...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook X (Twitter) Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 4
 /   Trigonometri och trigonometriska funktioner

Trigonometriska ekvationer med formler

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Många trigonometriska ekvationer innehåller uttryck som kan skrivas om, vilket gör att ekvationen blir enklare att lösa. Till detta används t ex trigonometriska ettan, additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus samt formler för dubbla vinkeln.

Trigonometriska ettan

 $\sin^2v+\cos^2v=1$sin2v+cos2v=1 

Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus
 $\sin\left(u+v\right)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$sin(u+v)=sinucosv+cosusinv 
 $\sin\left(u-v\right)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$sin(uv)=sinucosvcosusinv 
 $\cos\left(u+v\right)=\cos u\cos v-\sin u\sin v$cos(u+v)=cosucosvsinusinv 
 $\cos\left(u-v\right)=\cos u\cos v+\sin u\sin v$cos(uv)=cosucosv+sinusinv 

Formler för dubbla vinkeln

 $\sin2v=2\sin v\cos v$sin2v=2sinvcosv 

 $\cos2v=$cos2v=$\begin{cases} \cos ^2v-\sin ^2v \\ 2\cos^2 v-1 \\1-\sin ^2v \end{cases} $

I Matematik 3c arbetade vi med trigonometriska ekvationer och fullständiga lösningar till dessa. Repetera gärna detta om du behöver.

Samtliga lösningar till ekvationer med sinus

Alla lösningar till $\sin v=a$sinv=a  där $-1\le a\le1$1a1  ges i grader av

 $v=$v=$\begin{cases} \sin ^{-1}a+n\cdot 360^{\circ } \\ 180^{\circ } -\sin ^{-1}a+n\cdot 360^{\circ } \end{cases}$  där $n$n är ett heltal

och i radianer av

 $v=$v=$\begin{cases} \sin ^{-1}a+n\cdot 2\pi \\\pi -\sin ^{-1}a+n\cdot 2\pi  \end{cases}$  där $n$n är ett heltal

Samtliga lösningar till ekvationer med cosinus

Alla lösningar till $\cos v=a$cosv=a  där $-1\le a\le1$1a1  ges i grader av

 $v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot360^{\circ}$v=±cos1a+n·360  där  $n$n är ett heltal

och i radianer av

 $v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot2\pi$v=±cos1a+n·2π  där  $n$n är ett heltal

Nu har vi dessutom några olika trigonometriska samband, som kan användas för att skriva om de uttryck som ingår i ekvationerna.

Exempel 1

Lös ekvationen  $4\cos^2x-4\sin^2x+2=0$4cos2x4sin2x+2=0 

Lösning

Vi förenklar och skriver om med hjälp av formel för dubbla vinkeln.
 $4\cos^2x-4\sin^2x+2=0$4cos2x4sin2x+2=0
 $2\cos^2x-2\sin^2x+1=0$2cos2x2sin2x+1=0  
 $2\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=-1$2(cos2xsin2x)=1 
 $2\cos2x=-1$2cos2x=1  
 $\cos2x=$cos2x= $-\frac{1}{2}$12    

Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbadet.
 $2x=\pm120^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$2x=±120+n·360
 $x=\pm60^{\circ}+n\cdot180^{\circ}$x=±60+n·180   

Exempel 2

Lös ekvationen  $2\sin3x\cos2x+2\cos3x\sin2x=\sqrt{3}$2sin3xcos2x+2cos3xsin2x=3 

Lösning

Vi skriver om med hjälp av additionsformeln för sinus.
 $2\sin\left(3x+2x\right)=\sqrt{3}$2sin(3x+2x)=3 
 $\sin5x=$sin5x= $\frac{\sqrt{3}}{2}$32   

Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbadet, och får två olika alternativ.

 $5x_1=60^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$5x1=60+n·360
 $x_1=$x1= $\frac{60^{\circ}}{5}+n\cdot\frac{360^{\circ}}{5}$605 +n·3605  

eller 

 $5x_2=180^{\circ}-60^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$5x2=18060+n·360 
 $x_2=$x2= $\frac{120^{\circ}}{5}+n\cdot\frac{360^{\circ}}{5}$1205 +n·3605 

$\begin{cases} x_1=12^{\circ }+n\cdot 72^\circ  \\ x_2=24^{\circ }+n\cdot 72^\circ \end{cases} $

Exempel 3

Lös ekvationen  $2\sin^2x-\cos x=1$2sin2xcosx=1 

Lösning

Vi skriver om  $\sin^2x$sin2x  med hjälp av trigonometriska ettan, och förenklar.
 $2\left(1-\cos^2x\right)-\cos x=1$2(1cos2x)cosx=1 
 $2-2\cos^2x-\cos x=1$22cos2xcosx=1
 $-2\cos^2x-\cos x+1=0$2cos2xcosx+1=0  
 $\cos^2x+\frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{2}=0$cos2x+12 cosx12 =0 

Vi sätter  $\cos x=t$cosx=t  och löser med pq-formeln.
 $t^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}=0$t2+12 t12 =0 
 $t=$t= $-\frac{1}{4}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{2}}$14 ±(14 )2+12  
 $t=$t= $-\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{8}{16}}$14 ±116 +816   
 $t=$t= $-\frac{1}{4}\pm\frac{3}{4}$14 ±34  

$\begin{cases} t_1=\frac{1}{2} \\ t_2=-1 \end{cases} $

Detta innebär att  $\cos x=$cosx= $\frac{1}{2}$12   eller  $\cos x=-1$cosx=1. Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbadet.
 $x_1=\pm60^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x1=±60+n·360
 $x_2=180^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x2=180+n·360  

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Lös ekvationen  $\sin^2x-\cos^2x=1$sin2xcos2x=1.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Lös ekvationen  $\sin^2x-\sin x=0$sin2xsinx=0.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Lös ekvationen  $4\sin x\cos x=\sqrt{3}$4sinxcosx=3.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/1/0)
    E C A
    B
    P 2 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Lös ekvationen  $\sin4x=$sin4x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$32   

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/1/0)
    E C A
    B
    P 2 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Lös ekvationen  $\sin3x=$sin3x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$32  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (5)

  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Lös ekvationen  $\cos\left(x-30^{\circ}\right)-\cos\left(x+30^{\circ}\right)=1$cos(x30)cos(x+30)=1 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Lös ekvationen  $\sin2x=6\cos x$sin2x=6cosx.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Lös ekvationen  $2\sin^2x=3\cos x$2sin2x=3cosx .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Lös ekvationen  $8\sin^2x\cos^2x=$8sin2xcos2x=$\frac{3}{2}$32 .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Lös ekvationen  $\frac{1}{\cos^2x}$1cos2x  $+\tan x=1$+tanx=1.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se