00:00
00:00
KURSER  / 
Övningsgeneratorn
/  Övningsgeneratorn

Integraler med trigonometriska funktioner

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Här lär du dig att beräkna integraler med trigonometriska funktioner. Vi visar även hur primitiva funktioner till trigonometriska uttryck tas fram.

Primitiva funktioner – Trigonometriska funktioner

Här samlar vi de primitiva funktioner du behöver känna till för att beräkna integraler med trigonometriska funktioner.

 f(x)f\left(x\right)ƒ (x)  F(x)F\left(x\right)F(x)
 sin(kx)\sin\left(kx\right)sin(kx)    cos(kx)k-\frac{\cos\left(kx\right)}{k}cos(kx)k  +C+C+C 
 cos(kx)\cos\left(kx\right)cos(kx)    sin(kx)k\frac{\sin\left(kx\right)}{k}sin(kx)k  +C+C+C 

Exempel 1

Bestäm den primitiva funktionen till  f(x)=sin3xf\left(x\right)=\sin3xƒ (x)=sin3x 

Lösning

Den primitiva funktionen är

 F(x)=F\left(x\right)=F(x)=cos3x3-\frac{\cos3x}{3}cos3x3  +C+C+C  

Exempel 2

Bestäm den primitiva funktionen till  f(x)=f\left(x\right)=ƒ (x)=cos2x2\frac{\cos2x}{2}cos2x2  

Lösning

Vi kan även skriva funktionen som  f(x)=12cos2xf\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos2xƒ (x)=12 cos2x 

Den primitiva funktionen är

 F(x)=F\left(x\right)=F(x)=  12sin2x2+C=sin2x4+C\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin2x}{2}+C=\frac{\sin2x}{4}+C12 ·sin2x2 +C=sin2x4 +C 

Beräkna integraler med trigonometriska funktioner

När du beräknar integraler med trigonometriska funktioner använder du dig av reglerna ovan för primitiva funktioner. Det är också bra att du känner till hur integralkalkylens fundamentalsats är uppbyggd. I exemplen nedan använder vi oss av vinkelmåttet radianer.

Exempel 3

I koordinatsystem är grafen till f(x)=cosxf\left(x\right)=\cos xƒ (x)=cosx utritad. Beräkna arean av det skuggade området.

Exempel 1 trigonometriska funktioner

Lösning

Vi ställer upp och beräknar integralen från 000 till π2\frac{\pi}{2}π2 .

 0π2cosx dx\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\text{ }dx0π2 cosx dx  =[sinx]0π/2=\left[\sin x\right]^{\text{π/2}}_0=[sinx]π/20 =sin(π2)sin(0)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(0\right)=sin(π2 )sin(0) 

Vi använder exakta trigonometriska värden och får att

 sin(π2)sin(0)=10=1 a.e\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(0\right)=1-0=1\text{ }a.esin(π2 )sin(0)=10=1 a.e 

Exempel 4

I koordinatsystem är grafen till f(x)=sin2x+1f\left(x\right)=\sin2x+1ƒ (x)=sin2x+1  utritad. Beräkna arean av det skuggade området.

Exempel 2 trigonometriska funktioner och integraler

Lösning

Vi ställer upp och beräknar integralen från 000 till π\piπ.

 0πsin2x+1 dx\int_0^{\pi}\sin2x+1\text{ }dx0πsin2x+1 dx  =[cos2x2+x]0π=[-\frac{\cos2x}{2}+x]^{\text{π}}_0=[cos2x2 +x]π0 

 =(cos2π2+π)(cos202+0)=\left(-\frac{\cos2\cdot\pi}{2}+\pi\right)-\left(-\frac{\cos2\cdot0}{2}+0\right)=(cos2·π2 +π)(cos2·02 +0) 

Vi använder exakta trigonometriska värden och får att

(12+π)(12+0)\left(-\frac{1}{2}+\pi\right)-\left(-\frac{1}{2}+0\right)(12 +π)(12 +0) =12+π+12=π a.e=-\frac{1}{2}+\pi+\frac{1}{2}=\pi\text{ }a.e=12 +π+12 =π a.e

Arean är alltså π\piπ areaenheter