Nationellt prov Matematik 4 vt 2013 DEL D

Skriv det komplexa talet $z=2+2i$z=2+2i på polär form.

En betesmark för kor avgränsas av skog och en ringlande bäck enligt figuren nedan.

Enligt en förenklad modell kan bäckens läge beskrivas med  funktionen $f(x)=0,5x+\sin2x+3$ƒ (x)=0,5x+sin2x+3 .
Beräkna betesmarkens area.

Ekvationen  $\frac{x}{5}$x5 $+\cos2x=2$+cos2x=2 har flera lösningar.
Samtliga lösningar ligger i intervallet $-20\le x\le20$−20≤x≤20.

a) Bestäm den minsta lösningen till ekvationen och svara med minst tre värdesiffror.

Ekvationen  $\frac{x}{5}$x5 $+\cos2x=2$+cos2x=2 har flera lösningar.
Samtliga lösningar ligger i intervallet $-20\le x\le20$−20≤x≤20.

b) Bestäm antalet lösningar till ekvationen.

I figuren nedan visas det område som begränsas av kurvan $y=4-e^x$y=4−e^x och koordinataxlarna.
När området roteras runt x-axeln bildas en rotationskropp.
Teckna ett uttryck för rotationskroppens volym och bestäm dess värde med minst tre värdesiffror.

En fågelunge faller från en $8,0$8,0 m hög klippa. För att förenklat beskriva fallrörelsen kan följande differentialekvation ställas upp:

 $\frac{dv}{dt}+5v=10$dvdt +5v=‍10 , där $v$v är fallhastigheten i $m/s$m/s efter tiden $t$t sekunder.

Visa att $v(t)=2-2e^{-5t}$v(t)=‍2−2e^−5t är en lösning till differentialekvationen.

En fågelunge faller från en $8,0$8,0 m hög klippa. Fallhastigheten kan beskrivas med funktionen $v(t)=2-2e^{-5t}$v(t)=2−2e^−5t där $v$v är hastigheten vid tiden $t$t.

Bestäm tiden det tar för fågelungen att falla $8,0$8,0 m.

Ett företag har undersökt hur länge kunder som ringer till deras kundservice behöver vänta innan de får svar. De har funnit att väntetiden $t$t minuter har en fördelning som kan beskrivas med täthetsfunktionen $f(t)=\frac{1}{6}e^{-t/6}\text{, }t\ge0$ƒ (t)=16 e^−t/6, t≥0 .

Bestäm sannolikheten att en kund som ringer till företaget behöver vänta högst $10$10 minuter på svar.

Ett företag har undersökt hur länge kunder som ringer till deras kundservice behöver vänta innan de får svar. De har funnit att väntetiden $t$t minuter har en fördelning som kan beskrivas med täthetsfunktionen

 $f(t)=\frac{1}{6}e^{-t/6}\text{, }t\ge0$ƒ (t)=16 e^−t/6, t≥0 

Företaget vill informera om resultatet av undersökningen genom följande formulering:
”Vår kundundersökning visar att $50\%$50% av våra kunder behöver vänta högst $x$x minuter.”

Bestäm värdet på $x$x.

Figurerna visar kurvorna $y=p(x)$y=p(x) och $y=q(x)$y=q(x) samt tangenterna till dessa för $x=2$x=2.
Låt $r(x)=p(x)\cdot q(x)$r(x)=p(x)·q(x) och bestäm $r´(2)$r´(2).

I Lisas matematikbok finns följande uppgift:

Lisa löser uppgiften så här:

Lisas lösning är inte korrekt. Hjälp Lisa att lösa uppgiften korrekt.