Författare:Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
I tidigare gymnasiekurser har vi löst polynomekvationer av första och andra graden med hjälp av metoder som nollproduktmetoden och pq–formeln. Nu ska vi introducera ekvationer som innehåller polynom av högre grad, tex tredje- och fjärdegradsekvationer. En effektiv metod för att lösa dessa ekvationer är att först faktorisera polynomekvationen med hjälp av en polynomdivision.
Hos ett polynom måste samtliga variabler utgöra basen i potenser med exponenter som tillhör de naturliga talen. Konstanttermerna och variabeltermerna får vidare enbart kombineras med addition, subtraktion och multiplikation.
För att lösa polynomekvationer utgår vi från faktorsatsen som säger att
Faktorsatsen
Polynomet p(x)p(x) har en faktor (x−a)(x−a) om och endast om x=ax=a är en rot till p(x)=0p(x)=0.
Formuleringen ”om och endast om” motsvarar en ekvivalens mellan påståendena. Det innebär att även det omvända gäller, alltså
aa är ett nollställe till p(x)p(x) om och endast om (x−a)(x−a) är en faktor till p(x)p(x).
Detta innebär att vi genom att först hitta en rot aa till polynomet, och sedan dividera polynomet med faktorn (x−a)(x−a), kan hitta en kvot till polynomet. Denna kvot har en lägre grad än det ursprungliga polynomet och vi kan då använda nollproduktmetoden och/eller pq-formeln för att lösa ekvationen.
Polynomet p(x)p(x) kan faktoriseras enligt p(x)=q(x)(x−a)p(x)=q(x)(x−a) där q(x)q(x) är kvoten vid polynomdivision mellan p(x)p(x) och (x−a)(x−a), om resten är noll.
Metod för att lösa polynomekvationer
Vi börjar med att skriva om ekvationen på formen p(x)=0p(x)=0 . Därefter kan vi följa dessa steg:
- Hitta en första rot aa
Om vi inte har fått en rot till ekvationen behöver vi hitta det. Ett sätt är att gissa, genom att testa några enkla alternativ, t ex a=0a=0, a=1a=1, a=−1a=−1, a=ia=i. - Dividera p(x)p(x) med (x−a)(x−a)
Om aa är en rot till p(x)=0p(x)=0 vet vi enligt faktorsatsen att (x−a)(x−a) är en faktor i p(x)p(x). Polynomdivisionen ger därför resten 00. - Faktorisera och lös ekvationen
Polynomet p(x)p(x) kan nu faktoriseras enligt polynom = kvot ⋅ faktor, och vi kan lösa ekvationen med nollproduktmetoden ofta kombinerat med pq-formeln.
Exempel 1
Lös ekvationen x3+2x2+2x+1=0x3+2x2+2x+1=0
Lösning
Ekvationen är skriven på formen p(x)=0p(x)=0. Vi följer stegen i strategin ovan:
1. Hitta en första rot aa
Vi har inte fått någon rot till ekvationen. Vi ser att varken a=0a=0 eller a=1a=1 är möjliga rötter, och testar då a=−1a=−1:
VL=(−1)3+2(−1)2+2(−1)+1=VL=(−1)3+2(−1)2+2(−1)+1= −1+2−2+1=−1+2−2+1= 00
HL=0HL=0
VL=HLVL=HL , alltså är a=−1a=−1 en rot till ekvationen.
2. Dividera p(x)p(x) med (x−a)(x−a)
a=−1a=−1 ger faktorn x−(−1)=x+1x−(−1)=x+1 .
Vi utför polynomdivisionen x+1x3+2x2+2x+1x3+2x2+2x+1x+1 med hjälp av liggande stolen.
Alltså: x+1x3+2x2+2x+1=x3+2x2+2x+1x+1 = x2+x+1x2+x+1
3. Faktorisera och lös ekvationen
Polynomet kan nu faktoriseras enligt polynom = kvot ⋅ faktor.
x3+2x2+2x+1=(x2+x+1)⋅(x+1)x3+2x2+2x+1=(x2+x+1)·(x+1)
Eftersom HL=0HL=0 gäller:
(x2+x+1)(x+1)=0(x2+x+1)(x+1)=0 och vi kan lösa ekvationen med nollproduktmetoden kombinerat med pq-formeln.
Den första roten har vi redan: x1=−1x1=−1
De andra två rötterna ges av:
x2+x+1=0x2+x+1=0
x=−21+(21)2−1x=−12 +√(12 )2−1
x=−21+−43x=−12 +√−34
x=−21+23ix=−12 +√32 i
Ekvationens tre lösningar är:
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x1=−1x2=−21+23ix3=−21−23i
Konjugerade rötter
Om alla koefficienter till polynomekvationen är reella tal kommer alltid icke-reella rötter i konjugerandepar. Detta kan vi ibland använda oss av vid lösning av polynomekvationer.
För polynomekvationen an zn+an−1 zn−1+…+a2 z2+a1 z+a0=0an zn+an−1 zn−1+…+a2 z2+a1 z+a0=0 där a0, a1, …,ana0, a1, …,an är reella tal, gäller att icke-reella rötter alltid kommer i konjugerade par.
Detta innebär att om polynomet bara har reella koefficienter och en rot z1=a+biz1=a+bi kommer det även finnas en rot z2=a−biz2=a−bi .
Exempel 2
Lös ekvationen z2=−4z2=−4 och markera rötterna i det komplexa talplanet.
