Volymintegraler - vad är det?

Grundidén är enkel. Vi delar upp rotationskroppen i tunna skivor, beräknar volymen för en enskild skiva och summerar sedan alla skivors volym med hjälp av en integral.

En enskild skiva har formen av en platt cylinder, tänk ett mynt, och dess volym ges av

där $A(x)$A(x) är skivans tvärsnittsarea vinkelrät mot $x$x-axeln och $\Delta x$Δx är skivans tjocklek.

Låter vi varje skiva bli oändligt tunn, det vill säga $\Delta x \to 0$Δx→0, och summerar alla skivor får vi integralen

Vi visar idén bakom skivmetoden genom att beräkna volymen av en kon.

Vi börjar med att placera konen i koordinatsystemet så att vi kan dela upp volymen i symmetriska skivor. För att kunna göra detta roterar vi den och placerar toppen i origo.

Vi skivar konen i lika tjocka skivor där varje skiva har volymen av en cylinder.

Cylinderns höjd blir $\Delta x$Δx. Tvärsnittsarean $A(x)$A(x) för en enskild skiva är en cirkel och utgör basen för cylindern. Radien har längden $y$y och varierar beroende på vilken skiva vi ska beräkna.

Så volymen för en skiva är $A(x) \cdot \Delta x$A(x)·Δx där $A\left(x\right)=\pi r^2$A(x)=πr².

Genom att summera alla cylindrar får vi ett approximativt värde på volymen.

$V\approx\sum_{i=1}^nA\left(x_i\right)\Delta x_i$V≈∑_i=1ⁿA(x_i)Δx_i

där $n$n är antalet skivor vi delat upp konen i.

Om vi låter antalet skivor öka obegränsat kommer varje skiva att bli tunnare och tunnare, det vill säga $\Delta x \to 0$Δx→0, och summerar vi alla skivor får vi integralen

där $a$a är undre integrationsgränsen och $b$b övre integrationsgränsen i $x$x-led.

Det finns två olika sätt att använda sig av volymintegraler. Dels kan du skiva upp kroppen horisontellt (i $x$x-led) eller lodrätt (i $y$y-led). Det som då är viktigt att tänka på är att när vi gör det horisontellt ska variablerna i integralen beskrivas med $x$x, och gör vi det lodrätt ska variablerna skrivas med hjälp av $y$y.

På liknande vis som när vi beräknar arean under en kurva med en integral, beräknar vi här volymen genom att summera oändligt många tunna skivor.

Det fiffiga är att när vi kan beskriva figurens form med en funktion kommer radien på skivan alltid att motsvara funktionsvärdet $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) i just den punkten på grafen där snittet görs.

Exempelvis följer formen på en kon grafen till en rät linje. Radien kommer att motsvara $y$y-koordinaten i punkten där snittet görs.

Vill du öva mer på skivmetoden? Se lektionen Rotationsvolymer med skivmetoden.

• Linjen $y=x$y=x roterar kring $x$x-axeln så att en kon bildas. Beräkna volymen i intervallet $1≤x≤3$1≤x≤3.
• Funktionen $y=x^2$y=x² roterar kring $y$y-axeln så att en volym bildas. Beräkna volymen i intervallet $0≤y≤4$0≤y≤4.