Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Trigonometri och trigonometriska funktioner
Repetition av Trigonometri
Innehåll
Denna lektion är en repetition av trigonometrin från Matematik 3c för dig som läser Matematik 4. Vi repeterar kort innehållet från lektionerna sin, cos och tan, enhetscirkeln, trigonometriska ekvationer, areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen. Följ länkarna för att repetera respektive område djupare.
Samband i rätvinkliga trianglar
För rätvinkliga trianglar gäller följande samband.
$\sin v=$sinv=$\frac{a}{c}=\frac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}$ac =Motstående katetHypotenusa
$\cos v=$cosv= $\frac{b}{c}=\frac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}$bc =Närliggande katetHypotenusa
$\tan v=$tanv= $\frac{a}{b}=\frac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}$ab =Motstående katetNärliggande katet
Enhetscirkeln
Med hjälp av en enhetscirkel utvidgar vi de trigonometriska sambanden $\sin v$sinv, $\text{ }\cos v$ cosv och $\tan v$tanv till att gälla för alla vinklar $v$v. Enhetscirkeln är mycket användbar för att ta fram nya samband och formler.
Med hjälp av enhetscirkeln kan ett antal samband tas fram. Dessa samband kommer du att ha stor nytta av när du i Matematik 4 jobbar med trigonometriska ekvationer och formler.
Sammanfattning av samband
På enhetscirkeln gäller följande.
$\sin v=y$sinv=y
$\cos v=x$cosv=x
$\tan v=$tanv=$\frac{\sin v}{\cos v}$sinvcosv , där $\cos v\ne0$cosv≠0
$\sin\left(180^{\circ}-v\right)=\sin v$sin(180∘−v)=sinv
$\cos\left(180^{\circ}-v\right)=-\cos v$cos(180∘−v)=−cosv
Exempel 1
En punkt $P$P på enhetscirkeln har koordinaterna $\left(0,6;\text{ }0,8\right)$(0,6; 0,8).
Bestäm värdet för $\sin v$sinv, $\cos v$cosv, $\tan v$tanv och vinkeln $v$v med en decimals noggrannhet.
Lösning
Vi vet att punkten $P$P:s koordinater är $(0,6;\text{ }0,8)$(0,6; 0,8) och samtidigt vet vi att alla punkter på enhetscirkeln har koordinaterna $(\cos v,\text{ }\sin v)$(cosv, sinv).
Vi kan därmed avgöra att
$\sin v=0,8$sinv=0,8
$\cos v=0,6$cosv=0,6
Därefter kan vi bestämma $\tan v$tanv genom
$\tan v=$tanv=$\frac{\sin v}{\cos v}=\frac{0,8}{0,6}\approx$sinvcosv =0,80,6 ≈$1,3$1,3
Slutligen bestämmer vi vinkeln $v$v genom
$\sin v=0,8$sinv=0,8
$v=\sin^{-1}\left(0,8\right)$v=sin−1(0,8)
$v\approx53,1^{\circ}$v≈53,1∘
Trigonometriska ekvationer
En trigonometrisk ekvation är en ekvation som innehåller de trigonometriska sambanden, exempelvis $\sin$sin, $\cos$cos och $\tan$tan. För att exempelvis lösa ekvationer med sinus används $\arcsin$arcsin eller $\sin^{-1}$sin−1 (sinusinvers). På samma sätt används $\arccos$arccos eller $\cos^{-1}$cos−1 (cosinusinvers) för ekvationer med cosinus och $\arctan$arctan eller $\tan^{-1}$tan−1 (tangensinvers) för ekvationer med tangens.
För att fullständigt lösa dessa ekvationer använder vi vår förståelse av enhetscirkeln.
Allmän lösning för sinus
$\sin v=a$sinv=a där $-1\le a\le1$−1≤a≤1
Alla lösningar ges av
$v=\sin^{-1}a+n\cdot360^{\circ}$v=sin−1a+n·360∘, $n$n är ett heltal
eller
$v=180^{\circ}-\sin^{-1}a+n\cdot360^{\circ}$v=180∘−sin−1a+n·360∘, $n$n är ett heltal
Vi tittar på ett exempel.
Exempel 2
För vilka vinklar i intervallet $0^{\circ}\le x\le180^{\circ}$0∘≤x≤180∘ gäller att $2\sin x=0,6$2sinx=0,6 ?
Lösning
$2\sin x=0,6$2sinx=0,6 dividera båda led med $2$2
$\sin x=0,3$sinx=0,3 ta sinusinversen i båda led
$x=\sin^{-1}0,3$x=sin−10,3
$x\approx17,5^{\circ}$x≈17,5∘
Alla lösningar ges av
$x=17,5^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x=17,5∘+n·360∘
och
$x=180^{\circ}-17,5^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x=180∘−17,5∘+n·360∘
$x=162,5^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x=162,5∘+n·360∘
där $n$n är ett heltal.
