Ekvationer med komplexa rötter

Exempel 1

Lös ekvationen  $x^2-8x+25=0$x²−8x+25=0 .

Lösning

Vi använder pq-formeln:
 $x^2-8x+25=0$x²−8x+25=0 
 $x=4\pm\sqrt{16-25}$x=4±√16−25 
 $x=4\pm\sqrt{-9}$x=4±√−9 
 $x=4\pm3i$x=4±3i 

Ekvationens lösningar är

$ \begin{cases} x_1=4+3i \\ x_2=4-3i  \end{cases}$

Exempel 2

Lös ekvationen  $z^4=i$z⁴=i 

Lösning

Eftersom ekvationen är en fjärdegradsekvation finns fyra möjliga lösningar. Vi börjar med att skriva om $VL$VL och $HL$HL till polär form för att sedan sätta dem lika med varandra och lösa ekvationen.

 $z=r(\cos v+i\sin v)$z=r(cosv+isinv) 
 $VL=z^4=r^4(\cos4v+i\sin4v)$VL=z⁴=r⁴(cos4v+isin4v)  enligt de Moivres formel

 $HL=i=0+i$HL=i=0+i  på rektangulär form, vilket ger absolutbeloppet:
 $|0+i|=\sqrt{0^2+1^2}=1$|0+i|=√0²+1²=1 
Argumentet är  $\frac{\pi}{2}$π2   eftersom talet  $i$i  ligger på den positiva imaginära axeln i det komplexa talplanet. 
Detta innebär att  $i$i  på polärform är  $1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{2}\right)$1(cosπ2 +i sinπ2 ).

Likheten $VL=HL$VL=HL ger att:
 $r^4(\cos4v+i\text{ }\sin4v)=1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{2}\right)$r⁴(cos4v+i sin4v)=1(cosπ2 +i sinπ2 ) 

Det leder till 
$\begin{cases} r^4=1\\ 4v=\frac{\pi }{2}+n \cdot 2\pi  \end{cases}$

Vi får 
 $r^4=1$r⁴=1  
 $r=1$r=1 

och kan bestämma $v$v genom 
 $4v=\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$4v=π2 +n·2π 
 $v=\frac{\pi}{8}+n\cdot\frac{\pi}{2}$v=π8 +n·π2  

 $\text{⇒}$⇒   $z=\cos\left(\frac{\pi}{8}+n\cdot\frac{\pi}{2}\right)+i\text{ }\sin\left(\frac{\pi}{8}+n\cdot\frac{\pi}{2}\right)$z=cos(π8 +n·π2 )+i sin(π8 +n·π2 ) 

För att få de fyra olika lösningarna kan vi nu sätta   $n=0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3$n=0, 1, 2, 3  och förenkla ekvationen.

För  $n=0$n=0 gäller 
 $v_1=\frac{\pi}{8}+0\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}$v₁=π8 +0·π2 =π8   som ger 
 $z_1=\cos\frac{\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{8}$z₁=cosπ8 +i sinπ8  

För  $n=1$n=1 gäller 
 $v_2=\frac{\pi}{8}+1\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{8}$v₂=π8 +1·π2 =5π8   som ger 
 $z_2=\cos\frac{5\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{5\pi}{8}$z₂=cos5π8 +i sin5π8  

För  $n=2$n=2 gäller 
 $v_3=\frac{\pi}{8}+2\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{9\pi}{8}$v₃=π8 +2·π2 =9π8   som ger 
 $z_3=\cos\frac{9\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{9\pi}{8}$z₃=cos9π8 +i sin9π8  

För  $n=3$n=3  gäller 
 $v_4=\frac{\pi}{8}+3\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi}{8}$v₄=π8 +3·π2 =13π8   som ger 
 $z_4=\cos\frac{13\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{13\pi}{8}$z₄=cos13π8 +i sin13π8  

De fyra lösningarna till ekvationen  $z^4=i$z⁴=i  är

$\begin{cases} z_1=\cos \frac{\pi }{8}+i\sin \frac{\pi }{8}\\ z_2=\cos \frac{5\pi }{8}+i\sin \frac{5\pi }{8}\\z_3=\cos \frac{9\pi }{8}+i\sin \frac{9\pi }{8}\\z_4=\cos \frac{13\pi }{8}+i\sin \frac{13\pi }{8} \end{cases}$