KURSER /
Matematik 2
A/ Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner
Andragradsekvationer med komplexa rötter
Författare:Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
I den här lektionen lär du dig hur man löser andragradsekvationer med komplexa rötter. Vi tittar på innebörden av imaginära tal och komplexa tal och tar ett antal exempel på ekvationer med komplexa rötter.
Imaginära tal och komplexa tal
För att förstå behovet av imaginära tal eller kombinationen av reella och imaginära tal som kallas för komplexa tal kan man utgå ifrån ekvationen x2=−1. Tidigare har vi lärt oss att denna ekvation saknar reella rötter, eftersom att man inte kan dra roten ur ett negativt tal. Detta beror på att det inte finns några tal på den reella talaxeln, som gånger sig själva blir ett negativt tal.
För att lösa detta inför vi en ny typ av tal, de imaginära talen. Deras särskilda egenskap är att de gånger sig själva blir ett negativt tal. Med hjälp av dessa tal kan vi nu lösa ekvationer som landar i en lösning med roten ur ett negativt tal.
Vi inför ett nytt, nämligen de tal som skrivs på formen bibi, där talet bb är ett reellt tal som kallas för imaginär del och ii den imaginära enheten.
Den imaginära enheten ii definieras som ett tal med egenskapen i2=−1i2=−1.
Ett imaginärt tal är alltså ett tal som gånger sig självt blir negativt.
Exempelvis gäller att i2=i⋅i=−1 e och 2i⋅2i=4i2=4⋅(−1)=−4.
Med hjälp av detta nya tal kan vi härmed även lösa ekvationer på formen x2=a där a<0a<0.
Komplexa tal
Genom att kombinera reella tal och imaginära tal kan vi skapa så kallade komplexa tal. Dessa tal skrivs på formen z=a+bi.
Komplext tal
Tal på formen z=a+bi motsvarar ett komplext tal
där a är realdelen, b imaginärdelen och i=−1i=√−1.
C= {z = a + bi, där a och b är reella tal och i den imaginära enheten}
Exempelvis är talet 6+3i6+3i ett komplexa tal en kombination av det reella talet 66 och det imaginära talet 3i3i där talet 33 är imaginärdelen och ii den imaginära enheten.
Observera att talet ii inte ingår i imaginärdelen. Utan bara talen framför.
Exempel på andragradsekvationer med komplexa rötter
Vi kan med denna kännedom om imaginära tal lösa fler andragradsekvationer än de som endast har reella rötter.
Exempel 1
Lös ekvationen 3x2=−27
Lösning
3x2=−27 dividera båda leden med 33
x2=−9 dra roten ur båda leden
x=±3i
Exempel 2
Lös ekvationen x2+8x+32=0x2+8x+32=0
Lösning
Vi använder PQ-formeln
x2+8x+32=0x2+8x+32=0
x=−4±16−32x=−4±√16−32
x=−4±−16x=−4±√−16
x=−4±4ix=−4±4i
som vi kan skriva som två lösningar
x1=−4+4ix1=−4+4i
x2=−4−4ix2=−4−4i
Exempel i videon
- Förstå innebörden av i2=−1
- Förstå de komplexa talen z=2+3i och z=−2−i i det komplexa talplanet.
- Lös ekvationen 2x2=−18
- Lös ekvationen x2+4=0
- Lös ekvationen x2–2x+10=0
- Lös ekvationen 4x2+24x=−232
Kommentarer
c-uppgifter (8)
1.
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen 14x2=−5614x2=−56
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(0/1/0)E C A B 1 P PL M R K Ange den reella delen till det komplexa talet 0,5i−50,5i−5
Svar:Ditt svar:Rätt svar: −5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen x2+6x+18=0x2+6x+18=0
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen 16x2+512=−128x16x2+512=−128x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(0/1/0)E C A B 1 P PL M R K Ange den imaginära delen av uttrycket 21−i12 −i
Svar:Ditt svar:Rätt svar: −1(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K En rot (lösning) till ekvationen x2−4x+5=0x2−4x+5=0 är 2+i2+i .
