand (Moderator)

      Vad bra, skönt att läsa!


Endast Premium-användare kan kommentera.

Visa medaljer Visa timer Starta timer automatiskt Lämna in vid tidsslut Rätta en uppgift i taget Redigera övning
Tid kvar
00:00
  • E
    0/0
  • C
    0/0
  • A
    0/0
Totalpoäng
0/0

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (2)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Lös ekvationen $z^2=-81$z2=81 .

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Lös ekvationen $z^2+2z+2=0$.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (1)

  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Lös ekvationen $z^3=27i$z3=27i

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 99 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 99 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Visa medaljer Visa timer Starta timer automatiskt Lämna in vid tidsslut Rätta en uppgift i taget Visa detaljerad matris Redigera övning Redigera lektion
Tid kvar
00:00
Totalpoäng
0/0
  • E
    0/0
  • C
    0/0
  • A
    0/0
E C A
Totalt
Dina svar lämnas in automatiskt.