...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 4
 /   Integraler

Sannolikhetsfördelning

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Sannolikhetsfördelning är ett sätt att med hjälp av en täthetsfunktion beskriva sannolikheter. Ett exempel på sannolikhetsfördelning är normalfördelning (Ma 2) som kan beskrivas med normalfördelningskurvans täthetsfunktion.

Täthetsfunktioner

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

En täthetsfunktion är en funktion som beskriver hur stor sannolikhet det är att en variabel skall anta ett värde inom en viss mängd. Exempelvis har exponentialfördelning och normalfördelning täthetsfunktioner som beskriver sannolikheter.

I den här lektionen jobbar vi framförallt med normalfördelning.

Normalfördelningskurvans täthetsfunktion

Normalfördelningens täthetsfunktion är

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}$ƒ (x)=1σ2π ·e(xμ)22σ2 

där  $\mu=medelvärde$μ=medelvärde och $\sigma=standardavvikelse$σ=standardavvikelse

När du ritar ut denna funktion får du kurvan här ovan. Kurvan kallas för normalfördelningskurvan.

Beräkna sannolikheter med integraler

Normalfördelningskurvan kan används till sannolikhetsberäkningar. Vi tar då reda på vilken sannolikhet det är att vi får ett resultat i ett visst intervall. Detta är samma sak som att beräkna arean i det intervallet. Därför kan vi använda integraler för dessa sannolikhetsberäkningar.

Sannolikhetsfördelning beräkna integral

För att beräkna sannolikheten att ett värde befinner sig i ett intervall från a till b för ett normalfördelat material blir då

 $\int_a^b\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}\text{ }dx$ab1σ2π ·e(xμ)22σ2  dx 

Denna integral går inte att beräkna algebraiskt då det inte går att ta fram en primitiv funktion. Därför tar vi hjälp av en grafritande räknare eller ett digitalt verktyg för att beräkna dessa integraler.

Så använder du räknaren för att beräkna integraler

Här nedan visar vi två metoder för hur du beräknar dessa integraler på din räknare. En typisk räknare som många använder är Texas Ti-82.

1. fnInt

Funktionen fnInt beräknar en integral genom approximation. I det här fallet kan det vara krångligt att fylla i täthetsfunktionen för normalfördelning då det lätt kan bli fel med parenteser och variabler. Nedan sparar vi standardavvikelse och medelvärde i egna variabler (eller funktioner) för att göra det lättare att göra flera beräkningar med olika värden.

Tryck på VARS > Y-VARS och fyll i funktionerna
Y1: (1/(Y2*√(2*π)))*e^(-((X-Y3)^2)/(2*Y2^2))
Y2: Din standardavvikelse
Y3: Ditt medelvärde

Gå ur och tryck på MATH > fnInt( och fyll i 
fnInt(Y1, X, undre gräns, övre gräns)

Tryck ENTER för att få ditt svar.

2. normalcdf(

Fungerar bara för normalfördelningens täthetsfunktionen men går snabbare än metoden här ovan.

Tryck på DISTR > normalcdf och fyll i
normalcdf(Undre gräns, övre gräns, medelvärde, standardavvikelse)

Exempel

Exempel 1

Vid tillverkning av en juiceförpackning i en maskin är volymen normalfördelad med standardavvikelsen  0,04 dl och medelvärdet 10,0 dl.  Hur stor sannolikhet är det att förpackningens volym $x\text{ }dl$x dl ligger i intervallet  $10,05\le x\le10,1$10,05x10,1.

Lösning

Här gäller att  $\mu=10$μ=10  och $\sigma=0,04$σ=0,04. Därför kan vi ställa upp integralen

 $\int_{10,05}^{10,1}\frac{1}{0,04\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{\left(x-10\right)^2}{2\cdot0,04^2}}\text{ }dx$10,0510,110,042π ·e(x10)22·0,042  dx 

Vi använder räknaren för att beräkna sannolikheten och får

normalcdf(10.05, 10.1, 10, 0.04) ≈ 0,0995 ≈ 10 % 

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna integralen  $\int_{0,01}^{1,3}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$0,011,31x dx med hjälp av din räknare eller ett digitalt hjälpmedel. 

    Avrunda ditt svar till två decimaler

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna Integralen med din räknare och svara med två decimaler.

     $\int_{79,9}^{81,5}\frac{1}{0,5\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{\left(x-80\right)^2}{2\cdot0,5^2}}\text{ }dx$79,981,510,52π ·e(x80)22·0,52  dx 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vid en stickprovskontroll i en fabrik som tillverkar spik mätte man $1\text{ }000$1 000 spikar. 

    Medelvärdet var $80$80 mm och standardavvikelsen $0,5$0,5 mm.
    En spik räknas som funktionsduglig om längden ligger mellan $78,2$78,2 och $81,5$81,5 mm.

    Hur stor är då sannolikheten att en spik kan användas?

    Svara i procent och avrunda svaret till en decimal

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Hur stor sannolikhet är det att ett resultat i de normalfördelade observationerna befinner sig i det rödmarkerade området?

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (1)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Vid tillverkning av ett kullager i en maskin är bredden på kullagret normalfördelat med standardavvikelsen $0,01$0,01 mm och har medelvärdet $12$12 mm. Om kullagret är större eller lika med $12,031$12,031  mm måste det slängas.

    Hur stor sannolikhet är det att ett kullager måste slängas?

    Svara med en decimal

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se