Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
Vissa händelseförlopp beskriver man bäst med en matematisk modell som är en sammanslagning av flera olika funktioner. Dessa funktioner kallar man för sammansatta funktioner och de består av så kallade inre och yttre funktioner. När man deriverar dessa använder man kedjeregeln.
För att tydligare se sambanden mellan olika variabler och förändringshastigheter i de sammansatta funktionerna kan man med fördel använda följande skrivsätt.
Om ballongens radie ökar med tiden, så kommer så klart även ballongens volym att öka. Vi tittar här nedan i ett exempel på hur vi använder sambandet mellan förändringen av volymen och radien beroende av hur lång tid vi fyller ballongen med luft.
Men först repeterar vi vad vi gått igenom tidigare.
Förändringshastigheter och derivata
Beräkningarna nedan med kedjeregeln bygger på kunskap som vi gått igenom i tidigare lektioner. Återvänd till dem om du känner dig osäker.
Sammansatta funktioner
Funktionen y=f(g(x))y=ƒ (g(x)) är en sammansatt funktion där f(g(x))ƒ (g(x)) är den yttre funktionen och g(x)g(x) är den inre funktionen.
En sammansatt funktion kan även skrivas med tecknet ∘, en mittplacerad ring som uttalas ”boll”.
f ∘ g(x)=f(g(x))ƒ ∘ g(x)=ƒ (g(x))
Olika sätt att beskriva derivata
När vi jobbar med sammansatta funktioner och gör tillämpningar med kedjeregeln, är det viktigt att veta vilken variabel som vi deriverar med avseende på. Vi repeterar kedjeregeln.
Kedjeregeln
Derivatan av en sammansatt funktion ges av kedjeregeln vilken säger att
y′=f′(g(x))⋅g′(x)y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)
där
f′(g(x))ƒ ´(g(x)) kallas den yttre derivatan och g′(x)g´(x) den inre derivatan.
Här deriverar vi med avseende på variabeln xx.
När vi deriverar sammansatta funktioner med kedjeregeln ser vi alla andra variabler än den variabel du deriverar med avseende på, som konstanter och behandlar dem som detta.
Just vid tillämpning med sammansatta funktioner är det vanligt att man använder följande skrivsätt istället. Detta för att öka tydlighet och förhoppningsvis minska förvirring mellan olika variabler i uttrycken. Vi skriver istället
Kedjeregeln
Derivatan av en sammansatt funktion ges av kedjeregeln vilken säger att
dxdy=dzdy⋅dxdzdydx =dydz ·dzdx
där
dzdydydz kallas den yttre derivatan och dxdzdzdx den inre derivatan.
Detta skrivsätt kallas Leibniz notation och är uppkallad efter en tysk 1700-talsfilosof och matematiker vid namn Gottfried Wilhelm Leibniz. Till exempel motsvarar symbolen dxdx ”delta x” som även skrivs som △x△x och som du förhoppningsvis bekantat dig med i arbetet med den räta linjens lutning. ”Delta” motsvarar då ”förändringen av…” till exempel xx.
Tillämpning av Kedjeregeln
Om vi exempelvis har ett klot vars radie ökar med avseende på tiden, ökar indirekt även volymen på klotet med tiden. Låt säga att vi vid ett experiment vill veta förändringshastigheten på volymen, men bara lyckas mäta hur snabbt radien ökar i längd. Hur gör vi då?
Förändringshastigheten av volymen motsvarar då en sammansatt funktion där volymen beror av radien rr som i sin tur beror av tiden tt. Om vi deriverar funktionsuttrycket som beskriver volymen VV, får vi då förändringshastigheten med avseende på radien eller tiden?
Ja, det beror ju på vilken variabel vi deriverar med avseende på!
Kvoten dtdVdVdt ger förhållandet mellan förändringen av volymen och tiden, det vi kallar ändringskvoten eller förändringshastigheten. Denna förändringshastighet skriver vi om med en inre funktion. Volymen med avseende på radien är den yttre funktionen och radien med avseende på tiden den inre. Vi ”trycker” liksom in förändringshastigheten av radien i uttrycket.
Vi uttrycker volymens förändringshastighet med avseende på tiden med hjälp av kedjeregeln så här.
dtdV=drdV⋅dtdrdVdt =dVdr ·drdt
Detta använder du nu för att bestämma radiens och volymens förändringshastigheter vid olika tidpunkter.
Lär dig med exempel
Detta verkar kanske lite förvirrande till en början men ge inte upp! Jobba igen några exempel flera gånger så kommer troligtvis hitta systemet och se att det inte är så omöjligt krångligt i alla fall.
Exempel 1
Radien på en klotformad ballong ökar med hastigheten 22 cm/minut. Bestäm hur snabbt volymen VV ökar just i vid den tidpunkt då radien är 33 cm.
Lösning
Vi löser uppgiften genom att göra en förenklad modell av ballongen, där volymen beskrivs med ett exakt klot, även om så troligen inte är fallet. Vi bestämmer nu hur snabbt volymen ökar, det vill säga dtdVdVdt .
Men informationen vi får utgår från förändringshastigheten på radien. Så vi använder kedjereglen och får ett samband genom att multiplicera förändringshastigheten av volymen med avseende på radien med förändringshastigheten av radien med avseende på tiden.
dtdV=drdV⋅dtdrdVdt =dVdr ·drdt
Förändringshastigheten för klotets volym med avseende på radien är
drdV=dVdr = 4πr24πr2
eftersom att volymen för ett klot ges av V=V=34πr34πr33 och derivatan då är
drdV=dVdr =33⋅4⋅π⋅r2=3·4·π·r23 =4⋅π⋅r24·π·r2
Förändringshastigheten av radien med avseende på tiden är dtdr=drdt =22 cm/minut.
