...
Kurser Alla kurser Min kurs Min sida Min sida Provbank Mina prov Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook X (Twitter) Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 4
 /   Trigonometri och trigonometriska funktioner

Repetition av Trigonometri

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Denna lektion är en repetition av trigonometrin från Matematik 3c för dig som läser Matematik 4. Vi repeterar kort innehållet från lektionerna sin, cos och tan, enhetscirkeln, trigonometriska ekvationer, areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen. Följ länkarna för att repetera respektive område djupare.

Samband i rätvinkliga trianglar

För rätvinkliga trianglar gäller följande samband.

 $\sin v=$sinv=$\frac{a}{c}=\frac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}$ac =Motstående katetHypotenusa   

$\cos v=$cosv= $\frac{b}{c}=\frac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}$bc =Närliggande katetHypotenusa  

$\tan v=$tanv= $\frac{a}{b}=\frac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}$ab =Motstående katetNärliggande katet  

Enhetscirkeln

Med hjälp av en enhetscirkel  utvidgar vi de trigonometriska sambanden $\sin v$sinv, $\text{ }\cos v$ cosv och $\tan v$tanv till att gälla för alla vinklar $v$v. Enhetscirkeln är mycket användbar för att ta fram nya samband och formler.

Enhetscirkeln

Med hjälp av enhetscirkeln kan ett antal samband tas fram. Dessa samband kommer du ha stor nytta av när du i Matematik 4 jobbar med trigonometriska ekvationer och formler.

Sammanfattning av samband

På enhetscirkeln gäller följande.

$\sin v=y$sinv=y

$\cos v=x$cosv=x

$\tan v=$tanv=$\frac{\sin v}{\cos v}$sinvcosv   , där  $\cos v\ne0$cosv0

$\sin\left(180^{\circ}-v\right)=\sin v$sin(180v)=sinv

$\cos\left(180^{\circ}-v\right)=-\cos v$cos(180v)=cosv

Exempel 1

En punkt $P$P på enhetscirkeln har koordinaterna $\left(0,6;\text{ }0,8\right)$(0,6; 0,8)

Bestäm värdet för $\sin v$sinv,  $\cos v$cosv,  $\tan v$tanv och vinkeln $v$v  med en decimals noggrannhet.

Lösning

Vi vet att punkten  $P$P s koordinater är  $(0,6;\text{ }0,8)$(0,6; 0,8)  och samtidigt vet vi att alla punkter på enhetscirkeln har koordinaterna  $(\cos v,\text{ }\sin v)$(cosv, sinv).

Vi kan därmed avgöra att

$\sin v=0,8$sinv=0,8

$\cos v=0,6$cosv=0,6

Därefter kan vi bestämma $\tan v$tanv genom

 $\tan v=$tanv=$\frac{\sin v}{\cos v}=\frac{0,8}{0,6}\approx$sinvcosv =0,80,6 $1,3$1,3 

Slutligen bestämmer vi vinkeln $v$v genom

$\sin v=0,8$sinv=0,8

 $v=\sin^{-1}\left(0,8\right)$v=sin1(0,8) 

$v\approx53,1^{\circ}$v53,1

Trigonometriska ekvationer

En trigonometrisk ekvation är en ekvation som innehåller de trigonometriska sambanden, exempelvis  $\sin$sin$\cos$cos och $\tan$tan. För att exempelvis lösa ekvationer med sinus så används $\arcsin$arcsin eller $\sin^{-1}$sin1 (sinusinvers). På samma sätt används  $\arccos$arccos  eller $\cos^{-1}$cos1  (cosinusinvers) för ekvationer med cosinus och  $\arctan$arctan eller $\tan^{-1}$tan1  (tangensinvers) för ekvationer med tangens.

För att fullständigt lösa dessa ekvationer så använder vi vår förståelse av enhetscirkeln.

Allmän lösning för sinus

Grundekvation sinus

$\sin v=a$sinv=a  där $-1\le a\le1$1a1

Alla lösningar ges av

$v=\sin^{-1}a+n\cdot360°$v=sin1a+n·360° ,  $n$n är ett heltal

eller

$v=180°-\sin^{-1}a+n\cdot360°$v=180°sin1a+n·360° , $n$n är ett heltal

Vi tittar på ett exempel.

