Kapiteltest - Derivata

Bestäm en funktion till följande graf och förklara varför den inte är deriverbar för alla $x$x .

Derivera följande funktioner

a)  $y=\ln x+\ln x^4$y=lnx+lnx⁴ 

b)  $y=3\text{ }\sin x-\cos3x$y=3 sinx−cos3x 

c)  $y=e^{\sqrt{x}}$y=e^√x  

Bestäm talet $k$k så att  $y=0,5e^{kx}$y=0,5e^kx   är en lösning till differentialekvationen

 $6y+y'-y''=0$6y+y'−y''=0 

Du blir ombedd att skissa upp utseendet av följande funktion utan hjälp av grafritande verktyg.

  $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{x^3-2x^2+4x}{x^2}$x³−2x²+4xx²  

a) Bestäm asymptoterna

b) Skissa med hjälp av asymptoterna och extrempunkter grafen till funktionen.

Du blåser försiktigt upp ett bubbelgum. Radien är efter en sekund  $0,7\text{ }\text{cm}$0,7 cm  och ökar med hastigheten  $1,2\text{ }\text{cm}/\text{sek}$1,2 cm/sek.

Med vilken hastighet fylls bubbelgummet med luft?

a) Bestäm en funktion som har asymptoterna  $x=-2$x=−2 och  $y=3$y=3 

b) Bestäm en sammansatt funktion med derivatan  $f'\left(x\right)=\cos x\left(\sin x+5\right)$ƒ '(x)=cosx(sinx+5) och $f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0$ƒ (3π2 )=0 

Motivera dina svar

Bestäm tangenten till funktionen  $f\left(x\right)=3x\cdot e^{2x}$ƒ (x)=3x·e^2x  då   $x=2$x=2 .

Svara exakt.

Låt  $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\left|\frac{2x-3}{x-1}\right|$|2x−3x−1 |   

a) Lös ekvationen  $\left|\frac{2x-3}{x-1}\right|=$|2x−3x−1 |=$4$4   

b) Vilka asymptoter har funktionen?

c) Lös  $f\left(x\right)=x$ƒ (x)=x 

Lös alla frågor algebraiskt, men kontrollera gärna grafiskt efteråt.

I en sjö beräknas populationen av mörtar öka med $25\%$25% varje år om de får simma ostörda av rovfisk och fåglar, men man räknar med att i snitt äts $5$5 mörtar upp varje dag.

a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver hur populationens förändringshastighet $\frac{dy}{dt}$dydt  ser ut om $y$y är populationens storlek och $t$t är tiden i år.

b) Hur många mörtar måste finnas i sjön från början för att de inte långsamt ska utrotas om modellen stämmer?

Beräkna  $h'\left(0\right)$h'(0)  om  $h\left(x\right)=$h(x)=$\frac{f\left(g\left(x\right)\right)}{g\left(x\right)}$ƒ (g(x))g(x)   och du vet att   $g\left(0\right)=3$g(0)=3 , $g'\left(0\right)=-2$g'(0)=−2  och  $f\left(x\right)=2x+5$ƒ (x)=2x+5  

En saftfabrik fyller sina flaskor genom en konformad tratt. Tratten har diameter $40$40 cm och höjden $30\text{ }\text{cm}$30 cm och saften rinner ut med en hastighet på  $72\text{ }\text{cm}^3/\text{sek}$72 cm³/sek.

Med vilken hastighet minskar höjden/sekund i tratten, om ingen ny saft tillförs och tratten är halvfull sett till volym?