Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet
Innehåll
Absolutbelopp
Absolutbeloppet eller det absoluta beloppet för ett komplext tal, innebär avståndet från origo upp till punkten i det komplexa talplanet för det komplexa talet. Man räknar ut detta genom att använda sig av Pythagoras sats för en rätvinklig triangel.
Själva beteckningen av absolutbeloppet för ett komplext tal z är $|z|$. När man betecknar ett komplext tal sätter man alltså två lodrät streck på var sida om det komplexa talet.
Absolutbeloppet beräknas på följande vis.
Definition av absolutbeloppet för ett komplext tal
Om $ z = a+bi $ gäller att
$ |z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} $
Som du ser ska inte $i$i ingå i beräkningen av talets absolutbelopp. Vi tittar på några exempel på beräkningar av absolutbeloppet.
Exempel 1
Bestäm $|z|$ då $ z=5+12i $
Lösning
Vi använder oss att definitionen av absolutbeloppet för ett komplext tal och får att.
$|z|= \sqrt{5^2+12^2}= \sqrt{25+144} = $ $ \sqrt{169} = 13 $
Vi tar två liknande exempel till. Observera att vi lika gärna kan använda oss av absolutbeloppet av talen då $\left(-a\right)^2=a^2$(−a)2=a2.
Exempel 2
Bestäm $|z|$ då $ z=-2-3i $
Lösning
Vi kan utnyttja att $|-2|=2$ och $|-3|=3$ och får att
$|z|= \sqrt{2^2+3^2}= \sqrt{4+9} =$ $ \sqrt{13} ≈ 3,606 $
Exempel 3
Bestäm $|z|$ då $z=\sqrt{6}+\sqrt{2}i$z=√6+√2i
Lösning
Vi bestämmer absolutbeloppet på följande vis.
$\left|z\right|=\sqrt{\sqrt{6}^2+\sqrt{2}^2=}\sqrt{6+2}=\sqrt{8}$|z|=√√62+√22=√6+2=√8
Det komplexa konjugatet
Det komplexa konjugatet betecknar man istället med ett streck ovanför det komplexa talet och uttrycker sig genom ”z tak”, dvs $ \overline{z} $ och med matematiskt språk för att beskriva det komplexa konjugatet. Konjugatet innebär att man byter tecken på den imaginära delen av det komplexa talet.
Definition av det komplexa konjugatet för ett komplext tal
Om $ z = a+bi $ gäller att
$ \overline{z}=a-bi $
Först tar vi ett exempel på framtagning av ett komplext konjugat.
Exempel 4
Ange det komplexa konjugatet till
a) $z = 5 – 2i$
b) $z = -10 + i$
Lösning
För det komplexa talet $z = a – bi$ är det komplexa konjugatet enligt definitionen $ \overline{z} = a + bi $. Därför får vi som följer.
a) För det komplexa talet $z = 5 – 2i$ är det komplexa konjugatet enligt definitionen $ \overline{z} = 5 + 2i $.
b) För det komplexa talet $z = -10 + i$ är det komplexa konjugatet enligt definitionen$ \overline{z}= -10 +(- i)= -10 – i $.
Nyttan med komplexa konjugat
Nyttan med konjugatet är framförallt att när det multipliceras med sitt komplexa konjugat enligt $ z \cdot \overline{z} $ så får man ett reellt svar. Detta används när man skall förenkla och dividera komplexa tal eller när man löser ekvationer med komplexa tal.
Exempel 5
Beräkna $z\cdot\overline{z}$z·z om $z=3+3i$z=3+3i.
Lösning
Vårt komplexa tal Våt komplexa tal$z=3+3i$z=3+3i ger att dess komplexa konjugat är $\overline{z}=3-3i$z=3−3i.
Vi beräknar produkten med hjälp av konjugatregeln.
$z\cdot\overline{z}=\left(3+3i\right)\cdot\left(3-3i\right)=9-9i^2$z·z=(3+3i)·(3−3i)=9−9i2
Då $i^2=-1$i2=−1 ersätter vi med detta i vårt uttryck.
