Polynomekvationer

Exempel 1

Lös ekvationen  $x^3+2x^2+2x+1=0$x³+2x²+2x+1=0 

Lösning

Ekvationen är skriven på formen  $p\left(x\right)=0$p(x)=0. Vi följer stegen i strategin ovan:

1. Hitta en första rot  $a$a
Vi har inte fått någon rot till ekvationen. Vi ser att varken  $a=0$a=0  eller  $a=1$a=1  är möjliga rötter, och testar då  $a=-1$a=−1:
 $VL=\left(-1\right)^3+2\left(-1\right)^2+2\left(-1\right)+1=$VL=(−1)³+2(−1)²+2(−1)+1=  $-1+2-2+1=$−1+2−2+1= $0$0 
 $HL=0$HL=0 
 $VL=HL$VL=HL , alltså är  $a=-1$a=−1 en rot till ekvationen. 

2. Dividera  $p\left(x\right)$p(x)  med   $\left(x-a\right)$(x−a) 
 $a=-1$a=−1  ger faktorn  $x-\left(-1\right)=x+1$x−(−1)=x+1 .

Vi utför polynomdivisionen   $\frac{x^3+2x^2+2x+1}{x+1}$x³+2x²+2x+1x+1   med hjälp av liggande stolen.

Alltså:   $\frac{x^3+2x^2+2x+1}{x+1}=$x³+2x²+2x+1x+1 = $x^2+x+1$x²+x+1  

3. Faktorisera och lös ekvationen
Polynomet kan nu faktoriseras enligt polynom = kvot ⋅ faktor.
 $x^3+2x^2+2x+1=\left(x^2+x+1\right)\cdot\left(x+1\right)$x³+2x²+2x+1=(x²+x+1)·(x+1) 
Eftersom  $HL=0$HL=0  gäller:
 $\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)=0$(x²+x+1)(x+1)=0 och vi kan lösa ekvationen med nollproduktmetoden kombinerat med pq-formeln. 
Den första roten har vi redan:  $x_1=-1$x₁=−1 
De andra två rötterna ges av:
 $x^2+x+1=0$x²+x+1=0 
 $x=-\frac{1}{2}+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-1}$x=−12 +√(12 ‍)²−1 
 $x=-\frac{1}{2}+\sqrt{-\frac{3}{4}}$x=−12 +√−34  
 $x=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$x=−12 +√32 i 

Ekvationens tre lösningar är:

$\begin{cases} x_1=-1 \\ x_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\x_3=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{cases}$

Exempel 2

Lös ekvationen  $z^2=-4$z²=−4 och markera rötterna i det komplexa talplanet.

Lösning

 $z^2=-4$z²=−4 
 $z=\pm\sqrt{-4}$z=±√−4 
 $z=\pm2i$z=±2i  

Polynomet  $z^2$z²  har enbart reella koefficienter. Vi ser att de två rötterna  $z_1=2i$z₁=2i  och  $z_2=-2i$z₂=−2i  är ett konjugerade par.

Vi markerar  $z_1$z₁ och $z_2$z₂  i det komplexa talplanet:

Exempel 3

Lös ekvationen  $z^4+625=0$z⁴+625=0  och markera rötterna i det komplexa talplanet.

Lösning

Polynomet har enbart reella koefficienter. Därför kommer eventuella icke-reella rötter i konjugerade par.

 $z^4+625=0$z⁴+625=0  
 $z^4=-625$z⁴=−625 

Vi skriver om  $VL$VL  och  $HL$HL  i polär form.

 $VL=z^4=r^4\left(\cos4v+i\text{ }\sin4v\right)$VL=z⁴=r⁴(cos4v+i sin4v) 
 $HL=625\left(\cos\pi+i\text{ }\sin\pi\right)$HL=625(cosπ+i sinπ) 

 $r^4(\cos4v+i\text{ }\sin4v)=625\left(\cos\pi+i\text{ }\sin\pi\right)$r⁴(cos4v+i sin4v)=625(cosπ+i sinπ)

Detta innebär att

$\begin{cases} r^4=625\\ 4v=\pi +n \cdot 2\pi  \end{cases}$

 $r^4=625$r⁴=625 
 $r=5$r=5

Här tar vi bara med den positiva roten, eftersom  $r$r motsvarar absolutbeloppen av $z$z.  

 $4v=\pi+2\pi n$4v=π+2πn 
 $v=\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{2}$v=π4 +n·π2  

Ekvationens fyra lösningarna får vi nu genom att sätta  $n=0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3$n=0, 1, 2, 3  och förenkla ekvationen.

 $n=0$n=0  ger:
 $v=\frac{\pi}{4}+0\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}$v=π4 +0·π2 =π4  
 $z_1=5(\cos\frac{\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{4})=$z₁=5(cosπ4 +i sinπ4 )= $\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$5√2 +i 5√2   

Eftersom  $z_1$z₁  är en icke-reell rot, vet vi att även dess konjugat är en rot:
 $z_2=$z₂= $\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$5√2 −i 5√2    

 $n=1$n=1 ger:
 $v=\frac{\pi}{4}+1\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}$v=π4 +1·π2 =3π4 
 $z_3=1(\cos\frac{3\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{3\pi}{4})=$z₃=1(cos3π4 +i sin3π4 )= $-\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$−5√2 +i 5√2  

Även  $z_3$z₃ är en icke-reell rot, vilket ger:
 $z_4=$z₄= $-\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$−5√2 −i 5√2  

Ekvationens fyra lösningar är alltså:

$\begin{cases} z_1=\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}\\ z_2=\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}\\z_3=-\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}\\z_4=-\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}} \end{cases}$

Markerar vi dessa i det komplexa talplanet motsvarar rötterna hörnen i en regelbunden fyrhörning (kvadrat). De fyra lösningarna kan i polär form skrivas:

$\begin{cases} z_1=\cos \frac{\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{\pi }{8}\\ z_2=\cos \frac{5\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{5\pi }{8}\\z_3=\cos \frac{9\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{9\pi }{8}\\z_4=\cos \frac{13\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{13\pi }{8} \end{cases}$