Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik fortsättning nivå 1
/ Primitiva funktioner och integraler
Tillämpning Integraler- E-uppgifter
Innehåll
- Tillämpning av integraler
- Hastighet – Sträcka
- Kraft – Arbete
- Tillväxthastighet – Befolkningstillväxt
- Acceleration – Hastighet
- Längd – Area
- Marginalkostnad – Kostnadsändring
- Area – Volym
- Utflöde – Volym
- Effekt – Energiförbrukning
- Vilken enhet ska tillämpningen ha?
- Formler och begrepp som används vid tillämpningar
- Arean mellan kurvor
- Egenskaper hos integraler
- Exempel i videon
- Kommentarer
Tillämpning av integraler
Vid tillämpning av integraler bestämmer man ofta en storhet. Storheter uttrycks med ett mätetal och en enhet. Exempelvis är sträckan $4$4 km, kostnaden $10\text{ }000$10 000 kr och volymen $250$250 liter storheter.
Som hjälp för att avgöra vilken integrand som ger en viss integral, kan man tänka att integralen kan ses som en summa av en massa förändringar. Därför gör vi här nedan en uppräkning av tillämpningsområden. Dessa har du stor nytta av att använda som stöd vi dina beräkningar på tillämpningar med integraler.
Notera att en integral aldrig har enhet, utan endas ett värde. Men vid tillämpning kan man använda en integral som matematisk modell och en storhet kan då läggas till vid tolkningen av integralens värde. Så egentligen är det inte integralen som motsvarar en storhet, utan tolkningen av integralen som ger en storhet.
Hastighet – Sträcka
Kraft – Arbete
Tillväxthastighet – Befolkningstillväxt
Acceleration – Hastighet
Längd – Area
Marginalkostnad – Kostnadsändring
Area – Volym
Utflöde – Volym
Effekt – Energiförbrukning
Vilken enhet ska tillämpningen ha?
När vi tittade på hur man kan bestämma en area som motsvarar en integral, delade vi upp den i rektanglar. Deras areor beräknas med basen gånger höjden, vilket i detta fall motsvarar $\bigtriangleup y\cdot\bigtriangleup x$△y·△x. När vi ska bestämma en enhet för en tillämpning som gjort med hjälp av en integral gäller samma sak. Nämligen att tillämpningens enhet fås genom multiplikation mellan $y$y -axelns enhet med $x$x -axelns enhet.
$\text{Integralens enhet}=y\text{-axelns enhet}\cdot x\text{-axelns enhet}$Integralens enhet=y-axelns enhet·x-axelns enhet
Ett tips är att använda denna kunskap. För men hjälp av enheterna i uppgiften kan du förhoppningsvis lista ut vilken funktion som är integrandens och vilken som är integralens storhet, genom att jämföra enheterna.
Exempel 1
Vilken enhet motsvarar integralen, då integranden är hastigheten $v\left(t\right)$v(t) angiven i km/h med avseende på tiden $t$t i timmar?
Lösning
Genom att multiplicera $y$y -axelns enhet med $x$x -axelns enhet, får vi integralens enhet
till $\frac{km}{h}$kmh $\cdot h=km$·h=km.
När integranden är en funktion för hastighet, motsvarar integralen en sträcka.
Exempel 2
Vilken enhet motsvarar integralen, då integranden är tillväxthastigheten hos en befolkning $N’\left(t\right)$N’(t) angiven i personer/år med avseende på tiden $t$t i år?
Lösning
Genom att multiplicera $y$y -axelns enhet med $x$x -axelns enhet, får vi integralens enhet
till $\frac{\text{personer}}{\text{år}}$personerår $\cdot\text{år}=\text{personer}$·år=personer.
När integranden är en funktion för tillväxthastigheten i personer /år, motsvarar integralen befolkningstillväxten i antal personer.
Formler och begrepp som används vid tillämpningar
Ofta ligger svårigheten i tillämpningen att se sambandet mellan integralen och integranden. När vi väl lyckas teckna den integral som gör det möjligt att lösa problemet använder man de vanliga metoderna för att beräkna integralen. Därför har du stor hjälp av av exemplen på tillämpningar här ovan.