$9-9i^2=9-9\cdot\left(-1\right)=9+9=18$9−9i2=9−9·(−1)=9+9=18
Som resultat får vi alltså endast ett reellt tal $18$18.
För alla komplexa tal $z$z gäller att produkten av $z$z och dess konjugat $\overline{z}$z är ett reellt tal som är större eller lika med noll. Med matematiska symboler skriver vi det som att
Produkten av ett komplext tal $z$z och dess konjugat $\overline{z}$z
$z\cdot\overline{z}\ge0$z·z≥0
Exempel i videon
- Markera $z = 3 + 4i$ i det komplexa talplanet och beräkna absolutbeloppet.
- Markera $z = -3 – 4i$ i det komplexa talplanet och beräkna absolutbeloppet.
- Bestäm $\overline{z}$ då $z = -5 – 2i$. Markera bägge talen i ett det komplexa talplanet.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (8)
-
1. Premium
I det komplexa talplanet är ett komplext tal $z$ markerat. Dra punkten så att den istället representerar $\overline{z}$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
-
2. Premium
Låt $z=2-3i$, vad är $\overline{z}$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
3. Premium
Med vilken sats/regel kan vi beräkna avståndet till ett komplext tal från origo i det komplexa talplanet?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
4. Premium
Vilket av nedanstående komplexa tal ligger närmast origo i det komplexa talplanet?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
5. Premium
Låt $z=1+2i$, beräkna absolutbeloppet $|z|$.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
6. Premium
Låt $z=2-3i$. Beräkna $|z|$.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
7. Premium
Bestäm $\left|z\right|$|z| då $z=\sqrt{4}+\sqrt{2}i$z=√4+√2i
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: absolutbelopp av komplexa tal komplexa tal absolutbeloppRättar... -
8. Premium
Beräkna $z\cdot\overline{z}$z·z då $z=1+3i$z=1+3i
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...c-uppgifter (1)
-
9. Premium
Låt $w$ vara ett komplext tal, vad är $Im(\overline{w})$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Diana Wachtmeister
På Fråga 8, så blir det 1-3i+3i-9i^2, vilket jag då tänker blir 1+9i^2 men i svaret så tas i^2 bort, varför blir det så? 🙂
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Diana,
$1-3i+3i-9i^2=1-9i^2$
Negationerna tillhör ju termen direkt efter. Så $-3i$ och $+3i$ tar ut varandra och lämnar kvar $1$ och $-9i^2$
Och då $i^2=-1$ får vi att $1-9i^2=1-9\cdot (-1)=1+9=10$
Hoppas det gick att hänga med på.
rossul alhasnawi
hej
i Exempel 6 du har skrivit
z⋅z¯=(3+3i)⋅(3−3i)=9−9i+9i−3i2
frågan är hur blev det 3i^2 men inte 9i^2 ???? eller
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för din kommentar.
Det var fel där i ett steg, det är korrigerat!
darrrrUC
På exempel 2 så är talet z = -3 -4i då borde väll koordinaten vara (-3,-4) men den sätts ut i videon på (-4, -3) Har jag missat något eller är det fel i videon? realdelen är väll -3 och imaginärdelen -4?
mvh Emil
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det har slunkit in ett fel i videon där, det skall ordnas så fort som möjligt. Tack för att du sade till!
thronell
Det där felet är inte rättat ännu 🙂
Mikael144600
Felet är fortfarande kvar 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Nu är det fixat!
natsu25
på fråga 4 skrev du att enligt konjugatregeln blir svaret:
1−3i+3i−9i2=1+9=10.
vad jag inte förstår är hur 1-9i^2 blir 1+9?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det kommer ifrån att inom området komplexa tal så definierar man $ i^2 = -1 $.
Detta gör att du får
$ 1-9i^2 = 1-9⋅(-1) = 1+9 = 10 $
Sussicake
svaret på nr.3 står att det är roten ur 13. Vart tar minuset på 3an vägen? 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Hej!
Om du beräknar $(-3)^3$ så är detta samma sak som $ (-3)(-3) = 9 $, dvs multiplikation av två negativa tal ger en positiv produkt.
Leila
Tack så mycket!
BotenAnnie
du är grym! tack
Endast Premium-användare kan kommentera.