Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Polynomekvationer
Innehåll
I tidigare gymnasiekurser har vi löst polynomekvationer av första och andra graden med hjälp av metoder som nollproduktmetoden och pq–formeln. Nu ska vi introducera ekvationer som innehåller polynom av högre grad, tex tredje- och fjärdegradsekvationer. En effektiv metod för att lösa dessa ekvationer är att först faktorisera polynomekvationen med hjälp av en polynomdivision.
Hos ett polynom måste samtliga variabler utgöra basen i potenser med exponenter som tillhör de naturliga talen. Konstanttermerna och variabeltermerna får vidare enbart kombineras med addition, subtraktion och multiplikation.
För att lösa polynomekvationer utgår vi från faktorsatsen som säger att
Faktorsatsen
Polynomet $p(x)$p(x) har en faktor $(x-a)$(x−a) om och endast om $x=a$x=a är en rot till $p(x)=0$p(x)=0.
Formuleringen ”om och endast om” motsvarar en ekvivalens mellan påståendena. Det innebär att även det omvända gäller, alltså
$a$a är ett nollställe till $p\left(x\right)$p(x) om och endast om $\left(x-a\right)$(x−a) är en faktor till $p\left(x\right)$p(x).
Detta innebär att vi genom att först hitta en rot $a$a till polynomet, och sedan dividera polynomet med faktorn $(x-a)$(x−a), kan hitta en kvot till polynomet. Denna kvot har en lägre grad än det ursprungliga polynomet och vi kan då använda nollproduktmetoden och/eller pq-formeln för att lösa ekvationen.
Polynomet $p(x)$p(x) kan faktoriseras enligt $p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)$p(x)=q(x)(x−a) där $q\left(x\right)$q(x) är kvoten vid polynomdivision mellan $p\left(x\right)$p(x) och $\left(x-a\right)$(x−a), om resten är noll.
Metod för att lösa polynomekvationer
Vi börjar med att skriva om ekvationen på formen $p\left(x\right)=0$p(x)=0 . Därefter kan vi följa dessa steg:
- Hitta en första rot $a$a
Om vi inte har fått en rot till ekvationen behöver vi hitta det. Ett sätt är att gissa, genom att testa några enkla alternativ, t ex $a=0$a=0, $a=1$a=1, $a=-1$a=−1, $a=i$a=i. - Dividera $p\left(x\right)$p(x) med $\left(x-a\right)$(x−a)
Om $a$a är en rot till $p\left(x\right)=0$p(x)=0 vet vi enligt faktorsatsen att $\left(x-a\right)$(x−a) är en faktor i $p\left(x\right)$p(x). Polynomdivisionen ger därför resten $0$0. - Faktorisera och lös ekvationen
Polynomet $p\left(x\right)$p(x) kan nu faktoriseras enligt polynom = kvot ⋅ faktor, och vi kan lösa ekvationen med nollproduktmetoden ofta kombinerat med pq-formeln.
Exempel 1
Lös ekvationen $x^3+2x^2+2x+1=0$x3+2x2+2x+1=0
Lösning
Ekvationen är skriven på formen $p\left(x\right)=0$p(x)=0. Vi följer stegen i strategin ovan:
1. Hitta en första rot $a$a
Vi har inte fått någon rot till ekvationen. Vi ser att varken $a=0$a=0 eller $a=1$a=1 är möjliga rötter, och testar då $a=-1$a=−1:
$VL=\left(-1\right)^3+2\left(-1\right)^2+2\left(-1\right)+1=$VL=(−1)3+2(−1)2+2(−1)+1= $-1+2-2+1=$−1+2−2+1= $0$0
$HL=0$HL=0
$VL=HL$VL=HL , alltså är $a=-1$a=−1 en rot till ekvationen.
2. Dividera $p\left(x\right)$p(x) med $\left(x-a\right)$(x−a)
$a=-1$a=−1 ger faktorn $x-\left(-1\right)=x+1$x−(−1)=x+1 .
Vi utför polynomdivisionen $\frac{x^3+2x^2+2x+1}{x+1}$x3+2x2+2x+1x+1 med hjälp av liggande stolen.