Integralkalkylens fundamentalsats
$ \int\limits_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) – F(a) $ där
$a$ är den undre intervallgränsen och $b$ den övre.
$f(x)$ är integranden, dvs den funktion vi tar fram primitiv funktion $F(x)$ på.
För att få fram värdet på integralen beräknas sedan $F(b) – F(a)$
Arean mellan kurvor
I föregående lektion gick vi igenom hur man beräknar arean mellan två kurvor. Det kan du dessutom ha nytta av vid tillämpningar. Därför följer formeln för proceduren för beräkning av en sådan integral.
Area mellan kurvor
Arean mellan en övre kurva $f\left(x\right)$ƒ (x) och en undre $g\left(x\right)$g(x) i intervallet $a$ till $b$ motsvarar värdet av integralen
$ \int\limits_a^b f(x) – g(x) dx $
Egenskaper hos integraler
Integraler har ett antal egenskaper. Som ett resultat av det har du nytta av att känna till följande.
Egenskaper hos integraler
$\int_a^bk\text{ }\cdot f\left(x\right)\text{ }dx=k\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx$∫abk ·ƒ (x) dx=k ∫abƒ (x) dx där $k$k är en konstant.
$\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx+\text{ }\int_b^cf\left(x\right)\text{ }dx=\int_a^cf\left(x\right)\text{ }dx$∫abƒ (x) dx+ ∫bcƒ (x) dx=∫acƒ (x) dx då $a\le b\le c$a≤b≤c
$\int_a^bf\left(x\right)\text{ }\pm g\left(x\right)dx=\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx\text{ }\pm\text{ }\int_a^bg\left(x\right)\text{ }dx$∫abƒ (x) ±g(x)dx= ∫abƒ (x) dx ± ∫abg(x) dx
$\text{ }\int_a^af\left(x\right)\text{ }dx=0$ ∫aaƒ (x) dx=0
$\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx=\text{ }-\int_b^af\left(x\right)\text{ }dx$ ∫abƒ (x) dx= −∫baƒ (x) dx
Man kan alltså tolka integralen som en summa av areorna över $x$x -axeln minus areorna under $x$x -axeln.
Exempel 3
Beräkna integralen $\int_1^330\left(\frac{x^2}{3}-4x\right)\text{ }dx$∫1330(x23 −4x) dx
Lösning
Genom att $\int_a^bk\text{ }\cdot f\left(x\right)\text{ }dx=k\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx$∫abk ·ƒ (x) dx=k ∫abƒ (x) dx där $k$k är en konstant, kan vi beräkna integralen som
$\int_1^330\left(\frac{x^2}{3}-4x\right)\text{ }dx=30\text{ }\int_1^3\frac{x^2}{3}-4x\text{ }dx$∫1330(x23 −4x) dx=30 ∫13x23 −4x dx
$30\text{ }\int_1^3\frac{x^2}{3}-4x\text{ }dx=30\left[x^3-2x^2\right]^{^3}_1=$30 ∫13x23 −4x dx=30[x3−2x2]31=
$30\left(\left(3^3-2\cdot3^2\right)-\left(1^3-2\cdot1^2\right)\right)=$30((33−2·32)−(13−2·12))=
$30\left(9-\left(-1\right)\right)=30\cdot10=300$30(9−(−1))=30·10=300
Exempel i videon
- Den kraft F(s) som krävs för att flytta en låda framåt en sträcka ges av F(s) = 400 där s är sträckan i meter. Beräkna arbetet som krävs för att flytta lådan 6 meter.
- Eva kastar en boll till Juan. Bollens hastighet v m/s beskrivs av funktionen v(t) = -0,2t² + 10 där t är tiden i sek. Det tar 3 sekunder för bollen att nå
fram till Juan. Hur lång sträcka har bollen färdats?
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (6)
-
1. Premium
Eva har tagit fram en graf som beskriver med vilken hastighet $v(t)$v(t) hon cyklar när hon åker till skolan $t$t sekunder efter att hon startat.
