00:00
00:00
KURSER  / 
Övningsgeneratorn
/  Övningsgeneratorn

Tillämpningar med kedjeregeln - E-uppgifter

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Vissa händelseförlopp beskriver man bäst med en matematisk modell som är en sammanslagning av flera olika funktioner. Dessa funktioner kallar man för sammansatta funktioner och de består av så kallade inre och yttre funktioner. När man deriverar dessa använder man kedjeregeln.

För att tydligare se sambanden mellan olika variabler och förändringshastigheter i de sammansatta funktionerna kan man med fördel använda följande skrivsätt.

Om ballongens radie ökar med tiden, så kommer så klart även ballongens volym att öka. Vi tittar här nedan i ett exempel på hur vi använder sambandet mellan förändringen av volymen och radien beroende av hur lång tid vi fyller ballongen med luft.

Men först repeterar vi vad vi gått igenom tidigare.

Förändringshastigheter och derivata

Beräkningarna nedan med kedjeregeln bygger på kunskap som vi gått igenom i tidigare lektioner. Återvänd till dem om du känner dig osäker.

Sammansatta funktioner

Funktionen y=f(g(x))y=f(g(x))y=ƒ (g(x)) är en sammansatt funktion där f(g(x))f(g(x))ƒ (g(x)) är den yttre funktionen och g(x)g(x)g(x) är den inre funktionen.

En sammansatt funktion kan även skrivas med tecknet , en mittplacerad ring som uttalas ”boll”.

f ∘ g(x)=f(g(x))f\text{ }\text{∘}\text{ }g\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)ƒ  g(x)=ƒ (g(x))

Olika sätt att beskriva derivata

När vi jobbar med sammansatta funktioner och gör tillämpningar med kedjeregeln, är det viktigt att veta vilken variabel som vi deriverar med avseende på. Vi repeterar kedjeregeln.

Kedjeregeln

Derivatan av en sammansatt funktion ges av kedjeregeln vilken säger att
y=f(g(x))g(x)y'=f'(g(x))\cdot g'(x)y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)

där

f(g(x))f'(g(x))ƒ ´(g(x)) kallas den yttre derivatan och g(x)g'(x)g´(x) den inre derivatan.

Här deriverar vi med avseende på variabeln xxx.

När vi deriverar sammansatta funktioner med kedjeregeln ser vi alla andra variabler än den variabel du deriverar med avseende på, som konstanter och behandlar dem som detta.

Just vid tillämpning med sammansatta funktioner är det vanligt att man använder följande skrivsätt istället. Detta för att öka tydlighet och förhoppningsvis minska förvirring mellan olika variabler i uttrycken. Vi skriver istället

Kedjeregeln

Derivatan av en sammansatt funktion ges av kedjeregeln vilken säger att

dydx=dydzdzdx\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}dydx =dydz ·dzdx 

där

dydz\frac{dy}{dz}dydz   kallas den yttre derivatan och dzdx\frac{dz}{dx}dzdx  den inre derivatan.

Detta skrivsätt kallas Leibniz notation och är uppkallad efter en tysk 1700-talsfilosof och matematiker vid namn Gottfried Wilhelm Leibniz. Till exempel motsvarar symbolen dxdxdx ”delta x”  som även skrivs som x\bigtriangleup xx och som du förhoppningsvis bekantat dig med i arbetet med den räta linjens lutning. ”Delta” motsvarar då ”förändringen av…”  till exempel xxx.

Tillämpning av Kedjeregeln

Om vi exempelvis har ett klot vars radie ökar med avseende på tiden, ökar indirekt även volymen på klotet med tiden. Låt säga att vi vid ett experiment vill veta förändringshastigheten på volymen, men bara lyckas mäta hur snabbt radien ökar i längd. Hur gör vi då?

Förändringshastigheten av volymen motsvarar då en sammansatt funktion där volymen beror av radien rrr som i sin tur beror av tiden ttt. Om vi deriverar funktionsuttrycket som beskriver volymen VVV, får vi då förändringshastigheten med avseende på radien eller tiden?

Ja, det beror ju på vilken variabel vi deriverar med avseende på!

Kvoten dVdt\frac{dV}{dt}dVdt  ger förhållandet mellan förändringen av volymen och tiden, det vi kallar ändringskvoten eller förändringshastigheten. Denna förändringshastighet skriver vi om med en inre funktion. Volymen med avseende på radien är den yttre funktionen och radien med avseende på tiden den inre. Vi ”trycker” liksom in förändringshastigheten av radien i uttrycket.

