Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Integraler
Volymintegraler
Innehåll
Hur beräknar man volymen av en kropp som inte är ett enkelt geometriskt objekt? Till exempel en vas, ett turbinblad eller ett rör med varierande tjocklek? Svaret är volymintegraler. Genom att dela upp kroppen i oändligt många tunna skivor och summera deras volymer med en integral kan vi beräkna volymer som tidigare var omöjliga att räkna ut för hand.
Idén bakom skivmetoden
Grundidén är enkel. Vi delar upp rotationskroppen i tunna skivor, beräknar volymen för en enskild skiva och summerar sedan alla skivors volym med hjälp av en integral.
En enskild skiva har formen av en platt cylinder, tänk ett mynt, och dess volym ges av
$\Delta V = A(x) \cdot \Delta x$
där $A(x)$ är skivans tvärsnittsarea vinkelrät mot $x$x -axeln och $\Delta x$ är skivans tjocklek.
Låter vi varje skiva bli oändligt tunn, det vill säga $\Delta x \to 0$, och summerar alla skivor får vi integralen
$V = \int_a^b A(x)\, dx$
Visste du detta?
Arkimedes beräknade volymen av en sfär redan på 200-talet f.Kr. med en metod som liknar skivmetoden – ungefär 1800 år innan Newton och Leibniz formaliserade integralkalkyl. Han tänkte sig kroppen uppdelad i oändligt många tunna skivor och summerade deras areor, precis som vi gör idag.
Metoden i tre steg
Vi visar idén bakom skivmetoden genom att beräkna volymen på en kon.
Vi börjar med att placerar konen i koordinatsystemet så att vi kan dela upp volymen i symmetriska skivor. För att kunna göra detta roterar vi den och placerar toppen i origo.
Vi skivar konen i lika tjocka skivor där varje skiva har volymen av en cylinder.
Cylinderns höjd blir $\bigtriangleup x$△x. Tvärsnittsarean $A(x)$ för en enskild skiva är en cirkel och utgör basen för cylinder. Radien har längden $y$y och varierar beroende på vilken skiva vi ska beräkna.
Så volymen för en skiva är $A(x) \cdot \Delta x$ där $A\left(x\right)=\pi r^2$A(x)=πr2.
Genom att summera alla cylindrar får ett approximativt värde på volymen.
$V\approx\sum_{i=1}^nA\left(x_i\right)\bigtriangleup x_i$V≈∑i=1nA(xi)△xi
där $n$n är antalet skivor vi delat upp konen i.
Om vi låter antalet skivor öka obegränsat kommer varje skiva bli tunnare och tunnare, det vill säga $\Delta x \to 0$, och summerar alla skivor får vi integralen
$V = \int_a^b A(x)\, dx$ där $a$ är undre integrationsgränsen och $b$ övre integrationsgränsen i $x$-led.
Integrera i $x$x– eller $y$y-led?
Det finns två olika sätt att använda sig av volymintegraler. Dels kan du skiva upp kroppen horisontellt (i $x$x-led) eller lodrätt (i $y$y-led). Det som då är viktigt att ha med sig när du gör detta är att när man gör det horisontellt skall variablerna i integralen beskrivas med $x$ och gör du det lodrätt skall variablerna skrivas med hjälp av $y$.
Steg 1
Bestäm tvärsnittsarean $A(x)$ för en enskild skiva.
Steg 2
Välj om du beräknar i $x$-led eller $y$-led. Beräknar du i $x$-led beskrivs variablerna med $x$, beräknar du i $y$-led
beskrivs de med $y$.
Steg 3
Ställ upp och beräkna integralen $\int_a^b A\, dx$ (eller $dy$) för hela kroppen.
På liknande vis som när vi beräknar arean under en kurva med en integral, beräknar vi här volymen genom att summera oändligt många tunna skivor.
Det fiffiga är att när vi kan beskriva figurens form med en funktion kommer radien på skivan alltid motsvarar funktionsvärdet $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) i just den punkten på grafen vi görs snittet.
Exempelvis följer formen på en kon grafen till en rät linje. Och radien kommer motsvara $y$y-koordinaten i punkterna snittet görs.
Formlerna för rotation
Rotation kring $x$-axeln
Varje skiva är en cirkel med radien $r = y$. Tvärsnittsarean blir
$A(x) = \pi y^2$, vilket ger
$V = \int_a^b \pi y^2\, dx$
där $a$ och $b$ är gränserna i $x$-led.
Exempel 1 – Rotation kring $x$-axeln
Beräkna volymen som bildas då linjen $y = 2x$ roterar kring $x$-axeln i
intervallet $0 \leq x \leq 2$.
Lösning
Steg 1Tvärsnittsarean för en skiva
Varje skiva är en cirkel med radien $r = y = 2x$. Arean blir
$A(x) = \pi y^2 = \pi (2x)^2 = 4\pi x^2$
Steg 2Vi beräknar i $x$-led
Gränserna är $a = 0$ och $b = 2$.
Steg 3 Beräkna integralen
$V = \int_0^2 4\pi x^2\, dx = \left[\frac{4\pi x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{4\pi \cdot 8}{3} – 0 = \frac{32\pi}{3} \approx 33{,}5 \text{ v.e.}$
Exempel 2 – Rotation kring $x$-axeln, kon
Linjen $y = x$ roterar kring $x$-axeln så att en kon bildas. Beräkna
volymen i intervallet $1 \leq x \leq 3$.
Lösning
Steg 1 Tvärsnittsarean för en skiva
Varje skiva är en cirkel med radien $r = y = x$. Arean blir
$A(x) = \pi y^2 = \pi x^2$
Steg 2 Vi beräknar i $x$-led
Gränserna är $a = 1$ och $b = 3$.
