Integraler med trigonometriska funktioner

Exempel 1

Bestäm den primitiva funktionen till  $f\left(x\right)=\sin3x$ƒ (x)=sin3x 

Lösning

Den primitiva funktionen är

 $F\left(x\right)=$F(x)=$-\frac{\cos3x}{3}$−cos3x3  $+C$+C  

Exempel 2

Bestäm den primitiva funktionen till  $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{\cos2x}{2}$cos2x2  

Lösning

Vi kan även skriva funktionen som  $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos2x$ƒ (x)=12 cos2x 

Den primitiva funktionen är

 $F\left(x\right)=$F(x)=  $\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin2x}{2}+C=\frac{\sin2x}{4}+C$12 ·sin2x2 +C=sin2x4 +C 

Exempel 3

I koordinatsystem är grafen till $f\left(x\right)=\cos x$ƒ (x)=cosx utritad. Beräkna arean av det skuggade området.

Lösning

Vi ställer upp och beräknar integralen från $0$0 till $\frac{\pi}{2}$π2 .

 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\text{ }dx$∫₀^π2 cosx dx  $=\left[\sin x\right]^{\text{π/2}}_0$=[sinx]^π/2₀ $=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(0\right)$=sin(π2 )−sin(0) 

Vi använder exakta trigonometriska värden och får att

 $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(0\right)=1-0=1\text{ }a.e.$sin(π2 )−sin(0)=1−0=1 a.e 

Exempel 4

I koordinatsystem är grafen till $f\left(x\right)=\sin2x+1$ƒ (x)=sin2x+1  utritad. Beräkna arean av det skuggade området.

Lösning

Vi ställer upp och beräknar integralen från $0$0 till $\pi$π.

 $\int_0^{\pi}\sin2x+1\text{ }dx$∫₀^πsin2x+1 dx  $=[-\frac{\cos2x}{2}+x]^{\text{π}}_0$=[−cos2x2 +x]^π₀ 

 $=\left(-\frac{\cos2\cdot\pi}{2}+\pi\right)-\left(-\frac{\cos2\cdot0}{2}+0\right)$=(−cos2·π2 +π)−(−cos2·02 +0) 

Vi använder exakta trigonometriska värden och får att

$\left(-\frac{1}{2}+\pi\right)-\left(-\frac{1}{2}+0\right)$(−12 +π)−(−12 +0) $=-\frac{1}{2}+\pi+\frac{1}{2}=\pi\text{ }a.e.$=−12 +π+12 =π a.e

Arean är alltså $\pi$π areaenheter