Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Ekvationer med komplexa rötter
Innehåll
En av grundförutsättningarna för att utforma nya typer av tal (de imaginära talen) är att man vill kunna lösa ekvationer där vi behöver kunna ta roten ur ett negativt tal. Med de imaginära talen och definitionen av $i^2 = -1$ hittar vi en sådan möjlighet. Så om vi vill lösa en ekvation där vi behöver ta roten ur ett negativt tal har vi den möjligheten.
Enkla ekvationer med komplexa rötter
Vissa ekvationer med komplexs rötter (lösningar) liknar de vanligaste andragradsekvationerna och man kan använda sig av roten ur, nollproduktmetoden eller pq-formeln för att lösa dessa. Tänk bara på att använda dig av att $i^2 = -1$.
Ett exempel på detta kan vara följande ekvation.
Exempel 1
Lös ekvationen $ x^2+8x+25 = 0 $.
Lösning
$ x^2+8x+25 = 0 ⇔ $ (pq-formeln)
$ x= -4 ±\sqrt{16-25} ⇔ $
$ x= -4 ±\sqrt{-9} = -4±3i $
Vi får alltså att ekvationenes lösningar är
$ \begin{cases} x_1=-4+3i \\ x_2=-4-3i \end{cases}$
Ekvationer av typen $z^n = w$
Det finns även ekvationer där både högerled och vänsterled består av komplexa tal. Metoden för att lösa dessa ekvationer går vi igenom i videon och strategin som där presenteras är följande.
- Skriv om VL och HL på polär form
- Sätt leden lika med varandra och lös ut argumentet med periodicitet och absolutbeloppet.
- Använd argumentets periodicitet för att hitta alla lösningar till ekvationen.
Exempel 2
Lös ekvationen $z^4=i$z4=i
Lösning
Eftersom att ekvationen är en fjärdegradsfunktion finns fyra möjliga lösningar. Vi börjar med att skriva om $VL$VL och $HL$HL till polär form för att kunna sätta dem lika med varandra och lösa ekvationen.
$VL=z^4=r^4(\cos(4\cdot v)+i\text{ }\sin(4\cdot v))$VL=z4=r4(cos(4·v)+i sin(4·v)) enligt de Moivres formel
$HL=i$HL=i
Då det komplexa talet $i=0+i$i=0+i i rektangulär form, är absolutbeloppet för $HL$HL
$|0+i|=\sqrt{0^2+1^2}=1$|0+i|=√02+12=1
Argumentet är$\frac{\pi}{2}$π2 eftersom talet $i$i ligger på den imaginära koordinataxeln i det komplexa talplanet, alltså rakt upp i koordinatsystemet.
Det leder till att $i$i skrivet i i polärform är $1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{2}\right)$1(cosπ2 +i sinπ2 ).
För att likheten $VL=HL$VL=HL ska gälla, måste $r^4(\cos4v+i\text{ }\sin4v)=1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{2}\right)$r4(cos4v+i sin4v)=1(cosπ2 +i sinπ2 ).
Det leder till att
$\begin{cases} r^4=1\\ 4v=\frac{\pi }{2}+n \cdot 2\pi \end{cases}$
Vi får att
$r^4=1$r4=1
$r=1$r=1
och $v$v får vi fram genom att
$4v=\frac{\pi}{2}+2\pi n$4v=π2 +2πn
$v=\frac{\pi}{8}+n\cdot\frac{\pi}{2}$v=π8 +n·π2
De fyra olika lösningarna får vi nu av att sätta $n=0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3$n=0, 1, 2, 3 och förenkla ekvationen.
För $n=0$n=0 gäller att
$v=\frac{\pi}{8}+0\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}$v=π8 +0·π2 =π8 som ger att $z₁=1(\cos\frac{\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{8})$z₁=1(cosπ8 +i sinπ8 )
För $n=1$n=1 gäller att
$v=\frac{\pi}{8}+1\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{8}$v=π8 +1·π2 =5π8 som ger att $z₂=1(\cos\frac{5\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{5\pi}{8})$z₂=1(cos5π8 +i sin5π8 )
För $n=2$n=2 gäller att
$v=\frac{\pi}{8}+2\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{9\pi}{8}$v=π8 +2·π2 =9π8 som ger att $z₃=1(\cos\frac{9\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{9\pi}{8})$z₃=1(cos9π8 +i sin9π8 )
För $n=3$n=3 gäller att
$v=\frac{\pi}{8}+3\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi}{8}$v=π8 +3·π2 =13π8 som ger att $z_4=1(\cos\frac{13\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{13\pi}{8})$z4=1(cos13π8 +i sin13π8 )
Vi får att de fyra lösningarna är
$\begin{cases} z_1=\cos \frac{\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{\pi }{8}\\ z_2=\cos \frac{5\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{5\pi }{8}\\z_3=\cos \frac{9\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{9\pi }{8}\\z_4=\cos \frac{13\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{13\pi }{8} \end{cases}$
Beräknar vi vinkeln för $n=4$n=4 kommer den att sammanfalla med $\frac{\pi}{8}$π8 eftersom att $\frac{17\pi}{8}=\frac{16\pi}{8}+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{8}+$17π8 =16π8 +π8 =π8 +$2\pi$2π alltså vinkeln på nästa varv. Därför behöver vi inte ange det som en lösning till ekvationen efter som att det ger samma komplexa rot.
