Nationellt prov Matematik 4 vt 2014 del B och C

Derivera

a)  $f\left(x\right)=\sin2x$ƒ (x)=sin2x 

b)   $f\left(x\right)=x\cdot e^x$ƒ (x)=x·e^x 

Funktionen f är definierad genom $f\left(z\right)=2z-z^2$ƒ (z)=2z−z², där $z$z är en komplex variabel.

a) Bestäm  $f\left(i\right)$ƒ (i) 

b) Bestäm  $z$z så att  $f\left(z\right)=10$ƒ (z)=10 

I enhetscirkeln nedan är vinkeln $A$A markerad där $A=70^{\circ}$A=70^∘ 

Ange två andra vinklar,  $v_1$v₁ och $v_2$v₂, i intervallet $0^{\circ}\le v\le720^{\circ}$0^∘≤v≤720^∘ som har samma cosinusvärde som vinkeln $A$A.

Ange

a)  $\overline{z}$z om  $z_1=-2-3i$z₁=−2−3i 

b) ett komplext tal $z_2$z₂ så att $Re\text{ }z_2=3$Re z₂=3 och $\left|z_2\right|>4$|z₂|>4 

Ange det minsta värde som funktionen $g\left(x\right)=3+\left|x-1\right|$g(x)=3+|x−1| kan anta.

Vilket av alternativen A-F är lika med $\cos25^{\circ}$cos25^∘?

Ange hur många lösningar ekvationen $\tan2v=0,7$tan2v=0,7  har i intervallet $0^{\circ}\le v\le360^{\circ}$0^∘≤v≤360^∘ 

I figuren är tre komplexa tal $z$z, $u$u och $w$w markerade på en halvcirkel.

Vilka två av alternativen A-F beskriver talet $u$u?

Vilka två av alternativen A-F är primitiva funktioner till $g\left(x\right)=$g(x)=$\frac{2}{x}$2x  för  $x>0$x>0?

Figuren nedan visar ett skuggat område som begränsas av kurvan $y=4-x$y=4−x, kurvan $y=\cos\text{ }x$y=cos x och de positiva koordinataxlarna.

Beräkna arean av det skuggade området

Visa att $\frac{\sin2x}{2\text{ }\cos x}$sin2x2 cosx $=\sin x$=sinx   för alla $x$x där uttrycken är definierade.

Beräkna $\frac{9+2i}{2+i}$9+2i2+i  och svara på formen $a+bi$a+bi 

Lös ekvationen  $\cos\left(x-30^{\circ}\right)-\cos\left(x+30^{\circ}\right)=1$cos(x−30^∘)−cos(x+30^∘)=1