Kapiteltest - Integraler

Beräkna  $\int_0^{\pi}\sin x\text{ }dx\text{ }+\text{ }\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\text{ }dx$∫₀^πsinx dx + ∫₀^π2 cosx dx  utan räknare.

Man har beslutat att bygga en damm i en park med formen enligt bilden nedan där ena sidan är utformad utifrån en kurva.

Enligt en modell kan den kurvade sidan beskrivas med funktionen $f\left(x\right)=\sin x+0,1x+2$ƒ (x)=sinx+0,1x+2.

Bestäm dammens area.

 $A=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\cos x\text{ }dx$A=∫₀^π6 cosx dx 

 $B=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\sin x\text{ }dx$B=∫₀^π3 sinx dx 

Vilket påstående stämmer?

Bestäm arean mellan $x$x -axeln och funktionen $f\left(x\right)=\sin2x$ƒ (x)=sin2x i intervallet $0\le x\le\pi$0≤x≤π.

Beräkna integralen  $\int_1^{e^2}\frac{1}{x}\text{ }dx$∫₁^e21x  dx  och svara exakt.

I figuren visas ett område som begränsas av koordinataxlarna samt kurvan till funktionen $f\left(x\right)=3-x^2$ƒ (x)=3−x². 

Beräkna volymen som skapas när området roteras runt  $x$x -axeln. 

I figuren är grafen till $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) utritad.

För vilka värden på $a$a och $b$b får $\int_a^bf\left(x\right)dx$∫_a^bƒ (x)dx ett så stort värde som möjligt i de bägge intervallen  $0\le a\le13$0≤a≤13 och  $0\le b\le13$0≤b≤13?

En maskin i ett sågverk hyvlar brädor till en bestämd bredd. Bredden på brädorna är normalfördelat med standardavvikelsen $0,1$0,1 cm och har medelvärdet $12$12 cm. Om bredden på en bräda avviker med mer än $0,20\text{ }cm$0,20 cm så kan den inte säljas till kunder.

Hur stor sannolikhet är det att en bräda måste plockas bort?

Svara med en decimal

I koordinatsystemet är  $f\left(x\right)=2$ƒ (x)=2  och $g\left(x\right)=3\cos\left(x\right)$g(x)=3cos(x)  utritade

Beräkna arean av det streckade området

Beräkna  $\int_0^{\frac{\pi}{3}}\sin x\left(2\cos x+4\right)dx$∫₀^π3 sinx(2cosx+4)dx 

Ange en funktion $f$ƒ  som har derivatan $f'=x^3\cdot e^{x^4-1000}$ƒ '=x³·e^x4−1000 

Matematikern och biodlaren Bea Odler har problem med sin bikupa där det fanns $10\text{ }000$10 000 bin. Bina dör på grund av brist på blommor i trädgården. När dödsfallen börjar så dör de med hastigheten $100$100 bin per dag. 

För att åtgärda problemet planterar Bea Odler fler och fler blommor vilket gör att hastigheten på binas dödsfall minskar konstant tills dödsfallen helt stoppats. 

Med vilken konstant hastighet måste dödsfallen per dag minska så att det endast dör $2\text{ }000$2 000 bin?