...
Kurser Alla kurser Min kurs Min sida Min sida Provbank Mina prov Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook X (Twitter) Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 4
 /   Komplexa tal och Polynom

Komplexa tal på Polär form

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Polär form

Ett komplext tal  $z=a+bi$z=a+bi  kan representeras av en vektor, som ritas i det komplexa talplanet. Ett annat sätt att definiera vektorn är att ange dess längd och dess vinkel i förhållande till den positiva reella axeln. Detta kallas polär form. En av fördelarna med denna form är att det blir enklare att dividera, multiplicera och framförallt beräkna potenser med komplexa tal. Ett annat användningsområde är att vi kan använda polär form för att lösa ekvationer av typen  $z^n=w$zn=w.

Omskrivning till polär form

För att skriva ett komplext tal på polär form behövs alltså vektorns längd, dvs absolutbeloppet, samt vinkeln mellan den positiva reella talaxeln och det komplexa talets vektor. Denna vinkeln kallas för argumentet.

Komplext tal på polär form

För ett komplext tal  $z=a+bi$z=a+bi  i första kvadranten gäller:

Absolutbeloppet ges av  $|z|=|a+bi|=$|z|=|a+bi|= $\sqrt{a^2+b^2}$a2+b2 och betecknas  $r$r.
Argumentet (vinkeln) beräknas genom  $v=\tan^{-1}(\frac{b}{a})$v=tan1(ba ).

Det komplexa talet  $z$z  skrivs på polär som

 $z=r(\cos v+i\sin v)$z=r(cosv+isinv) 

Exempel 1

Skriv det komplexa talet  $q=2+4i$q=2+4i  på polär form.

Lösning

Vi börjar med att åskådliggöra talet i det komplexa talplanet.

exempel-1-polar-form

Absolutbeloppet:  $|q|=\sqrt{2^2+4^2}=$|q|=22+42= $\sqrt{4+16}=$4+16= $\sqrt{20}$20

Argumentet:  $v=\tan^{-1}(\frac{4}{2})=1,10…\approx1,1$v=tan1(42 )=1,10…1,1 rad 

Alltså är  $q$q  på polär form:  $q=\sqrt{20}(\cos1,1+i\sin1,1)$q=20(cos1,1+isin1,1)

Om vi använder grader är argumentet  $v\approx63^{\circ}$v63.

Argumentet beräknas på lite olika sätt, beroende på vilken kvadrant som det komplexa talet befinner sig i. När det gäller den första kvadranten kan argumentet bestämmas som i exemplet ovan. Men i de övriga tre kvadranterna behöver vi lägga till ytterligare ett steg. Först markeras vinkeln mellan vektorn och den reella axeln i den aktuella kvadranten. Denna vinkel kan bestämmas med hjälp av tangens. Därefter kan argumentet, som alltid utgår från den positiva reella axeln, beräknas. Nedan hittar du exempel kring detta för kvadranterna 2-4. 

Exempel 2

Skriv det komplexa talet $ q = -3+4i $ på polär form.

Lösning

Vi börjar med att åskådliggöra talet i det komplexa talplanet.

exempel-2-polar-form

Absolutbeloppet:   $|q|=\sqrt{3^2+4^2}=$|q|=32+42= $\sqrt{9+16}=$9+16= $\sqrt{25}=$25= $5$5

Vektorn finns i den andra kvadranten, och argumentet beräknas då:
  $v=\pi-w=$v=πw= $\pi-\tan^{-1}(\frac{4}{3})=$πtan1(43 )= $2,21…\approx$2,21… $2,2$2,2 rad 

Alltså är  $q$q  på polär form:  $q=5(\cos2,2+i\sin2,2)$q=5(cos2,2+isin2,2) 

Om vi använder grader är argumentet  $v\approx127^{\circ}$v127 

Exempel 3

Skriv det komplexa talet  $q=-4-5i$q=45i  på polär form.

Lösning

Vi börjar med att åskådliggöra talet i det komplexa talplanet.

exempel-3-polar-form

Absolutbeloppet:  $|q|=\sqrt{4^2+5^2}=$|q|=42+52= $\sqrt{16+25}=$16+25= $\sqrt{41}$41 

Vektorn finns i den tredje kvadranten, och argumentet beräknas då:
 $v=\pi+w=$v=π+w= $\pi+\tan^{-1}(\frac{5}{4})=$π+tan1(54 )= $4,03…\approx$4,03… $4,0$4,0 rad

Alltså är  $q$q  på polär form:  $q=\sqrt{41}(\cos4,0+i\sin4,0)$q=41(cos4,0+isin4,0) 

Om vi använder grader är argumentet  $v\approx231^{\circ}$v231

Exempel 4

Skriv det komplexa talet  $q=3-5i$q=35i  på polär form.

