...
Kurser Alla kurser Min kurs Min sida Min sida Provbank Mina prov Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook X (Twitter) Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 4
 /   Derivata

Kvotregeln

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video Skapa thumbnails
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

För att deriverar en funktion som är en kvot av två funktioner använder vi kvotregeln. 
Exempelvis är  $y=$y=$\frac{e^x}{x^3}$exx3  och  $f(x)=$ƒ (x)=$\frac{x^2}{\sin x}$x2sinx   funktioner som ska deriveras med kvotregeln.

Kvotregeln

Om  $y=$y=$\frac{f(x)}{g(x)}$ƒ (x)g(x)  där $g\left(x\right)\ne0$g(x)0  så gäller att

 $y´=$y´=$\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$ƒ ’(x)·g(x)ƒ (x)·g’(x)(g(x))2 

Derivatan av en sådan funktion är alltså följande.

Differensen mellan första funktionens derivata multiplicerat med den andra funktionen och den första funktionen multiplicerat med den andra funktionens derivata dividerat med andra funktionen i kvadrat”.

Exempel på att derivera med kvotregeln

Nedan följer ett antal exempel på där denna regel används.

Exempel 1

Derivera  $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{e^x}{x^3}$exx3   

Lösning

Vi tillämpar kvotregeln och får

 $f´(x)=$ƒ ´(x)= $\frac{e^x\cdot x^3-e^x\cdot3x^2}{(x^3)^2}=$ex·x3ex·3x2(x3)2 =  $\frac{e^x\cdot x^3-e^x\cdot3x^2}{x^6}$ex·x3ex·3x2x6  

eftersom att derivatan av $e^x$ex är lika med $e^x$ex 

och derivatan till $x^3$x3 är lika med $3x^2$3x2 

Vi fortsätter med ett likande exempel.

Exempel 2

Derivera  $f(x)=$ƒ (x)=$\frac{x^2}{\sin x}$x2sinx  

Lösning

Vi tillämpar kvotregeln och får

 $f’\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{2x\cdot\sin x-x^2\cdot\cos x}{\sin^2x}$2x·sinxx2·cosxsin2x   

eftersom att derivatan av $x^2$x2  är lika med $2x$2x  

och derivatan till $\sin x$sinx  är lika med $\cos x$cosx

Derivatan av tangens

Eftersom att tangentfunktionen kan skrivas som kvoten $\frac{\sin x}{\cos x}$sinxcosx  kan vi bestämma derivatan med hjälp av kvotregeln. 

Exempel 3

Derivera  $f(x)=\tan x$ƒ (x)=tanx 

Lösning

Vi använder definitionen för tangens, $\tan x=$tanx=$\frac{\sin x}{\cos x}$sinxcosx 

Nu deriverar vi med kvotregeln och får

 $f’\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\left(-\sin x\right)}{\cos^2x}$cosx·cosxsinx(sinx)cos2x  

Vi förenklar och får

 $f’\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}$cos2x+sin2xcos2x 

Vi använder trigonometriska ettan och får

 $f’\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{1}{\cos^2x}$1cos2x  

Bevis av kvotregeln

I teoritexten i lektionen produktregeln går vi igenom beviset för produktregeln. För att bevisa kvotregeln använder vi detta bevis efter att vi skrivit om kvoten till en produkt, $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=$ƒ (x)g(x) = $f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{-1}$ƒ (x)·g(x)1 

Exempel i videon

  • Derivera $ y = \frac{x^2}{2e^x} $.
  • Derivera $ y=\tan x $.
  • Derivera $ y=\frac{x}{cosx} $.

Kommentarer

Armend

Hej, jag tror att fråga 6 är fel, hur blir det 1+2sin^2(x) i täljaren?

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Hej,

    har du sett att alla uppgifter har en förklaring? Du ser den genom att klicka på knappen Förklaring efter att du rätta uppgiften. Där kan du se hur man kommer fram till detta.

