Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Komplexa tal på Polär form
Polär form
Ett komplext tal $z=a+bi$z=a+bi kan representeras av en vektor, som ritas i det komplexa talplanet. Ett annat sätt att definiera vektorn är att ange dess längd och dess vinkel i förhållande till den positiva reella axeln. Detta kallas polär form. En av fördelarna med denna form är att det blir enklare att dividera, multiplicera och framförallt beräkna potenser med komplexa tal. Ett annat användningsområde är att vi kan använda polär form för att lösa ekvationer av typen $z^n=w$zn=w.
Omskrivning till polär form
För att skriva ett komplext tal på polär form behövs alltså vektorns längd, dvs absolutbeloppet, samt vinkeln mellan den positiva reella talaxeln och det komplexa talets vektor. Denna vinkeln kallas för argumentet.
Komplext tal på polär form
För ett komplext tal $z=a+bi$z=a+bi i första kvadranten gäller:
Absolutbeloppet ges av $|z|=|a+bi|=$|z|=|a+bi|= $\sqrt{a^2+b^2}$√a2+b2 och betecknas $r$r.
Argumentet (vinkeln) beräknas genom $v=\tan^{-1}(\frac{b}{a})$v=tan−1(ba ).
Det komplexa talet $z$z skrivs på polär som
$z=r(\cos v+i\sin v)$z=r(cosv+isinv)
Exempel 1
Skriv det komplexa talet $q=2+4i$q=2+4i på polär form.
Lösning
Vi börjar med att åskådliggöra talet i det komplexa talplanet.
Absolutbeloppet: $|q|=\sqrt{2^2+4^2}=$|q|=√22+42= $\sqrt{4+16}=$√4+16= $\sqrt{20}$√20
Argumentet: $v=\tan^{-1}(\frac{4}{2})=1,10…\approx1,1$v=tan−1(42 )=1,10…≈1,1 rad
Alltså är $q$q på polär form: $q=\sqrt{20}(\cos1,1+i\sin1,1)$q=√20(cos1,1+isin1,1)
Om vi använder grader är argumentet $v\approx63^{\circ}$v≈63∘.
Argumentet beräknas på lite olika sätt, beroende på vilken kvadrant som det komplexa talet befinner sig i. När det gäller den första kvadranten kan argumentet bestämmas som i exemplet ovan. Men i de övriga tre kvadranterna behöver vi lägga till ytterligare ett steg. Först markeras vinkeln mellan vektorn och den reella axeln i den aktuella kvadranten. Denna vinkel kan bestämmas med hjälp av tangens. Därefter kan argumentet, som alltid utgår från den positiva reella axeln, beräknas. Nedan hittar du exempel kring detta för kvadranterna 2-4.
Exempel 2
Skriv det komplexa talet $ q = -3+4i $ på polär form.
Lösning
Vi börjar med att åskådliggöra talet i det komplexa talplanet.
Absolutbeloppet: $|q|=\sqrt{3^2+4^2}=$|q|=√32+42= $\sqrt{9+16}=$√9+16= $\sqrt{25}=$√25= $5$5
Vektorn finns i den andra kvadranten, och argumentet beräknas då:
$v=\pi-w=$v=π−w= $\pi-\tan^{-1}(\frac{4}{3})=$π−tan−1(43 )= $2,21…\approx$2,21…≈ $2,2$2,2 rad
Alltså är $q$q på polär form: $q=5(\cos2,2+i\sin2,2)$q=5(cos2,2+isin2,2)
Om vi använder grader är argumentet $v\approx127^{\circ}$v≈127∘
Exempel 3
Skriv det komplexa talet $q=-4-5i$q=−4−5i på polär form.
Lösning
Vi börjar med att åskådliggöra talet i det komplexa talplanet.
Absolutbeloppet: $|q|=\sqrt{4^2+5^2}=$|q|=√42+52= $\sqrt{16+25}=$√16+25= $\sqrt{41}$√41
Vektorn finns i den tredje kvadranten, och argumentet beräknas då:
$v=\pi+w=$v=π+w= $\pi+\tan^{-1}(\frac{5}{4})=$π+tan−1(54 )= $4,03…\approx$4,03…≈ $4,0$4,0 rad
Alltså är $q$q på polär form: $q=\sqrt{41}(\cos4,0+i\sin4,0)$q=√41(cos4,0+isin4,0)
Om vi använder grader är argumentet $v\approx231^{\circ}$v≈231∘.
Exempel 4
Skriv det komplexa talet $q=3-5i$q=3−5i på polär form.
Lösning
Vi börjar med att åskådliggöra talet i det komplexa talplanet.
Absolutbeloppet: $|q|=\sqrt{3^2+5^2}=$|q|=√32+52= $\sqrt{9+25}=$√9+25= $\sqrt{34}$√34
Vektorn finns i den fjärde kvadranten, och argumentet beräknas då:
$v=2\pi-w=$v=2π−w= $2\pi-\tan^{-1}(\frac{5}{3})=$2π−tan−1(53 )= $5,25…°\approx$5,25…°≈ $5,3$5,3 rad
Alltså är $q$q på polär form: $q=\sqrt{34}(\cos5,3+i\sin5,3)$q=√34(cos5,3+isin5,3)
Om vi använder grader är argumentet $v\approx301^{\circ}$v≈301∘.
