Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Trigonometri och trigonometriska funktioner
Trigonometriska ekvationer med formler
Många trigonometriska ekvationer innehåller uttryck som kan skrivas om, vilket gör att ekvationen blir enklare att lösa. Till detta används till exempel trigonometriska ettan, additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus samt formler för dubbla vinkeln.
$\sin^2v+\cos^2v=1$sin2v+cos2v=1 Trigonometriska ettan
Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus
$\sin\left(u+v\right)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$sin(u+v)=sinucosv+cosusinv
$\sin\left(u-v\right)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$sin(u−v)=sinucosv−cosusinv
$\cos\left(u+v\right)=\cos u\cos v-\sin u\sin v$cos(u+v)=cosucosv−sinusinv
$\cos\left(u-v\right)=\cos u\cos v+\sin u\sin v$cos(u−v)=cosucosv+sinusinv
$\sin2v=2\sin v\cos v$sin2v=2sinvcosv $\cos2v=$cos2v=$\begin{cases} \cos ^2v-\sin ^2v \\ 2\cos^2 v-1 \\1-2\sin ^2v \end{cases} $Formler för dubbla vinkeln
I Matematik 3c arbetade vi med trigonometriska ekvationer och fullständiga lösningar till dessa. Repetera gärna detta om du behöver.
Samtliga lösningar till ekvationer med sinus
Alla lösningar till $\sin v=a$sinv=a där $-1\le a\le1$−1≤a≤1 ges i grader av
$v=$v=$\begin{cases} \sin ^{-1}a+n\cdot 360^{\circ } \\ 180^{\circ } -\sin ^{-1}a+n\cdot 360^{\circ } \end{cases}$ där $n$n är ett heltal
och i radianer av
$v=$v=$\begin{cases} \sin ^{-1}a+n\cdot 2\pi \\\pi -\sin ^{-1}a+n\cdot 2\pi \end{cases}$ där $n$n är ett heltal
Samtliga lösningar till ekvationer med cosinus
Alla lösningar till $\cos v=a$cosv=a där $-1\le a\le1$−1≤a≤1 ges i grader av
$v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot360^{\circ}$v=±cos−1a+n·360∘ där $n$n är ett heltal
och i radianer av
$v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot2\pi$v=±cos−1a+n·2π där $n$n är ett heltal
Nu har vi dessutom några olika trigonometriska samband som kan användas för att skriva om de uttryck som ingår i ekvationerna.
Lös ekvationen $4\cos^2x-4\sin^2x+2=0$4cos2x−4sin2x+2=0 Vi förenklar och skriver om med hjälp av formel för dubbla vinkeln. Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbladet.Exempel 1
Lösning
$4\cos^2x-4\sin^2x+2=0$4cos2x−4sin2x+2=0
$2\cos^2x-2\sin^2x+1=0$2cos2x−2sin2x+1=0
$2\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=-1$2(cos2x−sin2x)=−1
$2\cos2x=-1$2cos2x=−1
$\cos2x=$cos2x= $-\frac{1}{2}$−12
$2x=\pm120^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$2x=±120∘+n·360∘
$x=\pm60^{\circ}+n\cdot180^{\circ}$x=±60∘+n·180∘
Lös ekvationen $2\sin3x\cos2x+2\cos3x\sin2x=\sqrt{3}$2sin3xcos2x+2cos3xsin2x=√3 Vi skriver om med hjälp av additionsformeln för sinus. Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbladet, och får två olika alternativ. $5x_1=60^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$5x1=60∘+n·360∘ eller $5x_2=180^{\circ}-60^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$5x2=180∘−60∘+n·360∘ $\begin{cases} x_1=12^{\circ }+n\cdot 72^\circ \\ x_2=24^{\circ }+n\cdot 72^\circ \end{cases} $Exempel 2
Lösning
$2\sin\left(3x+2x\right)=\sqrt{3}$2sin(3x+2x)=√3
$\sin5x=$sin5x= $\frac{\sqrt{3}}{2}$√32
$x_1=$x1= $\frac{60^{\circ}}{5}+n\cdot\frac{360^{\circ}}{5}$60∘5 +n·360∘5
$x_2=$x2= $\frac{120^{\circ}}{5}+n\cdot\frac{360^{\circ}}{5}$120∘5 +n·360∘5
Lös ekvationen $2\sin^2x-\cos x=1$2sin2x−cosx=1 Vi skriver om $\sin^2x$sin2x med hjälp av trigonometriska ettan, och förenklar. Vi sätter $\cos x=t$cosx=t och löser med pq-formeln. $\begin{cases} t_1=\frac{1}{2} \\ t_2=-1 \end{cases} $ Detta innebär att $\cos x=$cosx= $\frac{1}{2}$12 eller $\cos x=-1$cosx=−1. Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbladet.Exempel 3