Haya Ardalan

Hej!
kan inte lösa denna uppgift

Man har en funktion f(x)=xe^x.
Undersök om det finns någon lösning till ekvationen f(x)=f'(x)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Här får du först derivera och får då
    $ f´(x) = e^x + xe^x $
    Du skall nu undersöka om det finns lösningar till ekvationen
    $ f(x) = f´(x) ⇔ $
    $ xe^x = e^x + xe^x ⇔ $ ($ -xe^x $)
    $ 0 = e^x $
    Här kan du göra så att du ritar ut funktionen
    $ f(x) = e^x $
    och så ser du att denna funktion inte går genom y = 0, dvs det finns inga lösningar till denna ekvation.

Jens

Hej! I ert övningsprov, uppgift 4

Förklaring
Vi har funktionen f(x)=3x+2ex
Vi deriverar med kvotregeln
f´(x)=(3e^x−(3x+2)e^x)/(e^2x)
Förkortning med e^x ger
f´(x)=(3x+5)/(e^x)

Jag förstår inte steget där mellan.
Jag faktoriserar täljaren till e^x(3-3x-2)
när jag sedan förkortar med e^x blir täljaren (3-3x-2)
alltså (1-3x)/(e^x)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Jens, Det hade smugit sig in ett fel i uträkningen där och jag har uppdaterat uppgiften sasmt lagt till en längre uträkning så att resonemanget blir tydligare.

AxelKindbom

Hej! Toppenvideo!
Det är ett steg som jag dock inte förstår, vilket antagligen beror på mina bristande förkunskaper. Vid 02:25 i videon så förkortas 2e^x i varje term. Kan du förklara kort hur detta steget går till?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Axel, vad bra att du gillar videon. Om man skriver ut hela det deriverade uttrycket så får vi

    $ \frac{2x2e^x – x^22e^x}{(2e^x)^2} = \frac{2x2e^x – x^22e^x}{2e^x \cdot 2e^x} $

    Vi skulle nu, för att vara tydliga, bryta ut $ 2e^x $ i bägge termerna i täljaren så att vi får:

    $ \frac{2e^x(2x – x^2)}{2e^x \cdot 2e^x} $

    Nu förkortar vi både i täljaren och nämnaren med $ 2e^x $ så att uttrycket blir

    $ \frac{2x – x^2}{2e^x} $

Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Derivera  $\frac{x^2-1}{x+1}$x21x+1 

    a) genom att först förenkla kvoten.

    b) genom att använda kvotregeln.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Derivera  $y=$y=$\frac{\sin x}{x}$sinxx  

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel Kvotregeln
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Derivera  $\tan x$tanx  med hjälp av kvotregeln.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Derivera  $y=$y= $\frac{x^2}{\sin x}$x2sinx  

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel Kvotregeln
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    E C A
    B
    P 1 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Lös ekvationen $y'(x)=0$y’(x)=0 då  $y(x)=$y(x)=$\frac{2x^2}{e^x}$2x2ex 

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Derivera  $y=$y=$\frac{\tan^2x}{\sin x\cdot\cos x}$tan2xsinx·cosx    och förenkla så långt som möjligt.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel Kvotregeln
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Derivera  $y=$y=$\frac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{x}}$(x+1)2x  

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (2)

  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Låt  $y=\frac{x^2e^x}{x-2}$y=x2exx2 . Lös ekvationen  $y´=0$y´=0.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Derivata Kvotregeln
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/1)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Kvotregeln säger att

    ”För alla funktioner $y=$y=$\frac{f(x)}{g(x)}$ƒ (x)g(x)  där $g\left(x\right)\ne0$g(x)0  så gäller att 

    $y´=$y´=$\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$ƒ ’(x)·g(x)ƒ (x)·g’(x)(g(x))2 

    Visa att kvotregeln gäller med hjälp av produktregeln.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Derivata deriveringsregler Kvotregeln
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se