Steg 3 Beräkna integralen
$V = \int_1^3 \pi x^2\, dx = \left[\frac{\pi x^3}{3}\right]_1^3 = \frac{27\pi}{3} – \frac{\pi}{3} = \frac{26\pi}{3} \approx 27{,}2 \text{ v.e.}$
Rotation kring $y$-axeln
Varje skiva är en cirkel med radien $r = x$. Tvärsnittsarean blir
$A(y) = \pi x^2$, vilket ger
$V = \int_a^b \pi x^2\, dy$
där $a$ och $b$ är gränserna i $y$-led.
Exempel 3 – Rotation kring $y$-axeln
Funktionen $y = x^2$ roterar kring $y$-axeln. Beräkna volymen i
intervallet $0 \leq y \leq 4$.
Lösning
Steg 1 Skriv om funktionen med $x$ uttryckt i $y$
Eftersom vi roterar kring $y$-axeln behöver vi $x$ som funktion av $y$.
Från $y = x^2$ får vi $x = \sqrt{y}$.
Steg 2 Tvärsnittsarean för en skiva
Varje skiva är en cirkel med radien $r = x = \sqrt{y}$. Arean blir
$A(y) = \pi x^2 = \pi y$
Steg 3 Beräkna integralen
$V = \int_0^4 \pi y\, dy = \left[\frac{\pi y^2}{2}\right]_0^4 =$ $\frac{16\pi}{2}$16π2 $-0=8\pi \approx 25{,}1 \text{ v.e.}$
Vill du öva mer på skivmetoden? Se lektionen
Träna mer på skivmetoden.
Exempel i videon
- Linjen $y=x$ roterar kring $x$-axeln så att en kon bildas. Beräkna volymen i intervallet $ 1≤x≤3 $.
- Funktionen $ y=x^2 $ roterar kring $y$-axeln så att en volym bildas. Beräkna volymen i intervallet $ 0≤y≤4 $.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Beräkna volymen som bildas då $ y=\sqrt{x} $ roteras runt $x$-axeln i intervallet $0 ≤ x ≤ 2$.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar... -
2. Premium
Beräkna volymen som bildas då $y=e^x$y=ex roteras runt $x$-axeln i intervallet $0\le x\le1$0≤x≤1.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar... -
3. Premium
Beräkna volymen som bildas då $y=$y= $\frac{x^2+1}{2}$x2+12 roteras runt $y$y-axeln i intervallet $1\le x\le3$1≤x≤3 .
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Funktionen $ y=\sqrt{2x} $ roteras runt $x$-axeln. Bestäm volymen som bildas i intervallet $ 0 ≤ x ≤ 2 $.
Svara utan enhet och använd ”pi” om du vill beskriva talet $\pi$.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar...c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Beräkna volymen av den ändliga kropp som bildas då $y=x^2-1$y=x2−1 roteras runt $x$-axeln.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar... -
6. Premium
Funktionen $y=\frac{a}{x}$y=ax roteras kring $x$-axeln i intervallet $1\le x\le2$1≤x≤2. Bestäm ett värde på konstanten $a$, så att rotationsvolymen som bildas får volymen $8\pi$8π v.e.
Använd ”pi” om du vill beskriva talet $\pi$.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar...7. Premium
En funktion roteras kring $x$-axeln. En skiva av den rotationsvolym som bildas har arean $A\left(x\right)=x^2$A(x)=x2. Bestäm volymen som bildas i intervallet $1\le x\le4$1≤x≤4 .
Svara utan enhet och använd ”pi” om du vill beskriva talet $\pi$.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar...a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Använd en lämplig rotationsvolym för ta fram en allmän formel för volymen av en cirkulär kon där basradien $r$ är lika lång som höjden.
(Här innebär A-nivån att ta fram formeln på ett korrekt sätt, inte att klicka i rätt svar. Öva på att göra en fullständig lösning med papper och penna.)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
John Winlund
Varför i tredje exemplet när vi byter ut x^2 så blir det bara y? I exempel två så blev ju y^2 = x^2 …
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Det är för att vi har funktionen $ y = x^2 $ så när vi har radien $x^2$ så är det samma sak som y.
Här skall vi också integrera i y-led så vi behöver byta ut variabeln x till variabeln y.
Eller tänker du på när vi tar den primitiva funktionen? Dvs att om $ f(x)=x $ så är den primitiva funktionen $ F(x) = \frac{x^2}{2} $.
Edin
Hur gör man när man byter ut X mot Y om funktionen är Y=5/(1+X)
Simon Rybrand (Moderator)
Du menar om du behöver lösa ut x från formeln
$ y = \frac{5}{1+x} $?
I så fall kan du göra enligt följande:
$ y = \frac{5}{1+x} ⇔ $
$ 1+x = \frac{5}{y} ⇔ $
$ x = \frac{5}{y}-1 $
NISSE-MA
Om: pi*r^2*h = pi*y^2*deltax = pi*x^2*deltax
Varför är då…:
pi*r^2*h = pi*x^2*deltax = pi*y*deltay
Alltså varför blir det inte y i kvadrat ???
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det beror på att vi i uppgiften har funktionen $ y = x^2 $ och så när vi byter ut $ x^2 $ så byter vi ut det mot bara y.
I det här fallet så beräknar vi volymintegralen i y – led så vi behöver skriva integralen med hjälp av variabeln y.
Daniel Fransson
Hej. Ni behöver ändra intervallet i det sista exemplet, så att det är Y och inte X mellan 0 och 4.
Mvh, Daniel.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Daniel och tack för påpekandet, vi ändrar detta omgående.
Endast Premium-användare kan kommentera.