Exempel i videon
- Talet $ z=a+bi $ på polär form.
- Skriv om talet $ z=3+4i $ på polär form.
- Skriv $z = -4 + 5i$ på polär form.
- Skriv $z = -3 – 3i$ på polär form.
- Skriv $z = 4 – 4i$ på polär form.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (8)
-
1. Premium
Vilket är argumentet för det markerade komplexa talet $z$z i figuren?
Svara i radianer.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Vilket är absolutbeloppet för det komplexa talet $z$z som åskådliggörs som en vektor i det komplexa talplanet?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Låt $z=3-i$z=3−i, beräkna $r$r .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Skriv $z=1+2i$z=1+2i på polär form.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Hur kan vi beräkna realdelen på polär form?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Skriv $z=5-12i$z=5−12i på polär form
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Skriv $z=-8+15i$z=−8+15i på polär form
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
Låt $z=4\left(\text{ }\cos\frac{\pi}{2}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{2}\right)$z=4( cosπ2 +i sinπ2 ) .
Skriv $z$z på formen $z=a+bi$z=a+bi .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (3)
-
9. Premium
Skriv talet $z=8-6i$z=8−6i på polär form.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Komplexa tal på Polär formRättar...10. Premium
Bestäm $\text{arg}z$argz om $z=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}$z=√32 −i2 .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Komplexa tal på Polär formRättar...11. Premium
Skriv talet $z=-\sqrt{5}+\sqrt{15}i$z=−√5+√15i på polär form.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Komplexa tal på Polär formRättar...a-uppgifter (1)
-
12. Premium
Skriv talet $z=\sqrt{3}\left(\cos\frac{2\pi}{3}-i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$z=√3(cos2π3 −isin2π3 ) på polär form.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Komplexa tal på Polär formRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Martin S
uppgift 6
hur ska man veta att vektorn ligger i fjärde kvadranten bara genom att titta på uppgiften?
tack på förhand
Simon Rybrand (Moderator)
Genom att du vet att den reella delen är positiv och den imaginära delen är negativ.
Då kommer vektorn att ligga i den fjärde kvadranten.
Per Eriksson
Hej,
Fråga 1 borde få ”3pi/2” som korrekt svar? 🙂
Mvh Per
Wael Mahrous
Hej!
På exempel 2 i texten så står det först att r = 5, men sedan sätter ni roten ur 20 istället…
Tack för coola tjänsten!
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för påpekandet, det är fixat!
Ludvig Johansson
angående fråga 2. borde inte svaret vara absolutbelopp 5? bilden är vilseledande.
Tacksam att denna tjänst finns.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Nej bilden skall vara korrekt där, viktigt att se vart markören för 3 är.
IA
Hej.
Runt 4:43 borde inte a i absolut beloppet z bli -4^2? Har det någon betydelse om a och b. Alltså im och re är negativa när du ska räkna ut absolut beloppet?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det har ingen betydelse om Im z eller Re z är positiva eller negativa för absolutbeloppet. Eftersom vi upphöjer med 2 så kommer det ändå alltid att bli ett positivt tal oavsett om det är negativt eller positivt. Eftersom absolutbeloppet beskriver ett avstånd så kommer detta även alltid att vara positivt.
IA
Tack så mycket!
bigr
Angående fråga 7:
Skriv z=−8+15i på polär form
FÖRKLARING
Vektorn för det komplexa talet ligger i andra kvadranten så argumentet beräknas enligt
v=180−arctan(15/12)≈129°
Det komplexa talet på polär form kan nu skrivas som
z=17(cos129°+isin129°)
——————-
Varför divideras 15 med 12? Är det inte arctan(b/a), dvs. 15/8?
Simon Rybrand (Moderator)
Jo det skall det vara, det är korrigerat, tack för att du kommenterade detta!
Sunshineklein
Väldigt klantig svenska där ser jag direkt :P. Så går det när man ivrigt pressar på ”send”.
Sunshineklein
Jag sjukt tacksam för dina videos. Läser ingenjör på högskola och fick även jag en smärre chock när jag insåg att ett matte D för 10 år sedan inte hjälpte långt när mattematiken snabbt blev tillämpad. Fortsätt med ditt goa arbete, det hjälper något så fantastiskt! Kommer säkert med någon fråga men än så länge är det sjukt illustrativt och pedagogiskt 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Hej!
Kul att det hjälper dig, fortsatt lycka till med pluggandet!
lkhall
Det ser ut som att jag svart rätt men fått fel. Kanske Bör åtgärdas.
Låt z=4(cos(90°)+isin(90°)), skriv z på formen z=a+ib. Du svarade tyvärr fel
Ditt svar: z=4i
Rätt Svar: z=4i
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, tack för din kommentar, det korrekta svaret verkar inte ha varit ifyllt i den uppgiften, det är korrigerat.
Endast Premium-användare kan kommentera.