Vi uttrycker volymens förändringshastighet med avseende på tiden med hjälp av kedjeregeln så här.

dVdt=dVdrdrdt\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{\color{red}dr}\color{black}\cdot\frac{\color{red}dr}{\color{black}dt}dVdt =dVdr ·drdt 

Detta använder du nu för att bestämma radiens och volymens förändringshastigheter vid olika tidpunkter.

Lär dig med exempel

Detta verkar kanske lite förvirrande till en början men ge inte upp! Jobba igen några exempel flera gånger så kommer troligtvis hitta systemet och se att det inte är så omöjligt krångligt i alla fall.

Exempel 1

Radien på en klotformad ballong ökar med hastigheten 222 cm/minut. Bestäm hur snabbt volymen VVV ökar just i vid den tidpunkt då radien är 333 cm.

Lösning

Vi löser uppgiften genom att göra en förenklad modell av ballongen, där volymen beskrivs med ett exakt klot, även om så troligen inte är fallet. Vi bestämmer nu hur snabbt volymen ökar, det vill säga dVdt\frac{dV}{dt}dVdt .

Men informationen vi får utgår från förändringshastigheten på radien. Så vi använder kedjereglen och får ett samband genom att multiplicera förändringshastigheten av volymen med avseende på radien med förändringshastigheten av radien med avseende på tiden.

dVdt=dVdrdrdt\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}dVdt =dVdr ·drdt 

Förändringshastigheten för klotets volym med avseende på radien är

dVdr=\frac{dV}{dr}=dVdr = 4πr24\pi r^24πr2

eftersom att volymen för ett klot ges av V=V=V=4πr33\frac{4\pi r^3}{3}4πr33  och derivatan då är

dVdr=\frac{dV}{dr}=dVdr =34πr23=\frac{3\cdot4\cdot\pi\cdot r^2}{3}=3·4·π·r23 =4πr24\cdot\pi\cdot r^24·π·r2

Förändringshastigheten av radien med avseende på tiden är drdt=\frac{dr}{dt}=drdt =222 cm/minut.

Nu bestämmer vi förändringshastigheten exakt då radien är 333 cm genom att sätta vi in r=3r=3r=3 och ovanstående beräkningar av derivatorna i uttrycket.

dVdt=dVdrdrdt=\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=dVdt =dVdr ·drdt =4π3222264\pi\cdot3^2\cdot2\approx2264π·32·2226

Alltså gäller att ballongens volym ökar med ca 226226226 cm3^33/min

Ett exempel till

Vi tittar på ett liknande exempel. Om sidan för en kub minskar med tiden så kommer volymen för kuben förstås även den att minska.

Vi ställer upp sambandet

dVdt=dVdsdsdt\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}dVdt =dVds ·dsdt 

Det vill säga förändringshastigheten av volymen med avseende på tiden, är lika med förändringshastigheten av volymen med avseende på sidans längd som i sin tur förändras med avseende på tiden.

Exempel 2

Volymen för en viss kub minskar i ett tidsintervall med 888 m3^33/h.

Bestäm hur snabbt sidan sss minskar då denna vid en tidpunkt är 101010 m.

Lösning

Vi ska beräkna dsdt\frac{ds}{dt}dsdt  då  s=10s=10s=10.

Att kubens volym minskar anger vi som ett negativ tal.

dVdt=\frac{dV}{dt}=dVdt =8-88 m3^33/h

Volymen hos en kub anges med  v=s3v=s^3v=s3 och vi får då att

dVds=\frac{dV}{ds}=dVds =333 s2^22

Vi kan då ställa upp sambandet

dVdt=dVdsdsdt\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}dVdt =dVds ·dsdt 

och ersätter med värden

8=300-8=300\cdot8=300·dsdt\frac{ds}{dt}dsdt 

vilket ger att

dsdt=8300\frac{ds}{dt}=\frac{-8}{300}\approxdsdt =8300 0,03-0,030,03

Alltså gäller att sidan minskar med 0,030,030,03 m/h eller  333

Vid tillämpning motsvarar ett negativ tal en minskning och vi byter då ut minustecknet mot ordet minskar i svaret.