Lösning

Vi börjar med att åskådliggöra talet i det komplexa talplanet.

exempel-4-polar-form

Absolutbeloppet:  $|q|=\sqrt{3^2+5^2}=$|q|=32+52= $\sqrt{9+25}=$9+25= $\sqrt{34}$34

Vektorn finns i den fjärde kvadranten, och argumentet beräknas då:
 $v=2\pi-w=$v=2πw=   $2\pi-\tan^{-1}(\frac{5}{3})=$2πtan1(53 )=   $5,25…°\approx$5,25…° $5,3$5,3 rad 

Alltså är  $q$q  på polär form:  $q=\sqrt{34}(\cos5,3+i\sin5,3)$q=34(cos5,3+isin5,3) 

Om vi använder grader är argumentet  $v\approx301^{\circ}$v301

Exempel i videon

  • Talet $ z=a+bi $ på polär form.
  • Skriv om talet $ z=3+4i $ på polär form.
  • Skriv $z = -4 + 5i$ på polär form.
  • Skriv $z = -3 – 3i$ på polär form.
  • Skriv $z = 4 – 4i$ på polär form.

Kommentarer

Martin S

uppgift 6
hur ska man veta att vektorn ligger i fjärde kvadranten bara genom att titta på uppgiften?
tack på förhand

    Simon Rybrand (Moderator)

    Genom att du vet att den reella delen är positiv och den imaginära delen är negativ.
    Då kommer vektorn att ligga i den fjärde kvadranten.

Per Eriksson

Hej,

Fråga 1 borde få ”3pi/2” som korrekt svar? 🙂

Mvh Per

Wael Mahrous

Hej!

På exempel 2 i texten så står det först att r = 5, men sedan sätter ni roten ur 20 istället…

Tack för coola tjänsten!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för påpekandet, det är fixat!

Ludvig Johansson

angående fråga 2. borde inte svaret vara absolutbelopp 5? bilden är vilseledande.

Tacksam att denna tjänst finns.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej bilden skall vara korrekt där, viktigt att se vart markören för 3 är.

IA

Hej.

Runt 4:43 borde inte a i absolut beloppet z bli -4^2? Har det någon betydelse om a och b. Alltså im och re är negativa när du ska räkna ut absolut beloppet?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det har ingen betydelse om Im z eller Re z är positiva eller negativa för absolutbeloppet. Eftersom vi upphöjer med 2 så kommer det ändå alltid att bli ett positivt tal oavsett om det är negativt eller positivt. Eftersom absolutbeloppet beskriver ett avstånd så kommer detta även alltid att vara positivt.

      IA

      Tack så mycket!

bigr

Angående fråga 7:
Skriv z=−8+15i på polär form
FÖRKLARING
Vektorn för det komplexa talet ligger i andra kvadranten så argumentet beräknas enligt
v=180−arctan(15/12)≈129°
Det komplexa talet på polär form kan nu skrivas som
z=17(cos129°+isin129°)
——————-
Varför divideras 15 med 12? Är det inte arctan(b/a), dvs. 15/8?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Jo det skall det vara, det är korrigerat, tack för att du kommenterade detta!

Sunshineklein

Väldigt klantig svenska där ser jag direkt :P. Så går det när man ivrigt pressar på ”send”.

Sunshineklein

Jag sjukt tacksam för dina videos. Läser ingenjör på högskola och fick även jag en smärre chock när jag insåg att ett matte D för 10 år sedan inte hjälpte långt när mattematiken snabbt blev tillämpad. Fortsätt med ditt goa arbete, det hjälper något så fantastiskt! Kommer säkert med någon fråga men än så länge är det sjukt illustrativt och pedagogiskt 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej!
    Kul att det hjälper dig, fortsatt lycka till med pluggandet!

lkhall

Det ser ut som att jag svart rätt men fått fel. Kanske Bör åtgärdas.

Låt z=4(cos(90°)+isin(90°)), skriv z på formen z=a+ib. Du svarade tyvärr fel
Ditt svar: z=4i

Rätt Svar: z=4i

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, tack för din kommentar, det korrekta svaret verkar inte ha varit ifyllt i den uppgiften, det är korrigerat.


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    ovning-1-polar-form

    Vilket är argumentet för det markerade komplexa talet  $z$z  i figuren?

    Svara i radianer.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilket är absolutbeloppet för det komplexa talet  $z$z  som åskådliggörs som en vektor i det komplexa talplanet?

    ovning-2-polar-form

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Låt $z=3-i$z=3i, beräkna $r$r .

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Skriv  $z=1+2i$z=1+2i  på polär form.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Hur kan vi beräkna realdelen på polär form?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Skriv $z=5-12i$z=512i  på polär form

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Skriv $z=-8+15i$z=8+15i  på polär form

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Låt $z=4\left(\text{ }\cos\frac{\pi}{2}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{2}\right)$z=4( cosπ2 +i sinπ2 ) .

    Skriv $z$z  på formen  $z=a+bi$z=a+bi .

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

a-uppgifter (1)

  • 12. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Skriv talet   $z=\sqrt{3}\left(\cos\frac{2\pi}{3}-i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$z=3(cos2π3 isin2π3 )  på polär form.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Se mer:Videolektion: Komplexa tal på Polär form
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se