Komplexa tal och imaginära enheten i

Komplexa tal är en utvidgning av de reella talen, alltså en ny typ av tal, som du förmodligen inte stött på i de tidigare mattekurserna. Med hjälp av de komplexa talen kan vi t ex beräkna roten ur negativa tal och då lösa ekvationer som  $x^2=-9$x²=−9. Komplexa tal är också viktiga inom olika fysikaliska områden, som t ex växelström, elektromagnetism och kvantfysik.

Imaginära tal

På den reella tallinjen motsvarar varje punkt ett specifikt reellt tal. Mängden av alla reella tal ”fyller” hela tallinjen, utan undantag. Men trots detta finns det ekvationer som saknar lösningar om vi endast söker dem på den reella tallinjen. Ett exempel på en sådan ekvation är  $x^2=-1$x²=−1 .Vi kan inte hitta ett reellt tal vars kvadrat är negativ, och ekvationen saknar därför reella rötter. För att lösa denna typ av ekvationer behöver vi införa en ny sorts av tal. Dessa kallas imaginära tal och utgår från den imaginära enheten  $i$i.

Med hjälp av det nydefinierade talet $i$i  kan vi nu lösa ekvationer på formen $x^2 = a$ där $a<0$a<0.

Genom att utgå från talet $i$i kan vi se att det finns oändligt många imaginära tal:  $2i$2i,  $-3i$−3i,  $\frac{1}{7}i$17 i,  $\pi i$πi  osv.
Begreppet imaginära tal började användas av matematiker på 1600-talet, och syftade då på att talen inte existerade ”på riktigt”. De menade att talen var inbillade, imaginära, till skillnad från de verkliga talen, de så kallade reella. Även om man nu sedan länge accepterat att de imaginära talen är precis lika verkliga som de reella, lever dess namn kvar.

Genom att sätta samman reella och imaginära tal får vi de komplexa talen. Namnet härstammar från latinets complexus, som betyder sammansatt.  

När ett komplext tal skrivs som  $a+bi$a+bi  kallas det rektangulär form. I senare lektioner kommer vi att se att komplexa tal även kan anges på andra sätt, t ex på polär form.

Observera att talet $i$i inte ingår i imaginärdelen, utan bara koefficienten framför.

Ett komplext talplan är ett bra sätt att visualisera de komplexa talen. Den horisontella axeln är vår ”vanliga” tallinje, som representerar realdelen av ett komplext tal. Den lodräta axeln är en tallinje som representerar imaginärdelen. Det komplexa talet  $z=3+2i$z=3+2i  kan då representeras genom att punkten med koordinaterna  $(3,2)$(3,2)  markeras i det komplexa talplanet.

Det komplexa talet  $z=-2i$z=−2i  har realdelen  $0$0, och kan därför benämnas som ett imaginärt tal, eller ett rent imaginära tal. På ett liknande sätt kan alla reella tal kan skrivas på formen  $a+bi$a+bi  genom att sätta imaginärdelen  $b=0$b=0. Både de reella och de imaginära talen utgör en delmängd av de komplexa talen. 

Som vi nämnde i lektionen Tal och Talsystem har matematiken utvecklas genom historien. Nya upptäckter har ibland medfört behov av nya typer av tal. Talen kan delas in i olika mängder och delmängder på följande sätt:

• Lösning av ekvationen $ x^2 = -1 $.
• Markering av $ z = 2+3i $ och $z = -2-i$ i det komplexa talplanet.
• Markera z = 2 – 3i i det komplexa talplanet.
• Ange Re z och Im z då z = -4 – 9i.
• Lös ekvationen x² + 4 = 0