...
Kurser Alla kurser Min kurs Min sida Min sida Provbank Mina prov Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook X (Twitter) Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 4
 /   Komplexa tal och Polynom

Faktorsatsen

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video Skapa thumbnails
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Ett polynoms rötter innebär lösningarna till  $p(x)=0$p(x)=0. Det finns ett enkelt samband mellan dessa rötter och polynomets faktorer. Detta samband beskrivs av faktorsatsen

Faktorsatsen

Polynomet  $p(x)$p(x)  har en faktor  $(x-a)$(xa)  om och endast om  $x=a$x=a  är en rot till  $p(x)=0$p(x)=0.

Formuleringen ”om och endast om” motsvarar en ekvivalens mellan påståendena. Det innebär att även det omvända gäller, alltså

 $a$a är ett nollställe till $p\left(x\right)$p(x) om och endast om $\left(x-a\right)$(xa) är en faktor till $p\left(x\right)$p(x).

Detta innebär att om vi först hittar en rot  $a$a  till polynomet, och sen dividerar polynomet med faktorn  $(x-a)$(xa)  kan vi hitta en kvot till polynomet. Därefter kan vi faktorisera polynomet (enligt polynom = kvotfaktor) och kan då lösa polynomekvationen med hjälp av nollproduktmetoden.

Polynomet $p(x)$p(x) kan faktoriseras enligt  $p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)$p(x)=q(x)(xa)  där  $q\left(x\right)$q(x) är kvoten vid polynomdivision mellan  $p\left(x\right)$p(x) och $\left(x-a\right)$(xa) om resten är noll.

Faktorsatsen ger oss sambandet mellan roten och faktorn. Detta gör att vi kan lösa ekvationer där vi inte kan tillämpa tidigare kända metoder, tex pq-formeln. Utifrån vetskapen om en av polynomets faktorer kan vi dividera polynomet med denna faktor, och på så sätt komma vidare i ekvationslösningen. Mer om detta i kommande lektioner.

Polynomdivision där resten inte är noll

Vad händer om  $a$a  inte är en rot till polynomet $p(x)$p(x)? Om vi ändå utför polynomdivisionen kommer vi att få en rest som inte är noll. Polynomet kan då skrivas som  $p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)+r$p(x)=q(x)(xa)+r  där  $q\left(x\right)$q(x) är kvoten och  $r$r  är resten. Om vi sätter in  $x=a$x=a  i polynomet får vi:
 $p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)+r$p(x)=q(x)(xa)+r 
 $p\left(a\right)=q\left(a\right)\left(a-a\right)+r$p(a)=q(a)(aa)+r
 $p\left(a\right)=q\left(a\right)\cdot0+r$p(a)=q(a)·0+r 
 $p\left(a\right)=r$p(a)=r 
Genom att bestämma  $p\left(a\right)$p(a) har vi alltså fått värdet på resten. Detta sammanfattas i restsatsen:

Restsatsen

När ett polynom  $p\left(x\right)$p(x)  divideras med  $\left(x-a\right)$(xa)  är resten  $r=p\left(a\right)$r=p(a).

Restsatsen kan användas för att kontrollera nollställen och faktorer hos ett polynom.

Exempel 1

Visa att polynomet  $p\left(x\right)=x^3-3x-2$p(x)=x33x2  är delbart med  $x-2$x2  genom att använda
a) faktorsatsen.
b) restsatsen.

Lösning

a) Faktorsatsen säger att polynomet  $p(x)$p(x)  har en faktor  $(x-2)$(x2)  om och endast om  $x=2$x=2  är en rot till  $p(x)=0$p(x)=0. Vi kontrollerar detta:

 $x^3-3x-2=0$x33x2=0 
 $VL=2^3-3\cdot2-2=8-6-2=0$VL=233·22=862=0 
 $HL=0$HL=0 
 $VL=HL$VL=HL 

 $x=2$x=2  är en rot till  $p\left(x\right)$p(x) 
 $\text{⇒}$  $p\left(x\right)$p(x)  har en faktor  $(x-2)$(x2)
 $\text{⇒}$  $p\left(x\right)$p(x)  är delbart med  $(x-2)$(x2)
 v.s.v.

b) Restsatsen säger att när polynom  $p\left(x\right)$p(x)  divideras med  $\left(x-2\right)$(x2)  är resten  $r=p\left(2\right)$r=p(2). Vi bestämmer resten:
 $r=p\left(2\right)=2^3-3\cdot2-2=0$r=p(2)=233·22=0 
Att resten är noll innebär att  $p\left(x\right)$p(x)  är delbart med  $(x-2)$(x2)
 v.s.v.

Exempel i videon

  • Faktorisera talet $12$.
  • Faktorisera $ f(x)=x^2+x $.
  • Visa att polynomet $p(x)=x^2+2x-3$ har en faktor $x+3$.
  • Vilka rötter har polynomet $ f(x)=(x+2)(x-4)(x-6) $?
  • Vilka faktorer har polynomet $ f(x)$ som är utritat i koordinatsystemet? (se bild i video)

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Vilka rötter har följande polynom  $p(x)=(x+2)(x-1)$p(x)=(x+2)(x1)?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Vilka faktorer har polynomet  $p(x)=2x^2-4x$p(x)=2x24x?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Ett polynom  $p(x)$p(x)  har nollställena  $x_1=1$x1=1 ,  $x_2=0$x2=0  och $x_3=-3$x3=3.
    Grafen går genom punkten $\left(2,10\right)$(2,10). Bestäm  $p(x)$p(x) .

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Ange ett fjärdegradspolynom med rötterna  $x_1=-3$x1=3 ,  $x_2=5$x2=5,  $x_3=2i$x3=2i  och  $x_4=-2i$x4=2i. Svara i faktorform.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Polynomet  $p\left(x\right)=5x^3-4x^2+x$p(x)=5x34x2+x  divideras med  $x+2$x+2. Bestäm resten.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Ett polynom  $p\left(x\right)$p(x)  divideras med  $2x^2-3$2x23  och ger kvoten  $x^2-x+2$x2x+2  samt resten  $1$1. Bestäm polynomet och svara i utvecklad form.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Visa att polynomet  $p\left(x\right)=x^4-3x^2-4$p(x)=x43x24  är delbart med  $x^2-4$x24.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/1)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Bestäm  $k\ne0$k0,  så att  $x-k$xk  är en faktor i polynomet  $p\left(x\right)=x^3+3x^2-kx+k^2$p(x)=x3+3x2kx+k2.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se