Här söktes dock endast lösningarna i intervallet $0^{\circ}\le x\le180^{\circ}$0∘≤x≤180∘ vilket ger oss lösningarna
$x_1=17,5^{\circ}$x1=17,5∘ och $x_2=162,5^{\circ}$x2=162,5∘
Allmän lösning för cosinus
$\cos v=a$cosv=a där $-1\le a\le1$−1≤a≤1
Alla lösningar ges av
$v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot360^{\circ}$v=±cos−1a+n·360∘, $n$n är ett heltal
Exempel 3
Lös ekvationen $\cos x=0,7$cosx=0,7 fullständigt och svara med en decimals noggrannhet.
Lösning
$\cos x=0,7$cosx=0,7 ta cosinusinversen i båda led
$x=\pm\cos^{-1}0,7+n\cdot360^{\circ}$x=±cos−10,7+n·360∘ där $n$n är ett heltal.
$x\approx\pm45,6^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x≈±45,6∘+n·360∘
Areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen
De tre triangelsatserna areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen beskriver förhållanden mellan vinklar och sidor i godtyckliga trianglar. Med hjälp av dessa kan vi ta reda på okända vinklar, sidor eller areor.
Areasatsen
För en triangel $ABC$ABC ges arean av följande kvot.
$\text{Area}=$Area= $\frac{a\text{ }b\text{ }\sin C}{2}$a b sinC2
där $C$C är mellanliggande vinkel för sidorna $a$a och $b$b
Det finns tre vinklar i samma triangel. Därför råder likhet mellan följande tre kvoter, eftersom de alla motsvarar samma triangels area.
$\frac{a\text{ }b\cdot\sin C}{2}=\frac{b\text{ }c\cdot\sin A}{2}=\frac{a\text{ }c\cdot\sin B}{2}$a b·sinC2 =b c·sinA2 =a c·sinB2
Sinussatsen
För en triangel $ABC$ABC gäller att
$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$sinAa =sinBb =sinCc
där sidan $a$a är motstående vinkeln $A$A, sidan $b$b motstående vinkeln $B$B och sidan $c$c motstående vinkel $C$C.
Cosinussatsen
För en triangel $ABC$ABC gäller att
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos C$c2=a2+b2−2·a·b·cosC
där sidan $a$a är motstående vinkeln $A$A, sidan $b$b motstående vinkeln $B$B och sidan $c$c motstående vinkel $C$C.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (9)
-
1. Premium
Beräkna vinkeln $v$v.
Svara med en decimals noggrannhet.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Sin, cos och tanLiknande uppgifter: arcsinus okänd vinkel sinus sinusinversen trigonometriRättar...2. Premium
Beräkna sidan $a$a i triangeln.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Sin, cos och tanLiknande uppgifter: cosinus Geometri trigonometriRättar...3. Premium
Bestäm $\cos v$cosv om punkten $P$P har koordinaterna $\left(-0,34;\text{ }0,94\right)$(−0,34; 0,94)
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: EnhetscirkelnRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Bestäm $\tan v$tanv om punkten $P$P har koordinaterna $\left(0,47;\text{ }0,88\right)$(0,47; 0,88). Svara med en decimals noggrannhet.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: Enhetscirkeln tangens trigonometriRättar...5. Premium
Triangeln $ABC$ABC har sidorna $AB=12$AB=12 och $AC=10$AC=10 . Dess area är $35$35 cm2. Bestäm vinkeln $A$A.
Svara i hela grader.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: AreasatsenLiknande uppgifter: areasatsenRättar...6. Premium
Ange alla lösningar till $\cos x=-0,2$cosx=−0,2 i intervallet $0^{\circ}\le x\le180^{\circ}$0∘≤x≤180∘
Avrunda svaret till en decimals noggrannhet.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Trigonometriska ekvationerLiknande uppgifter: trigonometrisk ekvation trigonometriska ekvationerRättar...7. Premium
Ange den andra vinkeln i intervallet $0<v<360° $ som har samma $y$-värde som punkten $P$.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: Enhetscirkeln trigonometriRättar...8. Premium
Ange alla lösningar till $\cos x=0,36$cosx=0,36.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Trigonometriska ekvationerLiknande uppgifter: trigonometrisk ekvationRättar...9. Premium
Lös ekvationen $4\sin v=2$4sinv=2 fullständigt.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Trigonometriska ekvationerLiknande uppgifter: trigonometrisk ekvation trigonometriska ekvationerRättar...c-uppgifter (7)
-
10. Premium
Lös denna uppgift utan räknare!
