Nationellt prov Matematik 4 vt 2014 del B och C

$f\left(x\right)=\sin2x$ƒ (x)=sin2x

$f\left(x\right)=x\cdot e^x$ƒ (x)=x·e^x

Bestäm  $f\left(i\right)$ƒ (i)

Bestäm  $z$z så att  $f\left(z\right)=10$ƒ (z)=10

I enhetscirkeln nedan är vinkeln $A$A markerad där $A=70^{\circ}$A=70^∘ 

Ange två andra vinklar,  $v_1$v₁ och $v_2$v₂, i intervallet $0^{\circ}\le v\le720^{\circ}$0^∘≤v≤720^∘ som har samma cosinusvärde som vinkeln $A$A.

$\overline{z}$z om  $z_1=-2-3i$z₁=−2−3i

ett komplext tal $z_2$z₂ så att $Re\text{ }z_2=3$Re z₂=3 och $\left|z_2\right|>4$|z₂|>4

Ange det minsta värde som funktionen $g\left(x\right)=3+\left|x-1\right|$g(x)=3+|x−1| kan anta.

Vilket av alternativen A-F är lika med $\cos25^{\circ}$cos25^∘?

Ange hur många lösningar ekvationen $\tan2v=0,7$tan2v=0,7  har i intervallet $0^{\circ}\le v\le360^{\circ}$0^∘≤v≤360^∘ 

I figuren är tre komplexa tal $z$z, $u$u och $w$w markerade på en halvcirkel.

Vilka två av alternativen A-F beskriver talet $u$u?

Vilka två av alternativen A-F är primitiva funktioner till $g\left(x\right)=$g(x)=$\frac{2}{x}$2x  för  $x>0$x>0?

Bestäm $\lim\limits_{h\to0}$$\frac{g\left(h\right)-g\left(0\right)}{h}$g(h)−g(0)h  om $g\left(x\right)=4x^2+\sin3x$g(x)=4x²+sin3x

Vilka två av följande linjer A–F är asymptoter till $y=$y=$\frac{x^2-2x+1}{x}$x²−2x+1x ?

A.  $x=0$x=0
B.  $y=0$y=0
C.  $x=1$x=1
D.  $y=-2x+1$y=−2x+1
E.  $y=x-2$y=x−2
F.  $y=2x-2$y=2x−2

För de komplexa talen $z_1$z₁ och $z_2$z₂ gäller att $z_1=3i$z₁=3i och $\left|z_2\right|=7$|z₂|=7

Bestäm det minsta värde som $\left|z_1+z_2\right|$|z₁+z₂| kan anta.

Ange en primitiv funktion till $f\left(x\right)=\cos^23x-\sin^23x$ƒ (x)=cos²³x−sin²³x

Figuren nedan visar ett skuggat område som begränsas av kurvan $y=4-x$y=4−x, kurvan $y=\cos\text{ }x$y=cos x och de positiva koordinataxlarna.

Beräkna arean av det skuggade området

Visa att $\frac{\sin2x}{2\text{ }\cos x}$sin2x2 cosx $=\sin x$=sinx   för alla $x$x där uttrycken är definierade.

Beräkna $\frac{9+2i}{2+i}$9+2i2+i  och svara på formen $a+bi$a+bi 

Lös ekvationen  $\cos\left(x-30^{\circ}\right)-\cos\left(x+30^{\circ}\right)=1$cos(x−30^∘)−cos(x+30^∘)=1 

Bestäm eventuella maximi- och minimipunkter för funktionen $f$ƒ  där $f\left(x\right)=-x\ln x$ƒ (x)=−xlnx, $x>0$x>0

Bestäm alla heltal $n>0$n>0 för vilka $\left(1+i\right)^n$(1+i)ⁿ är ett reellt tal.

I figuren visas grafen till funktionen $y=2x^3-3x^2-3x+2$y=2x³−3x²−3x+2

Lös ekvationen $2\cos^3x-3\cos^2x-3\cos x+2=0$2cos³x−3cos²x−3cosx+2=0

Visa att funktionen $f$ƒ  inte kan ha någon maximipunkt.

Undersök om $f$ƒ  har någon minimipunkt.