Lösning
z2=−4z2=−4
z=±−4z=±√−4
z=±2iz=±2i
Polynomet z2z2 har enbart reella koefficienter. Vi ser att de två rötterna z1=2iz1=2i och z2=−2iz2=−2i är ett konjugerade par.
Vi markerar z1z1 och z2z2 i det komplexa talplanet:
Exempel 3
Lös ekvationen z4+625=0z4+625=0 och markera rötterna i det komplexa talplanet.
Lösning
Polynomet har enbart reella koefficienter. Därför kommer eventuella icke-reella rötter i konjugerade par.
z4+625=0z4+625=0
z4=−625z4=−625
Vi skriver om VLVL och HLHL i polär form.
VL=z4=r4(cos4v+i sin4v)VL=z4=r4(cos4v+i sin4v)
HL=625(cosπ+i sinπ)HL=625(cosπ+i sinπ)
r4(cos4v+i sin4v)=625(cosπ+i sinπ)r4(cos4v+i sin4v)=625(cosπ+i sinπ)
Detta innebär att
{r4=6254v=π+n⋅2π
r4=625r4=625
r=5r=5
Här tar vi bara med den positiva roten, eftersom rr motsvarar absolutbeloppen av zz.
4v=π+2πn4v=π+2πn
v=4π+n⋅2πv=π4 +n·π2
Ekvationens fyra lösningarna får vi nu genom att sätta n=0, 1, 2, 3n=0, 1, 2, 3 och förenkla ekvationen.
n=0n=0 ger:
v=4π+0⋅2π=4πv=π4 +0·π2 =π4
z1=5(cos4π+i sin4π)=z1=5(cosπ4 +i sinπ4 )= 25+i 255√2 +i 5√2
Eftersom z1z1 är en icke-reell rot, vet vi att även dess konjugat är en rot:
z2=z2= 25−i 255√2 −i 5√2
n=1n=1 ger:
v=4π+1⋅2π=43πv=π4 +1·π2 =3π4
z3=1(cos43π+i sin43π)=z3=1(cos3π4 +i sin3π4 )= −25+i 25−5√2 +i 5√2
Även z3z3 är en icke-reell rot, vilket ger:
z4=z4= −25−i 25−5√2 −i 5√2
Ekvationens fyra lösningar är alltså:
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧z1=25+i 25z2=25−i 25z3=−25+i 25z4=−25−i 25
Markerar vi dessa i det komplexa talplanet motsvarar rötterna hörnen i en regelbunden fyrhörning (kvadrat). De fyra lösningarna kan i polär form skrivas:
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧z1=cos8π+i sin8πz2=cos85π+i sin85πz3=cos89π+i sin89πz4=cos813π+i sin813π
- Lös ekvationen x3+2x2−5x+2=0 då vi vet roten x=1.
- Lös ekvationen x3+5x2+17x+13=0 då vi vet roten x=−1.
- Lös ekvationen x3−3x2+4=0.
Kommentarer
e-uppgifter (4)
1.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Ange EN av lösningarna till ekvationen x(x−46)(x+100)(x−1000)=0x(x−46)(x+100)(x−1000)=0
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=0, x=46, x=−100 eller x=1000(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(2/0/0)ME C A B P 2 PL M R K Lös ekvationen x3−7x2+12x=0x3−7x2+12x=0
Svar:Ditt svar:Rätt svar: ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x1=0x2=4x3=3(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Ekvationen x4=16x4=16 har en icke-reell rot z1=2iz1=2i. Ange en annan icke-reell rot till ekvationen.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: z2=−2i(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(2/0/0)E C A B P 2 PL M R K Lös ekvationen x3+4x2+x−6=0x3+4x2+x−6=0 om en rot är x=1x=1.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (3)
5. Premium
(0/2/0)ME C A B 1 P 1 PL M R K Ange ett fjärdegradspolynom med reella koefficienter som har rötterna z1=3+iz1=3+i och z2=3i+1z2=3i+1. Svara i faktorform.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: T ex (x−3−i)(x−3+i)(x−1−3i)(x−1+3i)(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(0/2/0)ME C A B P 2 PL M R K Lös ekvationen x3−4x2=4x−16x3−4x2=4x−16. En rot är x=−2x=−2.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x1=−2x2=4x3=2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(0/3/0)ME C A B 1 P 2 PL M R K Polynomet p(x)=x3+5x2+4x+20p(x)=x3+5x2+4x+20 har en rot x1=2ix1=2i. Lös ekvationen x3+5x2+4x+20=0x3+5x2+4x+20=0.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x1=2ix2=−2ix3=−5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (1)
8. Premium
(0/0/3)ME C A B 1 P 2 PL M R K Lös ekvationen x4−4x3+6x2−4x+5=0x4−4x3+6x2−4x+5=0.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x1=ix2=−ix3=2+ix4=2−i(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Alexandra Popa
Hej! Jag angav 46 som svar på fråga 1 men får ändå fel. Är det fel på systemet?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Alexandra,
en av lösningarna är mycket riktigt x=46 med utelämnade du x= kommer systemet tyvärr ge dig fel då du alltid måste ange variabeln i ditt svar när du löser en ekvation.
Andreas Ährlund-Richter
Bra grejer Simon!
Zubair Hamed
Kommer lätt klara av provet nu ! He He He He
nti_ma4
Du är en fantastisk lärare. Om jag hade dig som mattelärare från början hade jag varit en läkare eller ingenjör nu.
Tack!
Susan
Endast Premium-användare kan kommentera.