Vektorer, absolutbelopp och konjugat

Vi har tidigare sett att ett komplext tal kan representeras av en punkt i det komplexa talplanet. Det komplexa talet kan även beskrivas som en vektor från origo till punkten. 

Allmänt innebär absolutbeloppet för en vektor storleken av vektorn, dvs riktningen bortses ifrån. När ett komplext tal anges som en vektor i det komplexa talplanet innebär alltså absolutbeloppet längden av vektorn, vilket motsvaras av avståndet mellan origo och vektorns pilspets (punkten för det komplexa talet). Detta avstånd kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln, som i sin tur är en omskrivning av Pythagoras sats.

För att beteckna ett absolutbelopp används lodräta streck på varsin sida om talet eller uttrycket. Absolutbeloppet av talet  $z$z  skrivs  $\left|z\right|$|z|.

Observera att den imaginära enheten  $i$i  inte ingår i beräkningen av talets absolutbelopp.

Definitionen av absolutbeloppet gäller även för negativa koordinater.

Eftersom vi vet att  $\left(-a\right)^2=a^2$(−a)²=a²  kan denna förenkling göras redan i det första steget.

Konjugatet till det reella uttrycket  $a+b$a+b  är  $a-b$a−b, dvs tecknet byts för en av termerna. Detta känner du förmodligen igen från konjugatregeln. För ett komplext tal  $a+bi$a+bi  byts tecknet för den imaginära termen. Det komplexa konjugatet är alltså  $a-bi$a−bi . För att ange det komplexa konjugatet används ett horisontellt streck. Konjugatet till det komplexa talet  $z$z  skrivs   $\overline{z}$z  och utläses ”z tak”.

Det komplexa konjugatet i det komplexa talplanet

Om ett komplext tal  $z$z  och dess konjugat  $\overline{z}$z  ritas i det komplexa talplanet kommer  $z$z  och  $\overline{z}$z  vara varandras spegelbilder på varsin sida om den reella axeln. Detta gäller när talen representeras av punkter, och när de representeras som vektorer.

Nyttan med komplexa konjugat

När ett komplext tal multipliceras med sitt komplexa konjugat enligt  $z\cdot\overline{z}$z·z  får man ett reellt tal. Detta är mycket användbart vid division med ett komplext tal i nämnaren, vid förenklingar och när man löser ekvationer med komplexa tal. Mer om detta i kommande lektioner.

Vi ser här grafen till  $f\left(x\right)=x$ƒ (x)=x  och $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| 

Funktionen $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| antar, i förhållande till $f\left(x\right)=x$ƒ (x)=x, de motsatta talens $y$y-värden för $x$x $<0$<0. 

Funktionen är mycket ”spetsig” i origo. Om vi närmar oss $x=0$x=0 från vänster har vi en negativ derivata och från höger en positiv. Det gör att funktionen inte är deriverbar i $x=0$x=0, då funktionen är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd, men inte har ett entydigt gränsvärde i $x=0$x=0.

• Markera $z = 3 + 4i$ i det komplexa talplanet och beräkna absolutbeloppet.
• Markera $z = -3 – 4i$ i det komplexa talplanet och beräkna absolutbeloppet.
• Bestäm $\overline{z}$ då $z = -5 – 2i$. Markera båda talen i ett det komplexa talplanet.