Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Derivata
Kvotregeln
Innehåll
För att deriverar en funktion som är en kvot av två funktioner använder vi kvotregeln.
Exempelvis är $y=$y=$\frac{e^x}{x^3}$exx3 och $f(x)=$ƒ (x)=$\frac{x^2}{\sin x}$x2sinx funktioner som ska deriveras med kvotregeln.
Kvotregeln
Om $y=$y=$\frac{f(x)}{g(x)}$ƒ (x)g(x) där $g\left(x\right)\ne0$g(x)≠0 så gäller att
$y´=$y´=$\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$ƒ ’(x)·g(x)−ƒ (x)·g’(x)(g(x))2
Derivatan av en sådan funktion är alltså följande.
”Differensen mellan första funktionens derivata multiplicerat med den andra funktionen och den första funktionen multiplicerat med den andra funktionens derivata dividerat med andra funktionen i kvadrat”.
Exempel på att derivera med kvotregeln
Nedan följer ett antal exempel på där denna regel används.
Exempel 1
Derivera $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{e^x}{x^3}$exx3
Lösning
Vi tillämpar kvotregeln och får
$f´(x)=$ƒ ´(x)= $\frac{e^x\cdot x^3-e^x\cdot3x^2}{(x^3)^2}=$ex·x3−ex·3x2(x3)2 = $\frac{e^x\cdot x^3-e^x\cdot3x^2}{x^6}$ex·x3−ex·3x2x6
eftersom att derivatan av $e^x$ex är lika med $e^x$ex
och derivatan till $x^3$x3 är lika med $3x^2$3x2
Vi fortsätter med ett likande exempel.
Exempel 2
Derivera $f(x)=$ƒ (x)=$\frac{x^2}{\sin x}$x2sinx
Lösning
Vi tillämpar kvotregeln och får
$f’\left(x\right)=$ƒ ’(x)= $\frac{2x\cdot\sin x-x^2\cdot\cos x}{\sin^2x}$2x·sinx−x2·cosxsin2x
eftersom att derivatan av $x^2$x2 är lika med $2x$2x
och derivatan till $\sin x$sinx är lika med $\cos x$cosx.
Derivatan av tangens
Eftersom att tangentfunktionen kan skrivas som kvoten $\frac{\sin x}{\cos x}$sinxcosx kan vi bestämma derivatan med hjälp av kvotregeln.
Exempel 3
Derivera $f(x)=\tan x$ƒ (x)=tanx
Lösning
Vi använder definitionen för tangens, $\tan x=$tanx=$\frac{\sin x}{\cos x}$sinxcosx
Nu deriverar vi med kvotregeln och får
$f’\left(x\right)=$ƒ ’(x)=$\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\left(-\sin x\right)}{\cos^2x}$cosx·cosx−sinx(−sinx)cos2x
Vi förenklar och får
$f’\left(x\right)=$ƒ ’(x)=$\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}$cos2x+sin2xcos2x
Vi använder trigonometriska ettan och får
$f’\left(x\right)=$ƒ ’(x)=$\frac{1}{\cos^2x}$1cos2x
Bevis av kvotregeln
I teoritexten i lektionen produktregeln går vi igenom beviset för produktregeln. För att bevisa kvotregeln använder vi detta bevis efter att vi skrivit om kvoten till en produkt, $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=$ƒ (x)g(x) = $f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{-1}$ƒ (x)·g(x)−1
Exempel i videon
- Derivera $ y = \frac{x^2}{2e^x} $.
- Derivera $ y=\tan x $.
- Derivera $ y=\frac{x}{cosx} $.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Derivera $\frac{x^2-1}{x+1}$x2−1x+1
a) genom att först förenkla kvoten.
b) genom att använda kvotregeln.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
2. Premium
Derivera $y=$y=$\frac{\sin x}{x}$sinxx
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel KvotregelnRättar... -
3. Premium
Derivera $\tan x$tanx med hjälp av kvotregeln.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
4. Premium
Derivera $y=$y= $\frac{x^2}{\sin x}$x2sinx
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel KvotregelnRättar...
c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Lös ekvationen $y'(x)=0$y’(x)=0 då $y(x)=$y(x)=$\frac{2x^2}{e^x}$2x2ex
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
6. Premium
Derivera $y=$y=$\frac{\tan^2x}{\sin x\cdot\cos x}$tan2xsinx·cosx och förenkla så långt som möjligt.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel KvotregelnRättar... -
7. Premium
Derivera $y=$y=$\frac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{x}}$(x+1)2√x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
a-uppgifter (2)
-
8. Premium
Låt $y=\frac{x^2e^x}{x-2}$y=x2exx−2 . Lös ekvationen $y´=0$y´=0.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata KvotregelnRättar... -
9. Premium
Kvotregeln säger att
”För alla funktioner $y=$y=$\frac{f(x)}{g(x)}$ƒ (x)g(x) där $g\left(x\right)\ne0$g(x)≠0 så gäller att
$y´=$y´=$\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$ƒ ’(x)·g(x)−ƒ (x)·g’(x)(g(x))2 ”
Visa att kvotregeln gäller med hjälp av produktregeln.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata deriveringsregler KvotregelnRättar... -
Armend
Hej, jag tror att fråga 6 är fel, hur blir det 1+2sin^2(x) i täljaren?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej,
har du sett att alla uppgifter har en förklaring? Du ser den genom att klicka på knappen Förklaring efter att du rätta uppgiften. Där kan du se hur man kommer fram till detta.
Haya Ardalan
Hej!
kan inte lösa denna uppgift
Man har en funktion f(x)=xe^x.
Undersök om det finns någon lösning till ekvationen f(x)=f'(x)
Simon Rybrand (Moderator)
Här får du först derivera och får då
$ f´(x) = e^x + xe^x $
Du skall nu undersöka om det finns lösningar till ekvationen
$ f(x) = f´(x) ⇔ $
$ xe^x = e^x + xe^x ⇔ $ ($ -xe^x $)
$ 0 = e^x $
Här kan du göra så att du ritar ut funktionen
$ f(x) = e^x $
och så ser du att denna funktion inte går genom y = 0, dvs det finns inga lösningar till denna ekvation.
Jens
Hej! I ert övningsprov, uppgift 4
Förklaring
Vi har funktionen f(x)=3x+2ex
Vi deriverar med kvotregeln
f´(x)=(3e^x−(3x+2)e^x)/(e^2x)
Förkortning med e^x ger
f´(x)=(3x+5)/(e^x)
Jag förstår inte steget där mellan.
Jag faktoriserar täljaren till e^x(3-3x-2)
när jag sedan förkortar med e^x blir täljaren (3-3x-2)
alltså (1-3x)/(e^x)
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Jens, Det hade smugit sig in ett fel i uträkningen där och jag har uppdaterat uppgiften sasmt lagt till en längre uträkning så att resonemanget blir tydligare.
AxelKindbom
Hej! Toppenvideo!
Det är ett steg som jag dock inte förstår, vilket antagligen beror på mina bristande förkunskaper. Vid 02:25 i videon så förkortas 2e^x i varje term. Kan du förklara kort hur detta steget går till?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Axel, vad bra att du gillar videon. Om man skriver ut hela det deriverade uttrycket så får vi
Vi skulle nu, för att vara tydliga, bryta ut $ 2e^x $ i bägge termerna i täljaren så att vi får:
Nu förkortar vi både i täljaren och nämnaren med $ 2e^x $ så att uttrycket blir
Endast Premium-användare kan kommentera.