00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 4
/  Komplexa tal och Polynom

Polynomekvationer

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

I tidigare gymnasiekurser har vi löst polynomekvationer av första och andra graden med hjälp av metoder som nollproduktmetoden och pq–formeln. Nu ska vi introducera ekvationer som innehåller polynom av högre grad, tex tredje- och fjärdegradsekvationer. En effektiv metod för att lösa dessa ekvationer är att först faktorisera polynomekvationen med hjälp av en polynomdivision.

Hos ett polynom måste samtliga variabler utgöra basen i potenser med exponenter som tillhör de naturliga talen. Konstanttermerna och variabeltermerna får vidare enbart kombineras med addition, subtraktion och multiplikation

För att lösa polynomekvationer utgår vi från faktorsatsen som säger att

Faktorsatsen

Polynomet  p(x)p(x)p(x)  har en faktor  (xa)(x-a)(xa)  om och endast om  x=ax=ax=a  är en rot till  p(x)=0p(x)=0p(x)=0.

Formuleringen ”om och endast om” motsvarar en ekvivalens mellan påståendena. Det innebär att även det omvända gäller, alltså

 aaa är ett nollställe till p(x)p\left(x\right)p(x) om och endast om (xa)\left(x-a\right)(xa) är en faktor till p(x)p\left(x\right)p(x).

Detta innebär att vi genom att först hitta en rot  aaa  till polynomet, och sedan dividera polynomet med faktorn  (xa)(x-a)(xa), kan hitta en kvot till polynomet. Denna kvot har en lägre grad än det ursprungliga polynomet och vi kan då använda nollproduktmetoden och/eller pq-formeln för att lösa ekvationen.

Polynomet p(x)p(x)p(x) kan faktoriseras enligt  p(x)=q(x)(xa)p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)p(x)=q(x)(xa)  där  q(x)q\left(x\right)q(x) är kvoten vid polynomdivision mellan  p(x)p\left(x\right)p(x) och (xa)\left(x-a\right)(xa), om resten är noll.

Metod för att lösa polynomekvationer

Vi börjar med att skriva om ekvationen på formen   p(x)=0p\left(x\right)=0p(x)=0 . Därefter kan vi följa dessa steg:

  1. Hitta en första rot  aaa
    Om vi inte har fått en rot till ekvationen behöver vi hitta det. Ett sätt är att gissa, genom att testa några enkla alternativ, t ex  a=0a=0a=0,  a=1a=1a=1,  a=1a=-1a=1,  a=ia=ia=i.
  2. Dividera  p(x)p\left(x\right)p(x)  med  (xa)\left(x-a\right)(xa)
    Om  aaa  är en rot till   p(x)=0p\left(x\right)=0p(x)=0  vet vi enligt faktorsatsen att  (xa)\left(x-a\right)(xa)  är en faktor i  p(x)p\left(x\right)p(x). Polynomdivisionen ger därför resten  000.
  3. Faktorisera och lös ekvationen
    Polynomet  p(x)p\left(x\right)p(x)  kan nu faktoriseras enligt polynom = kvotfaktor, och vi kan lösa ekvationen med nollproduktmetoden ofta kombinerat med pq-formeln. 

Exempel 1

Lös ekvationen  x3+2x2+2x+1=0x^3+2x^2+2x+1=0x3+2x2+2x+1=0 

Lösning

Ekvationen är skriven på formen  p(x)=0p\left(x\right)=0p(x)=0. Vi följer stegen i strategin ovan:

1. Hitta en första rot  aaa
Vi har inte fått någon rot till ekvationen. Vi ser att varken  a=0a=0a=0  eller  a=1a=1a=1  är möjliga rötter, och testar då  a=1a=-1a=1:
 VL=(1)3+2(1)2+2(1)+1=VL=\left(-1\right)^3+2\left(-1\right)^2+2\left(-1\right)+1=VL=(1)3+2(1)2+2(1)+1=  1+22+1=-1+2-2+1=1+22+1= 000 
 HL=0HL=0HL=0 
 VL=HLVL=HLVL=HL , alltså är  a=1a=-1a=1 en rot till ekvationen. 

2. Dividera  p(x)p\left(x\right)p(x)  med   (xa)\left(x-a\right)(xa) 
 a=1a=-1a=1  ger faktorn  x(1)=x+1x-\left(-1\right)=x+1x(1)=x+1 .

Vi utför polynomdivisionen   x3+2x2+2x+1x+1\frac{x^3+2x^2+2x+1}{x+1}x3+2x2+2x+1x+1   med hjälp av liggande stolen.

Alltså:   x3+2x2+2x+1x+1=\frac{x^3+2x^2+2x+1}{x+1}=x3+2x2+2x+1x+1 = x2+x+1x^2+x+1x2+x+1  

3. Faktorisera och lös ekvationen
Polynomet kan nu faktoriseras enligt polynom = kvotfaktor.
 x3+2x2+2x+1=(x2+x+1)(x+1)x^3+2x^2+2x+1=\left(x^2+x+1\right)\cdot\left(x+1\right)x3+2x2+2x+1=(x2+x+1)·(x+1) 
Eftersom  HL=0HL=0HL=0  gäller:
 (x2+x+1)(x+1)=0\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)=0(x2+x+1)(x+1)=0 och vi kan lösa ekvationen med nollproduktmetoden kombinerat med pq-formeln. 
Den första roten har vi redan:  x1=1x_1=-1x1=1 
De andra två rötterna ges av:
 x2+x+1=0x^2+x+1=0x2+x+1=0 
 x=12+(12)21x=-\frac{1}{2}+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-1}x=12 +(12 )21 
 x=12+34x=-\frac{1}{2}+\sqrt{-\frac{3}{4}}x=12 +34  
 x=12+32ix=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}ix=12 +32 i 

Ekvationens tre lösningar är:

{x1=1x2=12+32ix3=1232i\begin{cases} x_1=-1 \\ x_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\x_3=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{cases}

Konjugerade rötter

Om alla koefficienter till polynomekvationen är reella tal kommer alltid icke-reella rötter i konjugerandepar. Detta kan vi ibland använda oss av vid lösning av polynomekvationer.

