Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Faktorsatsen
Innehåll
Så fungerar Faktorsatsen
Faktorsatsen beskriver sambandet mellan ett polynom $p(x)$ rötter, alltså lösningar till $p(x) = 0$, och dess faktorer.
Faktorsatsen
Polynomet $p(x)$ har en faktor $(x – a)$ om och endast om $x = a$ är en rot till $p(x)=0$.
Formuleringen ”om och endast om” motsvarar en ekvivalens mellan påståendena. Det innebär att även det omvända gäller, alltså
$a$a är ett nollställe till $p\left(x\right)$p(x) om och endast om $\left(x-a\right)$(x−a) är en faktor till $p\left(x\right)$p(x).
Det leder till att vi genom att först hitta en rot $a$ till polynomet och sedan dividera polynomet med faktorn $(x – a)$ kan hitta en kvot till polynomet.
Vi faktoriserar polynomet enligt Polynom = kvot ⋅ faktor och kan därmed enklare lösa polynomekvationen med hjälp av nollproduktmetoden.
Polynomet $p(x)$p(x) kan faktoriseras enligt $p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)$p(x)=q(x)(x−a) där $q\left(x\right)$q(x) är kvoten vid polynomdivision mellan $p\left(x\right)$p(x) och $\left(x-a\right)$(x−a) om resten är noll.
Två exempel på användning av faktorsatsen Premium
Om vi har en rot $x = 2$ till ett polynom så säger faktorsatsen att detta polynom måste ha en faktor $(x – 2)$.
Om vi har en rot $x = -5$ till ett polynom så har vi faktorn $(x + 5)$.
Det kan vara värt att notera att det är ett slags teckenbyte mellan faktorn och dess rot för att undvika eventuella slarvfel vid beräkningar.
Nyttan med faktorsatsen är framförallt att förstå just sambandet mellan roten och faktorn för att vi skall kunna lösa ekvationer där vi inte har metoder som vi direkt kan tillämpa (tex pq – formeln). Det man då gör är att man kan med hjälp av kunskapen om vilken faktor man har kan dividera ett polynom (polynomdivision) för att på så vis lösa själva ekvationen.
Exempel i videon Premium
- Faktorisera talet $12$.
- Faktorisera $ f(x)=x^2+x $.
- Visa att polynomet $p(x)=x^2+2x-3$ har en faktor $x+3$.
- Vilka rötter har polynomet $ f(x)=(x+2)(x-4)(x-6) $?
- Vilka faktorer har polynomet $ f(x)$ som är utritat i koordinatsystemet? (se bild i video)
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (3)
-
1. Premium
Vilka rötter har följande polynom $p(x)=(x+2)(x-1)$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
2. Premium
Vilka faktorer har polynomet $p(x)=2x^2-4x$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
3. Premium
Ett polynom $p(x)$p(x) har nollställena
$x_1=1$x1=1 , $x_2=0$x2=0 och $x_3=-3$x3=−3.
Bestäm $p(x)$p(x) då grafen även går genom punkten $\left(2,10\right)$(2,10)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...
Endast Premium-användare kan kommentera.