Alltså: $\frac{x^3+2x^2+2x+1}{x+1}=$x3+2x2+2x+1x+1 = $x^2+x+1$x2+x+1
3. Faktorisera och lös ekvationen
Polynomet kan nu faktoriseras enligt polynom = kvot ⋅ faktor.
$x^3+2x^2+2x+1=\left(x^2+x+1\right)\cdot\left(x+1\right)$x3+2x2+2x+1=(x2+x+1)·(x+1)
Eftersom $HL=0$HL=0 gäller:
$\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)=0$(x2+x+1)(x+1)=0 och vi kan lösa ekvationen med nollproduktmetoden kombinerat med pq-formeln.
Den första roten har vi redan: $x_1=-1$x1=−1
De andra två rötterna ges av:
$x^2+x+1=0$x2+x+1=0
$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-1}$x=−12 +√(12 )2−1
$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{-\frac{3}{4}}$x=−12 +√−34
$x=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$x=−12 +√32 i
Ekvationens tre lösningar är:
$\begin{cases} x_1=-1 \\ x_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\x_3=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{cases}$
Konjugerade rötter
Om alla koefficienter till polynomekvationen är reella tal kommer alltid icke-reella rötter i konjugerande par. Detta kan vi ibland använda oss av vid lösning av polynomekvationer.
För polynomekvationen $a_n\text{ }z^n+a_{n-1}\text{ }z^{n-1}+…+a_{2\text{ }}z^2+a_1\text{ }z+a_0=0$an zn+an−1 zn−1+…+a2 z2+a1 z+a0=0 där $a_0,\text{ }a_1,\text{ }…,a_n$a0, a1, …,an är reella tal, gäller att icke-reella rötter alltid kommer i konjugerade par.
Detta innebär att om polynomet bara har reella koefficienter och en rot $z_1=a+bi$z1=a+bi kommer det även finnas en rot $z_2=a-bi$z2=a−bi .
Exempel 2
Lös ekvationen $z^2=-4$z2=−4 och markera rötterna i det komplexa talplanet.
Lösning
$z^2=-4$z2=−4
$z=\pm\sqrt{-4}$z=±√−4
$z=\pm2i$z=±2i
Polynomet $z^2$z2 har enbart reella koefficienter. Vi ser att de två rötterna $z_1=2i$z1=2i och $z_2=-2i$z2=−2i är ett konjugerade par.
Vi markerar $z_1$z1 och $z_2$z2 i det komplexa talplanet:
Exempel 3
Lös ekvationen $z^4+625=0$z4+625=0 och markera rötterna i det komplexa talplanet.
Lösning
Polynomet har enbart reella koefficienter. Därför kommer eventuella icke-reella rötter i konjugerade par.
$z^4+625=0$z4+625=0
$z^4=-625$z4=−625
Vi skriver om $VL$VL och $HL$HL i polär form.
$VL=z^4=r^4\left(\cos4v+i\text{ }\sin4v\right)$VL=z4=r4(cos4v+i sin4v)
$HL=625\left(\cos\pi+i\text{ }\sin\pi\right)$HL=625(cosπ+i sinπ)
$r^4(\cos4v+i\text{ }\sin4v)=625\left(\cos\pi+i\text{ }\sin\pi\right)$r4(cos4v+i sin4v)=625(cosπ+i sinπ)
Detta innebär att
$\begin{cases} r^4=625\\ 4v=\pi +n \cdot 2\pi \end{cases}$
$r^4=625$r4=625
$r=5$r=5
Här tar vi bara med den positiva roten, eftersom $r$r motsvarar absolutbeloppen av $z$z.
$4v=\pi+2\pi n$4v=π+2πn
$v=\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{2}$v=π4 +n·π2
Ekvationens fyra lösningarna får vi nu genom att sätta $n=0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3$n=0, 1, 2, 3 och förenkla ekvationen.
