...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matematik
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 4
 /   Komplexa tal och Polynom

Faktorsatsen

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 99 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Så fungerar Faktorsatsen

Faktorsatsen beskriver sambandet mellan ett polynom $p(x)$ rötter, alltså lösningar till $p(x) = 0$, och dess faktorer.

Faktorsatsen

Polynomet $p(x)$ har en faktor $(x – a)$ om och endast om $x = a$ är en rot till $p(x)=0$.

Formuleringen ”om och endast om” motsvarar en ekvivalens mellan påståendena. Det innebär att även det omvända gäller, alltså

 $a$a är ett nollställe till $p\left(x\right)$p(x) om och endast om $\left(x-a\right)$(xa) är en faktor till $p\left(x\right)$p(x).

Det leder till att vi genom att först hitta en rot $a$ till polynomet och sedan dividera polynomet med faktorn $(x – a)$ kan hitta en kvot till polynomet.

Vi faktoriserar polynomet enligt Polynom = kvot ⋅ faktor och kan därmed enklare lösa polynomekvationen med hjälp av nollproduktmetoden.

Polynomet $p(x)$p(x) kan faktoriseras enligt  $p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)$p(x)=q(x)(xa)  där  $q\left(x\right)$q(x) är kvoten vid polynomdivision mellan  $p\left(x\right)$p(x) och $\left(x-a\right)$(xa) om resten är noll.

Två exempel på användning av faktorsatsen

Om vi har en rot $x = 2$ till ett polynom så säger faktorsatsen att detta polynom måste ha en faktor $(x – 2)$.

Om vi  har en rot $x = -5$ till ett polynom så har vi faktorn $(x + 5)$.

Det kan vara värt att notera att det är ett slags teckenbyte mellan faktorn och dess rot för att undvika eventuella slarvfel vid beräkningar.

Nyttan med faktorsatsen är framförallt att förstå just sambandet mellan roten och faktorn för att vi skall kunna lösa ekvationer där vi inte har metoder som vi direkt kan tillämpa (tex pq – formeln). Det man då gör är att man kan med hjälp av kunskapen om vilken faktor man har kan dividera ett polynom (polynomdivision) för att på så vis lösa själva ekvationen.

Exempel i videon

  • Faktorisera talet $12$.
  • Faktorisera $ f(x)=x^2+x $.
  • Visa att polynomet $p(x)=x^2+2x-3$ har en faktor $x+3$.
  • Vilka rötter har polynomet $ f(x)=(x+2)(x-4)(x-6) $?
  • Vilka faktorer har polynomet $ f(x)$ som är utritat i koordinatsystemet? (se bild i video)

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (3)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Vilka rötter har följande polynom $p(x)=(x+2)(x-1)$?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Vilka faktorer har polynomet $p(x)=2x^2-4x$?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Ett polynom  $p(x)$p(x)  har nollställena

      $x_1=1$x1=1 ,  $x_2=0$x2=0  och $x_3=-3$x3=3.

    Bestäm  $p(x)$p(x) då grafen även går genom punkten $\left(2,10\right)$(2,10) 

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 99 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 99 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se