00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 4
/  Trigonometri och trigonometriska funktioner
Trigonometri

Trigonometriska ettan

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Trigonometriska ettan är ett viktigt samband som kommer från att Pythagoras sats används tillsammans med enhetscirkeln. Trigonometriska ettan är mycket användbar vid omskrivningar av trigonometriska uttryck och vid ekvationslösning.

Trigonometriska ettan

 $\sin^2v+\cos^2v=1$sin2v+cos2v=1 

Pythagoras sats och trigonometriska ettan

För att härleda trigonometriska ettan används pythagoras sats och enhetscirkeln. 

Pythagoras sats säger att i en rätvinklig triangel med kateterna aa och bb samt hypotenusan cc gäller följande samband:

 a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2 

I enhetscirkeln kan vi rita en sådan rätvinklig triangel.

Då gäller att kateterna har längden cos⁡v\cos vcosv respektive sin⁡v\sin vsinv, och hypotenusan har längden 111. Utifrån Pythagoras sats kan vi nu skriva

 (sin⁡v)2+(cos⁡v)2=12\left(\sin v\right)^2+\left(\cos v\right)^2=1^2(sinv)2+(cosv)2=12 
  ⇒\text{⇒}⇒   sin⁡2v+cos⁡2v=1\sin^2v+\cos^2v=1sin2v+cos2v=1 

Detta är trigonometriska ettan! Med hjälp av symmetri kan man visa att sambandet gäller för alla vinklar.


Omskrivningar med trigonometriska ettan

Utifrån sambandet  sin⁡2v+cos⁡2v=1\sin^2v+\cos^2v=1sin2v+cos2v=1  gäller att

 sin⁡2v=1−cos⁡2v\sin^2v=1-\cos^2vsin2v=1−cos2v 

 cos⁡2v=1−sin⁡2v\cos^2v=1-\sin^2vcos2v=1−sin2v 

Vi kan också (precis som med pythagoras sats) skriva om trigonometriska ettan på följande vis:

 sin⁡2v+cos⁡2v=1\sin^2v+\cos^2v=1sin2v+cos2v=1 

 sin⁡v=1−cos⁡2v\sin v=\sqrt{1-\cos^2v}sinv=√1−cos2v 

 cos⁡v=1−sin⁡2v\cos v=\sqrt{1-\sin^2v}cosv=√1−sin2v 

Exempel 1

Förenkla  1−cos⁡2vsin⁡vcos⁡v\frac{1-\cos^2v}{\sin v\cos v}1−cos2vsinvcosv  

Lösning

Vi använder trigonometriska ettan och förenklar:

 sin⁡2v+cos⁡2v=1\sin^2v+\cos^2v=1sin2v+cos2v=1   ⇒\text{⇒}⇒   1−cos⁡2v=sin⁡2v1-\cos^2v=\sin^2v1−cos2v=sin2v 

 1−cos⁡2vsin⁡vcos⁡v=sin⁡2vsin⁡vcos⁡v=\frac{1-\cos^2v}{\sin v\cos v}=\frac{\sin^2v}{\sin v\cos v}=1−cos2vsinvcosv =sin2vsinvcosv = sin⁡v⋅sin⁡vsin⁡v⋅cos⁡v=\frac{\sin v\cdot\sin v}{\sin v\cdot\cos v}=sinv·sinvsinv·cosv = sin⁡vcos⁡v=\frac{\sin v}{\cos v}=sinvcosv = tan⁡v\tan vtanv 

 

 

Exempel 2

Bestäm  sin⁡v\sin vsinv  om  cos⁡v=\cos v=cosv=  53\frac{\sqrt{5}}{3}√53  

Lösning

Vi använder trigonometriska ettan och skriver om sin⁡v\sin v:

 sin⁡v=1−cos⁡2v=\sin v=\sqrt{1-\cos^2v}=sinv=√1−cos2v=1−(53)2=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2}=√1−(√53 )2=1−59=\sqrt{1-\frac{5}{9}}=√1−59 =49=23\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}√49 =23  

Nästa lektion: Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server