Exempel 2

För vilka vinklar i intervallet $0^{\circ}\le x\le180^{\circ}$0x180 gäller att $2\sin x=0,6$2sinx=0,6 ?

Lösning

 $2\sin x=0,6$2sinx=0,6          dividera både led med $2$2 

$\sin x=0,3$sinx=0,3          ta sinusinversen i båda led

 $x=\sin^{-1}0,3$x=sin10,3 

$x\approx17,5^{\circ}$x17,5

Alla lösningar ges av

$x=17,5^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x=17,5+n·360

och

$x=180^{\circ}-17,5^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x=18017,5+n·360

$x=162,5^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x=162,5+n·360

där $n$n är ett heltal.

Här söktes dock endast lösningarna i intervallet $0^{\circ}\le x\le180^{\circ}$0x180 vilket ger oss lösningarna

$x_1=17,5^{\circ}$x1=17,5  och $x_2=162,5^{\circ}$x2=162,5

Allmän lösning för cosinus

Grundekvation cosinus

$\cos v=a$cosv=a  där $-1\le a\le1$1a1

Alla lösningar ges av

$v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot360°$v=±cos1a+n·360° ,  $n$n är ett heltal

Exempel 3

Lös ekvationen $\cos x=0,7$cosx=0,7 fullständigt och svara med en decimals noggrannhet.

Lösning

$\cos x=0,7$cosx=0,7                 ta cosinusinversen i båda led

 $x=\pm\cos^{-1}0,7+n\cdot360^{\circ}$x=±cos10,7+n·360  där  $n$n är ett heltal.

$x\approx\pm45,6^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x±45,6+n·360

Areasatssen, sinussatsen och cosinussatsen

De tre triangelsatserna areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen beskrever förhållanden mellan vinklar och siffror i godtyckliga trianglar. Med hjälp av dessa kan du ta reda på okända vinklar, sidor eller areor.

Areasatsen

För en triangel $ABC$ABC ges arean av följande kvot.

Bild till areasatsen

  $\text{Area}=$Area= $\frac{a\text{ }b\text{ }\sin C}{2}$a b sinC2  

där $C$C är mellanliggande vinkel för sidorna $a$a och $b$b 

Då det finns tre vinklar i samma triangel gäller så klart att likhet råden mellan följande tre kvoter, eftersom att de alla motsvarar samma triangels area.  

 $\frac{a\text{ }b\cdot\sin C}{2}=\frac{b\text{ }c\cdot\sin A}{2}=\frac{a\text{ }c\cdot\sin B}{2}$a b·sinC2 =b c·sinA2 =a c·sinB2  

Sinussatsen

För en triangel $ABC$ABC gäller att

Sinussatsen

 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$sinAa =sinBb =sinCc  

där sidan $a$a är motstående vinkeln $A$A, sidan  $b$b motstående vinkeln  $B$B  och sidan $c$c  motstående vinkel  $C$C.

Cosinussatsen

För en triangel $ABC$ABC gäller att

Cosinussatsen

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos C$c2=a2+b22·a·b·cosC

där sidan $a$a är motstående vinkeln $A$A, sidan $b$b motstående vinkeln $B$B och sidan $c$c motstående vinkel $C$C.

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (9)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna vinkeln $v$v.

    Rätvinklig triangel

    Svara med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Sin, cos och tan
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna sidan $a$a i triangeln.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Sin, cos och tan
    Liknande uppgifter: cosinus Geometri trigonometri
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Bestäm  $\cos v$cosv om punkten $P$P har koordinaterna  $\left(-0,34;\text{ }0,94\right)$(0,34; 0,94) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Enhetscirkeln
    Liknande uppgifter: Enhetscirkeln
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Bestäm  $\tan v$tanv om punkten $P$P har koordinaterna $\left(0,47;\text{ }0,88\right)$(0,47; 0,88). Svara med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Enhetscirkeln
    Liknande uppgifter: Enhetscirkeln tangens trigonometri
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Triangeln $ABC$ABC  har har sidorna $AB=12$AB=12  och $AC=10$AC=10 . Dess area är $35\text{ }cm^2$35 cm2. Bestäm vinkeln $A$A

