███████████████
/ ██████████████████████████
Ekvationer med komplexa rötter
Innehåll
En av grundförutsättningarna för att utforma nya typer av tal (de imaginära talen) är att man vill kunna lösa ekvationer där vi behöver kunna ta roten ur ett negativt tal. Med de imaginära talen och definitionen av $i^2 = -1$ hittar vi en sådan möjlighet. Så om vi vill lösa en ekvation där vi behöver ta roten ur ett negativt tal har vi den möjligheten.
Enkla ekvationer med komplexa rötter
Vissa ekvationer med komplexs rötter (lösningar) liknar de vanligaste andragradsekvationerna och man kan använda sig av roten ur, nollproduktmetoden eller pq-formeln för att lösa dessa. Tänk bara på att använda dig av att $i^2 = -1$.
Ett exempel på detta kan vara följande ekvation.
Lös ekvationen $ x^2+8x+25 = 0 $.
Lösning:
$ x^2+8x+25 = 0 ⇔ $ (pq-formeln)
$ x= -4 ±\sqrt{16-25} ⇔ $
$ x= -4 ±\sqrt{-9} = -4±3i $
Svar:
$ \begin{cases} x_1=-4+3i \\ x_2=-4-3i \end{cases}$
Ekvationer av typen $z^n = w$
Det finns även ekvationer där både högerled och vänsterled består av komplexa tal. Metoden för att lösa dessa ekvationer går vi igenom i videon och strategin som där presenteras är följande:
- Skriv om VL och HL på polär form,
- Sätt leden lika och lös ut argumentet (med periodicitet) och absolutbeloppet.
- Använd argumentets periodicitet för att hitta alla lösningar till ekvationen.
Exempel i videon
- Lös ekvationen $ x^2=-16 $.
- Lös ekvationen $ x^2+4x+13=0 $.
- Lös ekvationen $ z^4=16i $.
- Lös ekvationen $ z^3=1 $.
Kommentarer
e-uppgifter (3)
-
1. Premium
Rapportera fel Lös ekvationen $z^2=-81$.
Rättar... -
2. Premium
Rapportera fel Lös ekvationen $z^2+2z+2=0$.
Rättar... -
3. Premium
Rapportera fel Lös ekvationen $z^3=27i$.
Rättar...
Jacob Nilsson
Skriv z = 1−i √3 på polär form, bestäm sedan z^11 på rektangulär form (a+i b ).
Här undrar jag om argumentet ska vara -pi/3 eller 2pi/3? Jag har fått lära mig att jag ska addera ett pi om argumentet blir negativt. Sedan när jag ska bestämma z^11 så får jag inte riktigt till det
Simon Rybrand (Moderator)
Du har absolutbeloppet
$\sqrt{1^2+\sqrt(3)^2}=\sqrt{4}=2$
Gällande argumentet så kika på den här videon om komplexa tal på polär form, där förklarar vi hur man tänker kring detta. Men kortfattat så finns talet i fjärde kvadranten och då får vi
$v = 2\pi – arctan(\sqrt{3})$
Hoppas att det här hjälper dig vidare!
Karl Tellander
Mitt tal: z^2+2z+2= 0 Blir med hjälp av pq formerln.
-1 +/- roten ur -1.
Hur bryter jag ur i ur -1?
i = \sqrt{-1}
Simon Rybrand (Moderator)
Här har vi ju
$z^2+2{z}+2=0 ⇔$
$\mathrm{z}=-1 \pm \sqrt{1-2}$
$\mathrm{z}=-1 \pm \sqrt{-1}$
Här gäller att $ \sqrt{-1} = i $ så du kan svara
$ z=-1 \pm i $
Du behöver inte ”bryta ut” -1 där utan det räcker med att använda dig av imaginära tal för att kunna svara.
Du kan även ange bägge rötterna som
$\begin{cases} z_1=-1+i \\ z_2=-1-i \end{cases}$
soulpat
ekvationen z^5=-32 är given.
Skriv om ekvationen i polär form:
Mitt förslag: r^5(cos5v+isin5v)=32(cos0+isin0)
Facit: r^5(cos5v+isin5v)=32(cos(180+360*n)+isin(180+360*n))
Vart får man 180 grader ifrån? Jag får det till 0.
soulpat
Tror jag förstår nu!
Simon Rybrand (Moderator)
Vad bra, skönt att läsa!
Endast Premium-användare kan kommentera.