$n=0$n=0 ger:
$v=\frac{\pi}{4}+0\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}$v=π4 +0·π2 =π4
$z_1=5(\cos\frac{\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{4})=$z1=5(cosπ4 +i sinπ4 )= $\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$5√2 +i 5√2
Eftersom $z_1$z1 är en icke-reell rot, vet vi att även dess konjugat är en rot:
$z_2=$z2= $\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$5√2 −i 5√2
$n=1$n=1 ger:
$v=\frac{\pi}{4}+1\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}$v=π4 +1·π2 =3π4
$z_3=1(\cos\frac{3\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{3\pi}{4})=$z3=1(cos3π4 +i sin3π4 )= $-\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$−5√2 +i 5√2
Även $z_3$z3 är en icke-reell rot, vilket ger:
$z_4=$z4= $-\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$−5√2 −i 5√2
Ekvationens fyra lösningar är alltså:
$\begin{cases} z_1=\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}\\ z_2=\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}\\z_3=-\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}\\z_4=-\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}} \end{cases}$
Markerar vi dessa i det komplexa talplanet motsvarar rötterna hörnen i en regelbunden fyrhörning (kvadrat). De fyra lösningarna kan i polär form skrivas:
$\begin{cases} z_1=\cos \frac{\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{\pi }{8}\\ z_2=\cos \frac{5\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{5\pi }{8}\\z_3=\cos \frac{9\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{9\pi }{8}\\z_4=\cos \frac{13\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{13\pi }{8} \end{cases}$
- Lös ekvationen $ x^3+2x^2-5x+2=0 $ då vi vet roten $x=1$.
- Lös ekvationen $ x^3+5x^2+17x+13=0 $ då vi vet roten $x=-1$.
- Lös ekvationen $ x^3-3x^2+4=0 $.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Ange EN av lösningarna till ekvationen $x(x-46)(x+100)(x-1000)=0$x(x−46)(x+100)(x−1000)=0
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplexa tal och Polynom Matematik 4 PolynomekvationerRättar... -
-
2. Premium
Lös ekvationen $x^3-7x^2+12x=0$x3−7x2+12x=0
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplexa tal och Polynom Matematik 4 PolynomekvationerRättar... -
-
3. Premium
Ekvationen $x^4=16$x4=16 har en icke-reell rot $z_1=2i$z1=2i. Ange en annan icke-reell rot till ekvationen.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplexa tal och Polynom Konjugerande rötter Matematik 4 PolynomekvationerRättar... -
-
4. Premium
Lös ekvationen $x^3+4x^2+x-6=0$x3+4x2+x−6=0 om en rot är $x=1$x=1.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplexa tal och Polynom Liggande stolen Matematik 4 polynomdivision PolynomekvationerRättar...
c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Ange ett fjärdegradspolynom med reella koefficienter som har rötterna $z_1=3+i$z1=3+i och $z_2=3i+1$z2=3i+1. Svara i faktorform.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplexa tal och Polynom Konjugerande rötter Matematik 4 PolynomekvationerRättar... -
-
6. Premium
Lös ekvationen $x^3-4x^2=4x-16$x3−4x2=4x−16. En rot är $x=-2$x=−2.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplexa tal och Polynom Liggande stolen Matematik 4 polynomdivision PolynomekvationerRättar... -
-
7. Premium
Polynomet $p\left(x\right)=x^3+5x^2+4x+20$p(x)=x3+5x2+4x+20 har en rot $x_1=2i$x1=2i. Lös ekvationen $x^3+5x^2+4x+20=0$x3+5x2+4x+20=0.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Lös ekvationen $x^4-4x^3+6x^2-4x+5=0$x4−4x3+6x2−4x+5=0.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Alexandra Popa
Hej! Jag angav 46 som svar på fråga 1 men får ändå fel. Är det fel på systemet?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Alexandra,
en av lösningarna är mycket riktigt x=46 med utelämnade du x= kommer systemet tyvärr ge dig fel då du alltid måste ange variabeln i ditt svar när du löser en ekvation.
Andreas Ährlund-Richter
Bra grejer Simon!
Zubair Hamed
Kommer lätt klara av provet nu ! He He He He
nti_ma4
Du är en fantastisk lärare. Om jag hade dig som mattelärare från början hade jag varit en läkare eller ingenjör nu.
Tack!
Susan
Endast Premium-användare kan kommentera.