Lös ekvationen $\cos\left(120^{\circ}\right)=-\cos x$cos(120∘)=−cosx
då $0\le x\le180^{\circ}$0≤x≤180∘
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: Enhetscirkeln trigonometriska sambandRättar...11. Premium
Lös denna uppgift utan räknare!
Lös ekvationen $\sin x=\sin62^{\circ}$sinx=sin62∘
då $0\le x\le180^{\circ}$0≤x≤180∘
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: Enhetscirkeln trigonometriska ekvationer trigonometriska sambandRättar...12. Premium
Bestäm $\tan u$tanu då $\tan v=$tanv= $\frac{7}{11}$711
Ange exakt svar.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Sin, cos och tanLiknande uppgifter: Geometri tangens trigonometriRättar...13. Premium
Punkten $Q$Q ligger i tredje kvadranten.
Bestäm $Q$Q:s $y$y-koordinat, då $\cos v=-\sin w$cosv=−sinw.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: Enhetscirkeln Geometri trigonometriRättar...14. Premium
Anton och Anya vill veta avståndet mellan två platser, A och B, i skogen. Mellan dessa platser är det besvärligt att ta sig fram. Det är därför svårt för dem att mäta upp avståndet direkt.
Istället väljer de ut två platser C och D som tillsammans med B ligger längs samma linje. Sedan mäter Anton och Anya upp sträckorna AC, AD, BD och CD, se figur. Figuren är inte skalenlig.
Beräkna avståndet mellan A och B.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: CosinussatsenLiknande uppgifter: Cosinussatsen problemlösning trigonometriRättar...15. Premium
Ange koordinaterna till punkten $M$M om punkten $P$P har koordinaterna $\left(-a,\text{ }b\right)$(−a, b)
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: Enhetscirkeln trigonometriRättar...16. Premium
Figuren visar triangeln $ABC$ABC där en punkt $D$D är markerad på sidan $AC$AC. Några mått och vinklar finns givna i figuren.
Bestäm längden av sträckan $BD$BD genom att använda någon eller några av triangelsatserna (sinussatsen, cosinussatsen och areasatsen).
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Sinussatsen CosinussatsenLiknande uppgifter: Cosinussatsen sinussatsen triangelsatsernaRättar...a-uppgifter (2)
-
17. Premium
Figuren visar en enhetscirkel som tangeras av en linje $L$L som är parallell med y-axeln. På linjen $L$L ligger en punkt $Q$Q som har y-koordinaten $t$t. Sträckan mellan origo och punkten $Q$Q bildar vinkeln $v$v med x-axeln.
För vinkeln $v$v gäller att $ 0° < v < 90° $
Bestäm $\cos v$cosv uttryckt i $t$t.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: cosinus Enhetscirkeln trigonometriska sambandRättar...18. Premium
Armand arbetar som silversmed och hans specialitet är smycken i form av olika geometriska figurer. Han har bestämt sig för att göra ett smycke i form av en triangel. Till sitt förfogande har han en $9,0$9,0 cm lång silvertråd som han kan böja och klippa.
Armand betecknar triangeln $ABC$ABC och bestämmer sig för att vinkeln $A$A ska vara $30^{\circ}$30∘, sidan $AB$AB $4,2$4,2 cm och sidan $BC$BC $3,2$3,2 cm.
Utred på vilket eller vilka sätt smycket kan utformas.
Vilka möjliga längder kan sidan $AC$AC anta?
Avrunda till en decimals noggrannhet.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: När sinussatsen ger två fall (lösningar)Liknande uppgifter: Cosinussatsen Geometri sinussatsen trigonometriRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Redigera uppgift Stäng Kopiera abc-fråga Flytta abc-fråga Länka abc-fråga Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
Adham Elwan
kan nån förklara till mig lösningen till uppgift 15
Eddler
Hej Adham!
I figuren är vinkeln mellan $OP$ och $OM$ rät. $M$ är alltså $P$ vriden ett kvarts varv medurs, och det är det som gör att koordinaterna byter plats.
$P$:s $x$-koordinat $-a$ blir $M$:s $y$-koordinat $a$, och $P$:s $y$-koordinat $b$ blir $M$:s $x$-koordinat $b$.
Svaret är därför $M=\left(b,\ a\right)$.
Ett sätt att kontrollera: $P$ ligger i andra kvadranten, där $x$ är negativt och $y$ positivt. $M$ ligger i första kvadranten, där båda är positiva. Minustecknet försvinner alltså, vilket stämmer med svaret.
Endast Premium-användare kan kommentera.