För polynomekvationen  an zn+an1 zn1++a2 z2+a1 z+a0=0a_n\text{ }z^n+a_{n-1}\text{ }z^{n-1}+…+a_{2\text{ }}z^2+a_1\text{ }z+a_0=0an zn+an1 zn1++a2 z2+a1 z+a0=0   där   a0, a1, ,ana_0,\text{ }a_1,\text{ }…,a_na0, a1, …,an är reella tal, gäller att icke-reella rötter alltid kommer i konjugerade par.

Detta innebär att om polynomet bara har reella koefficienter och en rot z1=a+biz_1=a+biz1=a+bi  kommer det även finnas en rot  z2=abiz_2=a-biz2=abi .

Exempel 2

Lös ekvationen  z2=4z^2=-4z2=4 och markera rötterna i det komplexa talplanet.

Lösning

 z2=4z^2=-4z2=4 
 z=±4z=\pm\sqrt{-4}z=±4 
 z=±2iz=\pm2iz=±2i  

Polynomet  z2z^2z2  har enbart reella koefficienter. Vi ser att de två rötterna  z1=2iz_1=2iz1=2i  och  z2=2iz_2=-2iz2=2i  är ett konjugerade par.

Vi markerar  z1z_1z1 och z2z_2z2  i det komplexa talplanet:

Exempel 3

Lös ekvationen  z4+625=0z^4+625=0z4+625=0  och markera rötterna i det komplexa talplanet.

Lösning

Polynomet har enbart reella koefficienter. Därför kommer eventuella icke-reella rötter i konjugerade par.

 z4+625=0z^4+625=0z4+625=0  
 z4=625z^4=-625z4=625 

Vi skriver om  VLVLVL  och  HLHLHL  i polär form.

 VL=z4=r4(cos4v+i sin4v)VL=z^4=r^4\left(\cos4v+i\text{ }\sin4v\right)VL=z4=r4(cos4v+i sin4v) 
 HL=625(cosπ+i sinπ)HL=625\left(\cos\pi+i\text{ }\sin\pi\right)HL=625(cosπ+i sinπ) 

 r4(cos4v+i sin4v)=625(cosπ+i sinπ)r^4(\cos4v+i\text{ }\sin4v)=625\left(\cos\pi+i\text{ }\sin\pi\right)r4(cos4v+i sin4v)=625(cosπ+i sinπ)

Detta innebär att

{r4=6254v=π+n2π \begin{cases} r^4=625\\ 4v=\pi +n \cdot 2\pi  \end{cases}

 r4=625r^4=625r4=625 
 r=5r=5r=5

Här tar vi bara med den positiva roten, eftersom  rrr motsvarar absolutbeloppen av zzz.  

 4v=π+2πn4v=\pi+2\pi n4v=π+2πn 
 v=π4+nπ2v=\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{2}v=π4 +n·π2  

Ekvationens fyra lösningarna får vi nu genom att sätta  n=0, 1, 2, 3n=0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3n=0, 1, 2, 3  och förenkla ekvationen.

 n=0n=0n=0  ger:
 v=π4+0π2=π4v=\frac{\pi}{4}+0\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}v=π4 +0·π2 =π4  
 z1=5(cosπ4+i sinπ4)=z_1=5(\cos\frac{\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{4})=z1=5(cosπ4 +i sinπ4 )= 52+i 52\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}52 +i 52   

Eftersom  z1z_1z1  är en icke-reell rot, vet vi att även dess konjugat är en rot:
 z2=z_2=z2= 52i 52\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}52 i 52    

 n=1n=1n=1 ger:
 v=π4+1π2=3π4v=\frac{\pi}{4}+1\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}v=π4 +1·π2 =3π4 
 z3=1(cos3π4+i sin3π4)=z_3=1(\cos\frac{3\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{3\pi}{4})=z3=1(cos3π4 +i sin3π4 )= 52+i 52-\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}52 +i 52  

Även  z3z_3z3 är en icke-reell rot, vilket ger:
 z4=z_4=z4= 52i 52-\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}52 i 52  

Ekvationens fyra lösningar är alltså:

{z1=52+i 52z2=52i 52z3=52+i 52z4=52i 52\begin{cases} z_1=\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}\\ z_2=\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}\\z_3=-\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}\\z_4=-\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}} \end{cases}

Markerar vi dessa i det komplexa talplanet motsvarar rötterna hörnen i en regelbunden fyrhörning (kvadrat). De fyra lösningarna kan i polär form skrivas:

{z1=cosπ8+i sinπ8z2=cos5π8+i sin5π8z3=cos9π8+i sin9π8z4=cos13π8+i sin13π8\begin{cases} z_1=\cos \frac{\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{\pi }{8}\\ z_2=\cos \frac{5\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{5\pi }{8}\\z_3=\cos \frac{9\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{9\pi }{8}\\z_4=\cos \frac{13\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{13\pi }{8} \end{cases}

  • Lös ekvationen x3+2x25x+2=0 x^3+2x^2-5x+2=0 då vi vet roten x=1x=1.
  • Lös ekvationen x3+5x2+17x+13=0 x^3+5x^2+17x+13=0 då vi vet roten x=1x=-1.
  • Lös ekvationen x33x2+4=0 x^3-3x^2+4=0 .