Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Räkna med Komplexa Tal
Innehåll
Som grund kan man utgå från att beräkningar med de komplexa talen fungerar på samma sätt som för reella tal. Samma aritmetiska och algebraiska räkneregler går att tillämpa på addition, subtraktion, multiplikation och division, med tillägget att man definierat talet $i$i med egenskapen att $ i^2 = -1 $.
Egenskapen att talet $i$i gånger sig självt är definierat hos de komplexa talen som $-1$ gör att vi får en del speciella fall framförallt när man multiplicerar eller dividerar komplexa tal.
Addera komplexa tal
Addition av komplexa tal genomförs på samma vis som med ”vanliga” algebraiska uttryck. De reella delar läggs här ihop för sig och de imaginära för sig.
Exempel 1
Addera de komplexa talen $ z=(3+3i)$ och $w=(8-9i) $
Lösning
Vi addera realdelarna för sig och imaginär delarna för sig.
$ z+w= (3+3i) + (8-9i) = 3 + 3i + 8-9i = 11-6i $
Subtrahera komplexa tal Premium
Precis som vid addition gäller att, de reella delar läggs ihop för sig och de imaginära för sig vid subtraktion av komplexa tal.
Exempel 2
Subtrahera de komplexa talen $ z=(3+i)$ och $w=(4+8i)$
Lösning
Vi subtraherar realdelarna för sig och imaginär delarna för sig.
$ z-w = (3+i)-(4+8i)=3+i-4-8i=-1-7i $
Multiplikation med komplexa tal Premium
Vi används den distributiva och utvidgade distributiva lagen för att genomföra multiplikation av komplexa tal. Innan vi anger svaret förenklar vi uttrycket ytterligare genom att använda definitionen av den imaginära enheten $ i^2=-1 $.
Distributiva lagen
$a(b+c)=ab+ac$
Utvidgade distributiva lagen
$a(b+c)=ab+ac$
Ett exempel följer här nedan hur dessa regler används.
Exempel 4
Beräkna produkten av de komplexa talen $z=(3+i)$ och $w=(4+8i)$
Lösning
$z·w= (3+i)⋅(4+8i)= $ $ 12+24i+4i+8i^2=12+28i+8i^2$
Vi förenklar uttrycket med vetskapen att $i^2=-1$i2=−1
$z·w=12+28i+8·(-1)=12+28i-8=4+28i $
Division med komplexa tal Premium
För att kunna dividera två komplexa tal med varandra behöver man förlänga täljare och nämnare med nämnarens komplexa konjugat. Detta för att få ett reellt tal i nämnaren.
För om vi har ett reellt tal i nämnaren, kan vi förenkla uttrycket genom att beräkna realdelen och imaginär delen och skriva det som ett komplext tal i stället för en kvot.
Exempel 5
Beräkna kvoten av de komplexa talen $z=3+i$ och $w=4+8i$
Lösning
Vi förlänger kvoten med nämnarens komplexa konjugat $\overline{w}=4-8i$, för att få ett reellt tal i nämnaren.
$\frac{z}{w}=\frac{3+i}{4+8i}$zw =3+i4+8i $=\frac{(3+i)(4-8i)}{(4+8i)(4-8i)}=$=(3+i)(4−8i)(4+8i)(4−8i) =
$\frac{12-24i+4i-8i^2}{16-32i+32i-64i^2}$12−24i+4i−8i216−32i+32i−64i2 $=\frac{12-20i+8}{16+64}=$=12−20i+816+64 =
$\frac{20-20i}{80}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i$20−20i80 =14 −14 i
eller om vi vill svara i decimalform som $0,25-0,25i$0,25−0,25i.
Exempel i videon Premium
- Beräkna $ z + w $ då $z = 4-i$ och $w = -2+2i$.
- Beräkna $ z – w $ då $z = 4-i$ och $w = -2+2i$.
- $z = 4-i$ och $w = -2+2i$. Beräkna $z⋅w$
- Utveckla $(-2 + 3i)^2$ och förenkla till formen $a + bi$.
- Skriv $\frac{2-i}{3-i}$ på formen a + bi
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (6)
-
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (2/0/0)M NPE C A B 1 P 1 PL M R K Beräkna summan av $z = 3i$ och $q=-4i$
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (2/0/0)M NPE C A B 1 P 1 PL M R K Beräkna $(1+2i)+(3-2i)$(1+2i)+(3−2i) .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (2/0/0)M NPE C A B 1 P 1 PL M R K Beräkna $(2+i)(3-2i)$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (2/0/0)M NPE C A B 1 P 1 PL M R K Beräkna $\frac{3+i}{2-i}$3+i2−i .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P PL M R 1 K Johnny har gjort en beräkning fel när han skall skriva $ \frac{2+2i}{4-3i} $ på formen $a+bi$. Vad är det som han har gjort fel?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (2/0/0)M NPE C A B 1 P 1 PL M R K Beräkna $|z| – \overline{z} $ om $z=4+3i$.
Svara på formen a + bi
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (2)
-
7. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)M NPE C A B 1 P 1 PL M R K Lös ekvationen $\frac{z}{i}=1-3i$zi =1−3i där $z$z är ett komplext tal på formen $a+bi$a+bi .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
8. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)M NPE C A B P 1 PL M R 1 K Vilket av följande påståenden stämmer om $z=$z= $\frac{1}{2+2i}-\frac{1}{2-2i}$12+2i −12−2i ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
antonb97
Tjena! Tänkte bara fråga i exempel 5 & 8 multiplicerar ni bara in parenteserna med varandra men i videon använder ni er av kvadreringsregeln dvs (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Varför ska den inte tillämpas i era exempel?
Med vänliga hälsningar,
Anton Bäck
Leila
Jag läser på distans och den här sidan är min räddning! Tack för allt!
Med vänlig hälsning,
BotenAnnie
vet du om att du är min hjälte ? nu vet du 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Härligt att höra att det här materialet hjälper dig!
0504jennifer
Måste verkligen säga att dessa videos har varit hur bra som helst! Jag kom in på byggingenjörsprogrammet där de endast krävde godkänt betyg i matte D. Det första vår nya mattelärare gör är att rabbla igenom D och E-kursen på kanske max 4 föreläsningstillfällen. Snacka om att jag fick en chock! Jag kuggade tyvärr på första provet, men omtentan känns mycket ljusare nu när jag verkligen förstår ”tänket” bakom E-kursen 🙂
Endast Premium-användare kan kommentera.