Nu bestämmer vi förändringshastigheten exakt då radien är 33 cm genom att sätta vi in r=3r=3 och ovanstående beräkningar av derivatorna i uttrycket.
dtdV=drdV⋅dtdr=dVdt =dVdr ·drdt =4π⋅32⋅2≈2264π·32·2≈226
Alltså gäller att ballongens volym ökar med ca 226226 cm33/min
Ett exempel till
Vi tittar på ett liknande exempel. Om sidan för en kub minskar med tiden så kommer volymen för kuben förstås även den att minska.
Vi ställer upp sambandet
dtdV=dsdV⋅dtdsdVdt =dVds ·dsdt
Det vill säga förändringshastigheten av volymen med avseende på tiden, är lika med förändringshastigheten av volymen med avseende på sidans längd som i sin tur förändras med avseende på tiden.
Exempel 2
Volymen för en viss kub minskar i ett tidsintervall med 88 m33/h.
Bestäm hur snabbt sidan ss minskar då denna vid en tidpunkt är 1010 m.
Lösning
Vi ska beräkna dtdsdsdt då s=10s=10.
Att kubens volym minskar anger vi som ett negativ tal.
dtdV=dVdt =−8−8 m33/h
Volymen hos en kub anges med v=s3v=s3 och vi får då att
dsdV=dVds =33 s22
Vi kan då ställa upp sambandet
dtdV=dsdV⋅dtdsdVdt =dVds ·dsdt
och ersätter med värden
−8=300⋅−8=300·dtdsdsdt
vilket ger att
dtds=300−8≈dsdt =−8300 ≈−0,03−0,03
Alltså gäller att sidan minskar med 0,030,03 m/h eller 33
Vid tillämpning motsvarar ett negativ tal en minskning och vi byter då ut minustecknet mot ordet minskar i svaret.
Kommentarer
e-uppgifter (8)
1.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Volymen VV för en sfär som ändras med avseende på tiden tt kan beskrivas med sambandet
dtdV=drdV⋅dtdrdVdt =dVdr ·drdt
Ange vilket alternativ som beskriver dtdVdVdt
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Volymen VV för en sfär som ändras med avseende på tiden tt kan beskrivas med sambandet
dtdV=drdV⋅dtdrdVdt =dVdr ·drdt
Ange vilket alternativ som beskriver dtdrdrdt
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm drdVdVdr om V=V=34πr34πr33
Svar:Ditt svar:Rätt svar: V′(r)=4πr2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Volymen VV för en cylinder beräknas med formeln V=πr2hV=πr2h där rr är radien och hh höjden.
Bestäm derivatan av volymen med avseende på höjden.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: V′(h)=πr2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Siv kastar en sten i sjön. Runt platsen där stenen träffade vattenytan utbreder sig en cirkelformad lite svallvåg.
Sambandet mellan areans förändringshastighet dtdAdAdt och radiens förändringshastighet dtdrdrdt ges av dtdA=drdA⋅dtdrdAdt =dAdr ·drdt
a) Vilket alternativ motsvarar ett uttryck för arenas förändringshastighet uttryckt med radien rr.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(1/0/0)E C A B P PL 1 M R K Siv kastar en sten i sjön. Runt platsen där stenen träffade vattenytan utbreder sig en cirkelformad lite svallvåg.
Sambandet mellan areans förändringshastighet dtdAdAdt och radiens förändringshastighet dtdrdrdt ges av dtdA=drdA⋅dtdrdAdt =dAdr ·drdt
Svallvågens radie ökar med en konstant hastighet på 1,51,5 m/s.
b) Med vilken hastighet ökar svallvågens area runt platsen där stenen träffade vattenytan när radien är 44 meter?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Ökar 37,7 m2/s(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(1/0/0)E C A B P PL 1 M R K Volymen för en viss kub minskar i ett tidsintervall med 33 cm33/min.
Bestäm hur snabbt sidan ss minskar då denna vid en tidpunkt är 55 cm.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Minskar med 0,04 cm/min(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(1/0/0)E C A B P PL 1 M R K Ett rätblock har bredden 1010 cm och djupet 55 cm. Höjden minskar med 0,30,3 mm per sekund och är vid en viss tidpunkt 1212 cm.
Beräkna förändringshastigheten av volymen med avseende på tiden vid just denna tidpunkt.
Ange med en decimals noggrannhet med enheten cm^3/s.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Volymen minskar med 1,5 cm3/s(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (1)
9. Premium
(1/1/0)E C A B P PL 1 1 M R K En cylinderformad silo används för att förvara säd. Silons radie är 55 meter. När silon töms görs det med hastigheten 33 m33 säd per minut.
Hur förändras höjden på säden i silon under tiden den töms?
Ange svaret med två decimalers noggrannhet med enheten m/min.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Minskar med 0,04 m/min(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: Sammansatta funktioner och kedjeregelnRättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Nils Nyberg
Hej!
Grym hemsida! Det var ett tag sedan jag gick i gymnasiet och jag undrar varför enheterna omvandlas från centimeter/sekund till (kubik)centimeter/sekund osv.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Nils,
kul att Eddler kan hjälpa dig.
Kolla in denna lektion där teoritexten nämner lite om derivatans enheter.
Problemlösning med Derivatan
Endast Premium-användare kan kommentera.