Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Faktorsatsen
Innehåll
Ett polynoms rötter innebär lösningarna till $p(x)=0$p(x)=0. Det finns ett enkelt samband mellan dessa rötter och polynomets faktorer. Detta samband beskrivs av faktorsatsen.
Faktorsatsen
Polynomet $p(x)$p(x) har en faktor $(x-a)$(x−a) om och endast om $x=a$x=a är en rot till $p(x)=0$p(x)=0.
Formuleringen ”om och endast om” motsvarar en ekvivalens mellan påståendena. Det innebär att även det omvända gäller, alltså
$a$a är ett nollställe till $p\left(x\right)$p(x) om och endast om $\left(x-a\right)$(x−a) är en faktor till $p\left(x\right)$p(x).
Detta innebär att om vi först hittar en rot $a$a till polynomet, och sen dividerar polynomet med faktorn $(x-a)$(x−a) kan vi hitta en kvot till polynomet. Därefter kan vi faktorisera polynomet (enligt polynom = kvot ⋅ faktor) och kan då lösa polynomekvationen med hjälp av nollproduktmetoden.
Polynomet $p(x)$p(x) kan faktoriseras enligt $p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)$p(x)=q(x)(x−a) där $q\left(x\right)$q(x) är kvoten vid polynomdivision mellan $p\left(x\right)$p(x) och $\left(x-a\right)$(x−a) om resten är noll.
Faktorsatsen ger oss sambandet mellan roten och faktorn. Detta gör att vi kan lösa ekvationer där vi inte kan tillämpa tidigare kända metoder, tex pq-formeln. Utifrån vetskapen om en av polynomets faktorer kan vi dividera polynomet med denna faktor, och på så sätt komma vidare i ekvationslösningen. Mer om detta i kommande lektioner.
Polynomdivision där resten inte är noll
Vad händer om $a$a inte är en rot till polynomet $p(x)$p(x)? Om vi ändå utför polynomdivisionen kommer vi att få en rest som inte är noll. Polynomet kan då skrivas som $p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)+r$p(x)=q(x)(x−a)+r där $q\left(x\right)$q(x) är kvoten och $r$r är resten. Om vi sätter in $x=a$x=a i polynomet får vi:
$p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)+r$p(x)=q(x)(x−a)+r
$p\left(a\right)=q\left(a\right)\left(a-a\right)+r$p(a)=q(a)(a−a)+r
$p\left(a\right)=q\left(a\right)\cdot0+r$p(a)=q(a)·0+r
$p\left(a\right)=r$p(a)=r
Genom att bestämma $p\left(a\right)$p(a) har vi alltså fått värdet på resten. Detta sammanfattas i restsatsen:
Restsatsen
När ett polynom $p\left(x\right)$p(x) divideras med $\left(x-a\right)$(x−a) är resten $r=p\left(a\right)$r=p(a).
Restsatsen kan användas för att kontrollera nollställen och faktorer hos ett polynom.
Exempel 1
Visa att polynomet $p\left(x\right)=x^3-3x-2$p(x)=x3−3x−2 är delbart med $x-2$x−2 genom att använda
a) faktorsatsen.
b) restsatsen.
Lösning
a) Faktorsatsen säger att polynomet $p(x)$p(x) har en faktor $(x-2)$(x−2) om och endast om $x=2$x=2 är en rot till $p(x)=0$p(x)=0. Vi kontrollerar detta:
$x^3-3x-2=0$x3−3x−2=0
$VL=2^3-3\cdot2-2=8-6-2=0$VL=23−3·2−2=8−6−2=0
$HL=0$HL=0
$VL=HL$VL=HL
$x=2$x=2 är en rot till $p\left(x\right)$p(x)
$\text{⇒}$⇒ $p\left(x\right)$p(x) har en faktor $(x-2)$(x−2)
$\text{⇒}$⇒ $p\left(x\right)$p(x) är delbart med $(x-2)$(x−2)
v.s.v.
b) Restsatsen säger att när polynom $p\left(x\right)$p(x) divideras med $\left(x-2\right)$(x−2) är resten $r=p\left(2\right)$r=p(2). Vi bestämmer resten:
$r=p\left(2\right)=2^3-3\cdot2-2=0$r=p(2)=23−3·2−2=0
Att resten är noll innebär att $p\left(x\right)$p(x) är delbart med $(x-2)$(x−2).
v.s.v.
Exempel i videon
- Faktorisera talet $12$.
- Faktorisera $ f(x)=x^2+x $.
- Visa att polynomet $p(x)=x^2+2x-3$ har en faktor $x+3$.
- Vilka rötter har polynomet $ f(x)=(x+2)(x-4)(x-6) $?
- Vilka faktorer har polynomet $ f(x)$ som är utritat i koordinatsystemet? (se bild i video)
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
Vilka rötter har följande polynom $p(x)=(x+2)(x-1)$p(x)=(x+2)(x−1)?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
2. Premium
Vilka faktorer har polynomet $p(x)=2x^2-4x$p(x)=2x2−4x?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
3. Premium
Ett polynom $p(x)$p(x) har nollställena $x_1=1$x1=1 , $x_2=0$x2=0 och $x_3=-3$x3=−3.
Grafen går genom punkten $\left(2,10\right)$(2,10). Bestäm $p(x)$p(x) .Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
4. Premium
Ange ett fjärdegradspolynom med rötterna $x_1=-3$x1=−3 , $x_2=5$x2=5, $x_3=2i$x3=2i och $x_4=-2i$x4=−2i. Svara i faktorform.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...5. Premium
Polynomet $p\left(x\right)=5x^3-4x^2+x$p(x)=5x3−4x2+x divideras med $x+2$x+2. Bestäm resten.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4 restsatsenRättar...c-uppgifter (2)
-
6. Premium
Ett polynom $p\left(x\right)$p(x) divideras med $2x^2-3$2x2−3 och ger kvoten $x^2-x+2$x2−x+2 samt resten $1$1. Bestäm polynomet och svara i utvecklad form.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...7. Premium
Visa att polynomet $p\left(x\right)=x^4-3x^2-4$p(x)=x4−3x2−4 är delbart med $x^2-4$x2−4.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4 restsatsenRättar...a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Bestäm $k\ne0$k≠0, så att $x-k$x−k är en faktor i polynomet $p\left(x\right)=x^3+3x^2-kx+k^2$p(x)=x3+3x2−kx+k2.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4 restsatsenRättar... -
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Endast Premium-användare kan kommentera.