Vad kan man beräknar med hjälp av arean mellan grafen och $x$x-axeln?
Träna på att motivera ditt svar.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
Figuren visar integralen $\int_2^6a(t)\text{ }dt$∫26a(t) dt där $t$t är tiden i sekunder.
Vad motsvarar integralens värde? Använd figuren.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Tillämpning Integraler - CA-uppgifterLiknande uppgifter: integraler tillämpningar integralerRättar... -
3. Premium
Marginalkostnaden på att tillverka en viss mobilmodell kan beskrivas med funktionen $K´\left(n\right)=120\text{ }000\cdot e^{-0,0002n}$K´(n)=120 000·e−0,0002n kr/mobil vid tillverkning av $0\le n\le50\text{ }000$0≤n≤50 000 enheter.
Beräkna marginalkostnaden för den hundrade mobilen.
Avrunda till hela tusental.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: funktionsvärde marginalkostnad Matematik 3 problemlösning tillämpningRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Marginalkostnaden på att tillverka en viss mobilmodell kan beskrivas med funktionen $K´\left(n\right)=120\text{ }000\cdot e^{-0,0002n}$K´(n)=120 000·e−0,0002n kr/mobil vid tillverkning av $0\le n\le50\text{ }000$0≤n≤50 000 enheter.
Beräkna kostnadsökningen $K\left(n\right)$K(n) för produktionen om den ökar från tio tusen till tjugo tusen mobiler.
Avrunda till hela tusen tal.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: integraler Matematik 3 problemlösning tillämpningRättar...5. Premium
Funktionen $v\left(t\right)$v(t) motsvarar fotbollens hastighet i $m/s$m/s , $t$t sekunder efter en specifik utspark.
Vad kan man beräkna med integralen $\int_0^8v\left(t\right)\text{ }dt$∫08v(t) dt?
Träna på att motivera ditt svar.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Under en tioårsperiod följde befolkningstillväxten $N´\left(t\right)$N´(t) invånare/år i en stad funktionen $N´\left(t\right)=23\text{ }500+500t$N´(t)=23 500+500t där $t$t motsvarar antalet år efter $2005$2005.
Beräkna ökningen av antalet invånare i staden mellan $2007$2007 och $2015$2015.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Tillämpning Integraler- E-uppgifterLiknande uppgifter: integraler Matematik 3 problemlösning tillämpningRättar... -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Sofia Karlsson
Varför blir det 600 000 000 i integralen på fråga 4? Förstår inte det steget
Sara Petrén Olauson
Hej! När vi tar fram den primitiva funktionen till $120\text{ }000\cdot e^{-0,0002n}$ kommer $120\text{ }000$ att divideras med $-0,0002$, vilket ger $-600\text{ }000\text{ }000$. Hoppas att det blev tydligare nu!
Albin Holmgren
Tror ni har missat att ta 15^2 på sista uträkningen av fråga 12. Rätt svar ska vara 22500 istället för 43500. Tack för annars strålande lektioner!
Gustav Nyström
Hej
På fråga 2 ovan skall arean för det streckade området under funktionen. På bilden är arean som skall beräknas streckad från x=-1 till x=5 men i lösningen beräknas arean från x=0 till x=5. Undrar således om det blivit något fel eller om det är jag som har missat något?
Tack på förhand! // Gustav
Mattefreak
Hej!
Sitter fast på en uppgift.
Bestäm den maximala arean för den rektangel som har ett hörn i origo och det motstående hörnet på grafen till den räta linjen x+2y=200. Tänk på höjden över x ges av värdet y som kan bestämmas av hjälp av linjens ekvation.
Tacksam för hjälp
Mattefreak
Tack! Det hjälpte bra 🙂
Har en till som är lite knepig.
Bestäm med hjälp av en integral storleken på den yta som ligger mellan grafen till f(x)=5x-X^2 och x-axeln.
johnrobert
Hej jag undrar om inte fråga 5 har blivit lite fel eller så har jag inte förstått frågan.mvh Johnrobert
Endast Premium-användare kan kommentera.