Grafisk tolkning av rötterna
I exemplet ovan ser vi att rötterna hamnar på en cirkel med medelpunkten i origo och med radien $1$1, vilket motsvara absolutbeloppet av $i$i.
Mönstret att rötterna fördelar sig symmetriskt som punkter på en cirkel kommer upprepa sig när vi löser ekvationer på formen $z^n=w$zn=w där $n$n är ett positivt helt tal och $w$w ett komplext tal. Vi kan sammanfatta det på följande vis.
Lösningarna till ekvationen $z^n=w$zn=w i det komplexa talplanet utgör hörn i en regelbunden $n$n -hörning med medelpunkten i origo.
Exempel i videon
- Lös ekvationen $ x^2=-16 $.
- Lös ekvationen $ x^2+4x+13=0 $.
- Lös ekvationen $ z^4=16i $.
- Lös ekvationen $ z^3=1 $.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (2)
-
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen $z^2=-81$z2=−81 .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen $z^2+2z+2=0$.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
c-uppgifter (1)
-
3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)M NP INGÅR EJE C A B P 2 PL M R K Lös ekvationen $z^3=27i$z3=27i
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
rahand shaker
Hej!
Lyckas inte förstå var periodicitet kommer ifrån?
Johan Schmidt
Är det ett krav att man ska förenkla svaren till bråk? Min miniräknare ger mig endast decimalform så det känns som att det blir mer exakt att bara svara i polär form.
Daniel Öhman
Hur kommer man fram till argumentet? Har tittat igenom alla video tills denna och verkar inte kunna hitta svaret.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Kolla här: https://eddler.se/lektioner/komplexa-tal-pa-polar-form/
Jacob Nilsson
Skriv z = 1−i √3 på polär form, bestäm sedan z^11 på rektangulär form (a+i b ).
Här undrar jag om argumentet ska vara -pi/3 eller 2pi/3? Jag har fått lära mig att jag ska addera ett pi om argumentet blir negativt. Sedan när jag ska bestämma z^11 så får jag inte riktigt till det
Simon Rybrand (Moderator)
Du har absolutbeloppet
$\sqrt{1^2+\sqrt(3)^2}=\sqrt{4}=2$
Gällande argumentet så kika på den här videon om komplexa tal på polär form, där förklarar vi hur man tänker kring detta. Men kortfattat så finns talet i fjärde kvadranten och då får vi
$v = 2\pi – arctan(\sqrt{3})$
Hoppas att det här hjälper dig vidare!
Karl Tellander
Mitt tal: z^2+2z+2= 0 Blir med hjälp av pq formerln.
-1 +/- roten ur -1.
Hur bryter jag ur i ur -1?
i = \sqrt{-1}
Simon Rybrand (Moderator)
Här har vi ju
$z^2+2{z}+2=0 ⇔$
$\mathrm{z}=-1 \pm \sqrt{1-2}$
$\mathrm{z}=-1 \pm \sqrt{-1}$
Här gäller att $ \sqrt{-1} = i $ så du kan svara
$ z=-1 \pm i $
Du behöver inte ”bryta ut” -1 där utan det räcker med att använda dig av imaginära tal för att kunna svara.
Du kan även ange bägge rötterna som
$\begin{cases} z_1=-1+i \\ z_2=-1-i \end{cases}$
soulpat
ekvationen z^5=-32 är given.
Skriv om ekvationen i polär form:
Mitt förslag: r^5(cos5v+isin5v)=32(cos0+isin0)
Facit: r^5(cos5v+isin5v)=32(cos(180+360*n)+isin(180+360*n))
Vart får man 180 grader ifrån? Jag får det till 0.
soulpat
Tror jag förstår nu!
Simon Rybrand (Moderator)
Vad bra, skönt att läsa!
Endast Premium-användare kan kommentera.