Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Komplexa tal på Polär form
Polär form
Ett komplext tal $ z=a+bi $ kan representeras genom att detta ritas ut som en vektor i det komplexa talplanet. Det går då att använda trigonometri för att beskriva det komplexa talet. Nyttan med detta är det blir enklare att dividera, multiplicera och framförallt beräkna potenser med komplexa tal. Ett till användningsområde är att vi kan använda polär form för att lösa ekvationer av typen $z^n=w$.
Så går du över till polär form
För att beskriva ett komplext tal på polär form behövs ett antal olika delar. Vi behöver dels vektorns längd, dvs absolutbeloppet, men också vinkeln mellan den positiva, reella talaxeln och det komplexa talets vektor. Vinkeln kallas för argumentet.
Argumentet beräknas lite olika beroende på i vilken kvadrant som det komplexa talets vektor befinner sig i, exempel på detta hittar du nedan.
Vi har ett komplext tal $ z = a+bi $
Absolutbeloppet ges av $ |z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} $ och argumentet (vinkeln) beräknas genom $ v = \tan^-1 (\frac{b}{a}) $.
Det komplexa talet $z$ på polär form blir då
$z = r (\cos v + i \sin v)$
Nedan hittar du exempel på hur du tar fram det komplexa talet på polär form i de fyra kvadranterna i ett komplext talplan.
Exempel 1
Skriv det komplexa talet $ q = 2+4i $ på polär form.
Lösning:
Vi kan åskådliggöra talet på följande vis:
Absolutbeloppet blir $ |q|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20} $.
Argumentet blir $ v=arctan(\frac{4}{2})≈63° $.
Alltså blir $q $ på polär form $ q = \sqrt{20}(cos63°+isin63°) $
Exempel 2
Skriv det komplexa talet $ q = -3+4i $ på polär form.
Lösning:
Vi kan åskådliggöra talet på följande vis:
Absolutbeloppet blir $ |q|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 $.
Då vektorn finns i den andra kvadranten får vi argumentet
$ v=180-w = 180 – arctan(\frac{4}{3})≈127° $.
Alltså blir $q $ på polär form $ q = 5(cos127°+isin127°) $
Exempel 3
Skriv det komplexa talet $ q = -4-5i $ på polär form.
Lösning:
Vi kan åskådliggöra talet på följande vis:
Absolutbeloppet blir $ |q|=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41} $.
Då vektorn finns i den tredje kvadranten får vi argumentet
$ v=180+w = 180 + arctan(\frac{5}{4})≈231° $.
Alltså blir $q $ på polär form $ q = \sqrt{41}(cos231°+isin231°) $
Exempel 4
Skriv det komplexa talet $ q = 3-5i $ på polär form.
Lösning:
Vi kan åskådliggöra talet på följande vis:
Absolutbeloppet blir $ |q|=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} $.
Då vektorn finns i den fjärde kvadranten får vi argumentet
$ v=360-w = 360 – arctan(\frac{5}{3})≈301° $.
Alltså blir $q $ på polär form $ q = \sqrt{34}(cos301°+isin301°) $
Exempel i videon
- Talet $ z=a+bi $ på polär form.
- Skriv om talet $ z=3+4i $ på polär form.
- Skriv $z = -4 + 5i$ på polär form.
- Skriv $z = -3 – 3i$ på polär form.
- Skriv $z = 4 – 4i$ på polär form.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (8)
-
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K 
Vilket är argumentet för det markerade komplexa talet z i figuren?
Svara i grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K Vilket är absolutbeloppet för det komplexa talet $z$ som åskådliggörs som en vektor i det komplexa talplanet?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Låt $z=3-i$z=3−i, beräkna $r$r .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Skriv $z=1+2i$ på polär form.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K Hur kan vi beräkna realdelen på polär form?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Skriv $z=5-12i$z=5−12i på polär form
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Skriv $z=-8+15i$z=−8+15i på polär form
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Låt $z=4\left(\text{ }\cos90°+i\text{ }\sin90°\right)$z=4( cos90°+i sin90°) .
Skriv $z$z på formen $z=a+bi$z=a+bi .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Martin S
uppgift 6
hur ska man veta att vektorn ligger i fjärde kvadranten bara genom att titta på uppgiften?
tack på förhand
Simon Rybrand (Moderator)
Genom att du vet att den reella delen är positiv och den imaginära delen är negativ.
Då kommer vektorn att ligga i den fjärde kvadranten.
Per Eriksson
Hej,
Fråga 1 borde få ”3pi/2” som korrekt svar? 🙂
Mvh Per
Wael Mahrous
Hej!
På exempel 2 i texten så står det först att r = 5, men sedan sätter ni roten ur 20 istället…
Tack för coola tjänsten!
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för påpekandet, det är fixat!
Ludvig Johansson
angående fråga 2. borde inte svaret vara absolutbelopp 5? bilden är vilseledande.
Tacksam att denna tjänst finns.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Nej bilden skall vara korrekt där, viktigt att se vart markören för 3 är.
IA
Hej.
Runt 4:43 borde inte a i absolut beloppet z bli -4^2? Har det någon betydelse om a och b. Alltså im och re är negativa när du ska räkna ut absolut beloppet?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det har ingen betydelse om Im z eller Re z är positiva eller negativa för absolutbeloppet. Eftersom vi upphöjer med 2 så kommer det ändå alltid att bli ett positivt tal oavsett om det är negativt eller positivt. Eftersom absolutbeloppet beskriver ett avstånd så kommer detta även alltid att vara positivt.
IA
Tack så mycket!
bigr
Angående fråga 7:
Skriv z=−8+15i på polär form
FÖRKLARING
Vektorn för det komplexa talet ligger i andra kvadranten så argumentet beräknas enligt
v=180−arctan(15/12)≈129°
Det komplexa talet på polär form kan nu skrivas som
z=17(cos129°+isin129°)
——————-
Varför divideras 15 med 12? Är det inte arctan(b/a), dvs. 15/8?
Simon Rybrand (Moderator)
Jo det skall det vara, det är korrigerat, tack för att du kommenterade detta!
Sunshineklein
Väldigt klantig svenska där ser jag direkt :P. Så går det när man ivrigt pressar på ”send”.
Sunshineklein
Jag sjukt tacksam för dina videos. Läser ingenjör på högskola och fick även jag en smärre chock när jag insåg att ett matte D för 10 år sedan inte hjälpte långt när mattematiken snabbt blev tillämpad. Fortsätt med ditt goa arbete, det hjälper något så fantastiskt! Kommer säkert med någon fråga men än så länge är det sjukt illustrativt och pedagogiskt 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Hej!
Kul att det hjälper dig, fortsatt lycka till med pluggandet!
lkhall
Det ser ut som att jag svart rätt men fått fel. Kanske Bör åtgärdas.
Låt z=4(cos(90°)+isin(90°)), skriv z på formen z=a+ib. Du svarade tyvärr fel
Ditt svar: z=4i
Rätt Svar: z=4i
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, tack för din kommentar, det korrekta svaret verkar inte ha varit ifyllt i den uppgiften, det är korrigerat.
Endast Premium-användare kan kommentera.