Name: Volymintegraler - Integraler (Matte 4) - Eddler
Brand: Eddler
Rating: 4.92 (13 reviews)

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Så beräknas en Volymintegral
Metod för att beräkna volymintegraler
Skivmetoden
Ett exempel på beräkning av en volymintegral
Exempel i videon
Kommentarer

Så beräknas en Volymintegral

I den här genomgången börjar vi att ge exempel på volymintegraler. Detta är ett bra sätt att använda integraler för att beräkna volymer som tidigare har varit svåra att beräkna. Själva idén bakom volymintegraler är att vi delar upp volymen i smala skivor med skivmetoden för att sedan summera alla dessa skivor i kroppen med hjälp av en integral.

Det finns två olika sätt att använda sig av volymintegraler. Dels kan du skiva upp kroppen horisontellt (i x – led) eller lodrätt (i y – led). Det som då är viktigt att ha med sig när du gör detta är att när man gör det horisontellt skall variablerna i integralen beskrivas med $x$ och gör du det lodrätt skall variablerna skrivas med hjälp av $y$ .

Metod för att beräkna volymintegraler

Det finns ett sätt att tänka strukturerat kring beräkning av volymintegraler. Det handlar övergripande om att:

Börja med att först ta fram en formel för att beräkna volymen för en skiva.
Detta gör du genom att först välja om du skall beräkna den i x – led eller i y – led. Om du beräknar den i x – led får du bredden Δx och i y – led bredden Δy på skivan. Ställ sedan upp en formel för att beräkna volymen för en skiva.
Använd en integral för att beräkna volymen (summera alla skivors volym) för hela kroppen.

Skivmetoden

Volymen till en rotationskropp kan beräknas med integralen

$V=\int_{_a}^{^b}A\left(x\right)dx$ V=∫_{_a}^{^b}A(x)dx

där $A\left(x\right)$ A(x) är tvärsnittsarean vinkelrät mot $x$ x-axeln och $a$ a och $b$ b gränserna i $x$ x -led.

Rotation kring $x$ `x`-axeln

Tvärsnittsarean $A\left(x\right)=\pi y^2$ A(x)=πy² ger

$V=\int_{_a}^{^b}\pi y^2dx$ V=∫_{_a}^{^b}πy²dx

där $a$ a och $b$ b är gränserna i $x$ x -led.

Rotation kring $y$ `y`-axeln

Tvärsnittsarean $A\left(y\right)=\pi x^2$ A(y)=πx² ger

$V=\int_{_a}^{^b}\pi x^2dy$ V=∫_{_a}^{^b}πx²dy

där $a$ a och $b$ b är gränserna i $y$ y -led.

Ett exempel på beräkning av en volymintegral

Exempel 1

Beräkna volymen som bildas då linjen $y=2x$ snurras runt x-axeln i intervallet $0≤x≤2$

Lösning

Volymen för en skiva ges av

$\pi ⋅ r^2 ⋅ Δx =$ $\pi ⋅ y^2 ⋅ Δx =$ $\pi ⋅ (2x)^2 ⋅ Δx=$ $\pi ⋅ 4x^2 ⋅ Δx$

Hela volymen ges av integralberäkningen

$\int\limits_0^2 (\pi ⋅ 4x^2 ) dx =$ $\left[ \pi \frac{4x^3}{3} \right]_0^2$

$\pi \frac{4⋅2^3}{3}$ $= \frac{32}{3}\pi \, v.e ≈ 10,667\pi \, v.e$

Exempel i videon

Linjen $y=x$ snurrar runt $x-axeln$ så att en kon bildas. Beräkna volymen i intervallet $1≤x≤3$ .
Funktionen $y=x^2$ snurrar runt y-axeln så att en volym bildas. Beräkna volymen i intervallet $0≤y≤4$ .

Nästa lektion: Träna mer på Skivmetoden

Kommentarer

John Winlund

2014-09-17

Varför i tredje exemplet när vi byter ut x^2 så blir det bara y? I exempel två så blev ju y^2 = x^2 …

Simon Rybrand (Moderator)

2014-09-17

Hej,
Det är för att vi har funktionen $y = x^2$ så när vi har radien $x^2$ så är det samma sak som y.
Här skall vi också integrera i y-led så vi behöver byta ut variabeln x till variabeln y.

Eller tänker du på när vi tar den primitiva funktionen? Dvs att om $f(x)=x$ så är den primitiva funktionen $F(x) = \frac{x^2}{2}$ .

Edin

2014-02-23

Hur gör man när man byter ut X mot Y om funktionen är Y=5/(1+X)

Simon Rybrand (Moderator)

2014-02-24

Du menar om du behöver lösa ut x från formeln
$y = \frac{5}{1+x}$ ?

I så fall kan du göra enligt följande:
$y = \frac{5}{1+x} ⇔$
$1+x = \frac{5}{y} ⇔$
$x = \frac{5}{y}-1$

NISSE-MA

2013-05-20

Om: pi*r^2*h = pi*y^2*deltax = pi*x^2*deltax
Varför är då…:
pi*r^2*h = pi*x^2*deltax = pi*y*deltay

Alltså varför blir det inte y i kvadrat ???

Simon Rybrand (Moderator)

2013-05-21

Hej, det beror på att vi i uppgiften har funktionen $y = x^2$ och så när vi byter ut $x^2$ så byter vi ut det mot bara y.

I det här fallet så beräknar vi volymintegralen i y – led så vi behöver skriva integralen med hjälp av variabeln y.

Daniel Fransson

2012-03-07

Hej. Ni behöver ändra intervallet i det sista exemplet, så att det är Y och inte X mellan 0 och 4.

Mvh, Daniel.

Simon Rybrand (Moderator)

2012-03-08

Hej Daniel och tack för påpekandet, vi ändrar detta omgående.

Matematik 4

Välj kurs

KURSER /

Matematik 4

/ Integraler

Volymintegraler

Författare:Simon Rybrand

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Skivmetoden

Rotation kring xxxx-axeln

Rotation kring yyyy-axeln

Exempel 1

Lösning

John Winlund

Simon Rybrand (Moderator)

Edin

Simon Rybrand (Moderator)

NISSE-MA

Simon Rybrand (Moderator)

Daniel Fransson

Simon Rybrand (Moderator)

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

LADDAR DOKUMENT...

LADDAR GEOGEBRA...

Rotation kring $x$ `x`-axeln

Rotation kring $y$ `y`-axeln