Lösning
$2\left(1-\cos^2x\right)-\cos x=1$2(1−cos2x)−cosx=1
$2-2\cos^2x-\cos x=1$2−2cos2x−cosx=1
$-2\cos^2x-\cos x+1=0$−2cos2x−cosx+1=0
$\cos^2x+\frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{2}=0$cos2x+12 cosx−12 =0
$t^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}=0$t2+12 t−12 =0
$t=$t= $-\frac{1}{4}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{2}}$−14 ±√(14 )2+12
$t=$t= $-\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{8}{16}}$−14 ±√116 +816
$t=$t= $-\frac{1}{4}\pm\frac{3}{4}$−14 ±34
$x_1=\pm60^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x1=±60∘+n·360∘
$x_2=180^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x2=180∘+n·360∘
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
Lös ekvationen $\sin^2x-\cos^2x=1$sin2x−cos2x=1.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Lös ekvationen $\sin^2x-\sin x=0$sin2x−sinx=0.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Lös ekvationen $4\sin x\cos x=\sqrt{3}$4sinxcosx=√3.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Lös ekvationen $\sin4x=$sin4x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$√32
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Lös ekvationen $\sin3x=$sin3x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$√32
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: trigonometri trigonometriska ekvationerRättar...c-uppgifter (5)
-
6. Premium
Lös ekvationen $\cos\left(x-30^{\circ}\right)-\cos\left(x+30^{\circ}\right)=1$cos(x−30∘)−cos(x+30∘)=1
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Lös ekvationen $\sin2x=6\cos x$sin2x=6cosx.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
Lös ekvationen $2\sin^2x=3\cos x$2sin2x=3cosx .
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...9. Premium
Lös ekvationen $8\sin^2x\cos^2x=$8sin2xcos2x=$\frac{3}{2}$32 .
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...10. Premium
Lös ekvationen $\frac{1}{\cos^2x}$1cos2x $+\tan x=1$+tanx=1.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (1)
-
11. Premium
Vilket är det största värdet som $3-4\sin x\cos x$3−4sinxcosx kan anta?
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Kapiteltest - Trigonometri och Trigonometriska funktionerRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Redigera uppgift Stäng Kopiera abc-fråga Flytta abc-fråga Länka abc-fråga Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
Lucas Gustafsson
fråga 9 där 4x = cos 120 borde väl ha 2 svar? ett där 4x = 240 också? vilket get x1 = 30+n*90 och x2=60+n*90
Leo Fridh
på uppgift 4 och 5 fattar jag inte riktigt varför den ena kräver lösning i radianer för C-poängen medans den andra inte gör det. De är till synes samma uppgift med enda skillnaden 4x istället för 3x. Känns konstigt då båda är NP uppgifter med samma antal poäng men att de kräver olika svar
Eddler
Hej!
I den här uppgiften krävs inget specifikt format, grader och radianer ger båda C-poäng. Svaret $x=15^\circ+n\cdot90^\circ$ och $x=30^\circ+n\cdot90^\circ$ är lika korrekt som $x=\frac{\pi}{12}+n\cdot\frac{\pi}{2}$ och $x=\frac{\pi}{6}+n\cdot\frac{\pi}{2}$.
Kan du beskriva mer exakt vad som hände när du svarade, så kan vi titta vidare!
Linnéa Lundgren
Uppgift nummer 2:
Hur kommer det sig att x1 har perioden +n*180, istället för +n*360 som x2?
Eddler
Hej Linnéa!
Det beror på vilken trigonometrisk funktion som löser de två delekvationerna. $\tan x = a$ har perioden $180^\circ$, alltså upprepar sig lösningarna var $180^\circ$. $\sin x = a$ och $\cos x = a$ har perioden $360^\circ$. Om $x_1$ löses via en tangentekvation och $x_2$ via en sinus- eller cosinusekvation får de därför olika period.
Endast Premium-användare kan kommentera.