    Svara i hela grader.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Areasatsen
    Liknande uppgifter: areasatsen
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Ange alla lösningar till  $\cos x=-0,2$cosx=0,2 i intervallet  $0^{\circ}\le x\le180^{\circ}$0x180 

    Avrunda svaret till en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Ange den andra vinkeln i intervallet $0<v<360° $ som har samma $y$-värde som punkten $P$.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Enhetscirkeln
    Liknande uppgifter: Enhetscirkeln trigonometri
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Ange alla lösningar till $\cos x=0,36$cosx=0,36.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: trigonometrisk ekvation
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Lös ekvationen  $4\sin v=2$4sinv=2  fullständigt.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (7)

  • 10. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ

    Lös denna uppgift utan räknare!

    Lös ekvationen $\cos\left(120^{\circ}\right)=-\cos x$cos(120)=cosx

    $0\le x\le180^{\circ}$0x180 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Enhetscirkeln
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ

    Lös denna uppgift utan räknare!

    Lös ekvationen $\sin x=\sin62^{\circ}$sinx=sin62 

    $0\le x\le180^{\circ}$0x180 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Enhetscirkeln
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Bestäm $\tan u$tanu  då  $\tan v=$tanv=  $\frac{7}{11}$711  

    Triangel med två okända vinklar

    Ange exakt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Sin, cos och tan
    Liknande uppgifter: Geometri tangens trigonometri
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 13. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ

    Punkten  $Q$Q ligger i tredje kvadranten. 

    Bestäm $Q$Q s  $y$y-koordinat, då $\cos v=-\sin w$cosv=sinw.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Enhetscirkeln
    Liknande uppgifter: Enhetscirkeln Geometri trigonometri
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 14. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K 1
    M NP INGÅR EJ

    Anton och Anya vill veta avståndet mellan två platser, A och B, i skogen. Mellan dessa platser är det besvärligt att ta sig fram. Det är därför svårt för dem att mäta upp avståndet direkt.

    Istället väljer de ut två platser C och D som tillsammans med B ligger längs samma linje. Sedan mäter Anton och Anya upp sträckorna AC, AD, BD och CD, se figur. Figuren är inte skalenlig.

    Beräkna avståndet mellan A och B.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Cosinussatsen
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 15. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Ange koordinaterna till punkten $M$M om punkten $P$P har koordinaterna $\left(-a,\text{ }b\right)$(a, b) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Enhetscirkeln
    Liknande uppgifter: Enhetscirkeln trigonometri
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 16. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K 1
    M NP INGÅR EJ

    Figuren visar triangeln $ABC$ABC där en punkt $D$D är markerad på sidan $AC$AC. Några mått och vinklar finns givna i figuren.

    Bestäm längden av sträckan $BD$BD genom att använda någon eller några av triangelsatserna (sinussatsen, cosinussatsen och areasatsen).

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Sinussatsen Cosinussatsen
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (2)

  • 17. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/1)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Figuren visar en enhetscirkel som tangeras av en linje $L$L som är parallell med y-axeln. På linjen $L$L ligger en punkt $Q$Q som har y-koordinaten $t$t. Sträckan mellan origo och punkten $Q$Q bildar vinkeln $v$v med x-axeln.

    För vinkeln $v$v gäller att $ 0° < v < 90° $

    Bestäm $\cos v$cosv uttryckt i $t$t.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Enhetscirkeln
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 18. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/2/2)
    E C A
    B
    P
    PL 1 2
    M
    R 1
    K 1
    M NP INGÅR EJ

    Armand arbetar som silversmed och hans specialitet är smycken i form av olika geometriska figurer. Han har bestämt sig för att göra ett smycke i form av en triangel. Till sitt förfogande har han en  $9,0$9,0 cm lång silvertråd som han kan böja och klippa.

    Armand betecknar triangeln $ABC$ABC och bestämmer sig för att vinkeln $A$A ska vara $30^{\circ}$30, sidan $AB$AB  $4,2$4,2 cm och sidan $BC$BC $3,2$3,2 cm.

    Utred på vilket eller vilka sätt smycket kan utformas.

    Vilka möjliga längder kan sidan $AC$AC  anta?

    Avrunda till en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se