Nationellt prov Matematik 4 vt 2013 DEL B och C

Derivera $f(x)=\sin(2x)$ƒ (x)=sin(2x) 

Derivera $g(x)=(4x+1)^5$g(x)=(4x+1)⁵ 

Figuren visar ett komplext talplan där talen $z_1$z₁ och $z_2$z₂ är markerade.
Bestäm $\overline{z_2}$z_‍2 .

Figuren visar ett komplext talplan där talen $z_1$z₁ och $z_2$z₂ är markerade.
Bestäm $z_1+z_2$z₁+z₂ 

Ange den lodräta asymptoteten till $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{x-3}{x+2}$x−3x+2 

Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ .
För vilket värde på $a$a i intervallet $0\le a\le10$0≤a≤10 antar $\int_0^af\left(x\right)dx$∫₀^aƒ (x)dx sitt största värde?

För vilka vinklar i intervallet $0°<$0°<$v$v$<90^{\circ}$<90^∘   gäller att $\sin3v<$sin3v<$\frac{1}{2}$12 ?

Ange en kontinuerlig funktion $f$ƒ  som är definierad för alla $x$x och har värdemängden $-1\le f(x)\le7$−1≤ƒ (x)≤7.

Några elever har fått i uppgift att beräkna $\int_1^e\frac{1}{x}dx$∫₁^e1x dx 
Agnes får svaret $e$e. 
Ingela får svaret $0$0.
Kerstin får svaret $1$1.

Har någon av dem rätt? Motivera ditt svar.

För två komplexa tal $z_1$z₁ och $z_2$z₂ gäller att

•  $z_1\cdot z_2=7+i$z₁·z₂=‍7+i 
•  $z_1=3-i$z₁=3−i 

  Bestäm $z_2$z₂ på formen $a+bi$a+bi 

Visa att $\cos^2x$cos²x $\left(\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+1\right)=1$(sin²xcos²x +1)=1   för alla $x$x där uttrycken är definierade.

 Visa att $\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})=\cos x-\sin x$√2cos(x+π4 )=cosx−sinx 

Lös ekvationen $\cos2x=$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$√32   

För funktionen $f$ƒ  gäller att $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{x+1}{x-3}$x+1x−3   .

a) Ange asymptoterna till $f$ƒ  .

b) Skissa grafen till $x$x och dess asymptoter.

c) Lös olikheten $|f(x)|>3$|ƒ (x)|>3 

Ekvationen $z^p=i$z^p=i ska undersökas för olika värden på heltalet $p$p.
För vissa värden på heltalet $p$p är $z_1=\cos9°+i\text{ }\sin9°$z₁=cos9°+i sin9° en lösning till ekvationen $z^p=i$z^p=i.

Visa att detta gäller för $p=50$p=50, det vill säga visa att $z_1$z₁ är en lösning till $z^{50}=i$z⁵⁰‍=i .

Ekvationen $z^p=i$z^p=i ska undersökas för olika värden på heltalet $p$p.
För vissa värden på heltalet $p$p är $z_1=\cos9°+i\text{ }\sin9°$z₁=cos9°+i sin9° en lösning till ekvationen $z^p=i$z^p=i.

Bestäm alla heltalsvärden på $p$p för vilka $z_1$z₁ är en lösning till ekvationen $z^p=i$z^p=i 

För polynomet $p$p gäller att $p(z)=z^5+4z^3-2z^2-8$p(z)=z⁵+4z³−2z²−8.
Visa att $(z^2+4)$(z²+4) är en faktor i polynomet $p$p.

Lös ekvationen $z^5+4z^3-2z^2-8=0$z⁵+4z³−2z²−8=0

Beräkna $\int_0^{^{\frac{\pi}{6}}}\left(2\text{ }\sin x+5\right)\cos x\text{ }dx$∫₀^π6 (2 sinx+5)cosx dx 

Lasse och Niklas ska lösa följande uppgift:

Undersök om funktionen $f(x)=$ƒ (x)=$\frac{1}{2x-5}$12x−5   antar något största värde då $x\ge0$x≥0.

Lasse löser uppgiften så här:

Niklas säger att Lasses svar är fel eftersom funktionen kan anta större värden än $\frac{-1}{5}$−15 . Till exempel antar funktionen värdet $1$1 då $x=3$x=3.

Utred vilket fel Lasse gör i sin lösning och lös den givna uppgiften.