Vilken är den andra roten?Svar:Ditt svar:Rätt svar: 2−i(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen 2x2+18=8x2x2+18=8x.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(0/1/0)E C A B P PL M R 1 K Vad ska aa ha för värde för att ekvationen x2+2x+a=0x2+2x+a=0 ska ha komplexa rötter?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
a-uppgifter (1)
9. Premium
(0/0/1)E C A B P 1 PL M R K Förenkla uttrycket genom att förlänga med nämnarens konjugat.
(3+i)10i10i(3+i)
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 3i+1(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Marcus
Kanske missuppfattar det hela, men hur är exempel 1 rätt?
Borde det inte vara 3x^2?
jufaani1@hotmail.com
Hej.
tack för fint arbete. ville bara påpeka att du på uppgift 6 har dragit roten ur 1 istället för -1, du borde kika på det….
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för att du sade till om detta, det är korrigerat!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det blir förstås svårt att kolla samtliga fall (det finns oändligt många) men visst kan du sätta in a=10 och se att du får komplexa rötter. Önskvärt är förstås att du löser det algebraiskt.
Jakub Medynski
Okej. I så fall skulle du kunna förklara då, hur uträkningen ska se ut?
Simon Rybrand (Moderator)
$\displaystyle{\begin{alignat}{0}\text{Ekvation: } x^2+2x+10 = 0 \\ \underline{ \text{Lösning} }: \\ \\ x^2+2x+10 = 0 \Leftrightarrow \text{(pq-formel)} \\ x = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{ ( \frac{2}{2})^2 -10 } \\ x = -1 \pm \sqrt{ ( 1)^2 -10 } \\ x = -1 \pm \sqrt{ 1 -10 } \\ x = -1 \pm \sqrt{ -9 } \\ x = -1 \pm 3i \\ \end{alignat}}$
Om du vill testa fler exempel så kan du kika på vår pq-formel kalkylator.
Där kan du se hela lösningen på alla andragradsekvationer
Hamed Kashefi
Hej
Tack för ett sådant grymt hemsida med så mycket godis.
Jag förstår inte logiken i att i upphöjt i 2=-1
om jag lägger (i upphöjt 2 gånger 4 ) under roten så blir svaret -4
då i upphöjt i 2 = -1
detta är enligit plus minus regeln -1×4 = är -4 ellerhur?
dessutom vet vi att en jämn potens ger alltid ett positiv tal hur kan då i upphöjt 2= bli -1
Jag har väldigit svårt att fatta logiken i det hela.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
För att förstå idén att i2=(−1) så måste man först acceptera att man från början har definierat att imaginära tal skall fungera så att i2=(−1). Dvs det finns ingen härledning bakom idén att det är så utan det har man bestämt för att kunna lösa ekvationer där man skall ta roten ur ett negativt tal. Imaginära tal är helt enkelt ett helt annat typ av tal än reella tal!
Sofia Näsström
hej jag undrar vart man hittar grafer och koordinatsystem kan inte finna det någonstans?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Kolla på den här videon om Koordinataxlar och punkter
Kalle Petersson
Hejsan, jag fattar inte riktigt att 2i×2i=4i=4×(-1), borde inte då 2(-1)×2(-1)=(-2)×(-2)=4?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Enligt definition gäller att i2=−1 så därför blir
2i⋅2i=4i2=4⋅(−1)=−4
yunr56bue5
Hej!
Jag kanske är helt ute och cyklar nu, men i texten under ”Imaginära tal och komplexa tal” står det:
”Därför gäller att i2=i⋅i=−1 eller att 2i⋅2i=2i2=4⋅(−1)=−4.”
Ska inte 2i⋅2i bli 4i2 (4 i upphöjt i 2)?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, tack för att du uppmärksammade felet i texten, det är åtgärdat
nti_ma2
På ”testa dig själv” fråga nr 4.
16×2+512=−128x
16×2+512=−8x⇔ Hur får vi -8x här??
16×2+128x+512=0⇔ Dividera med 16
x2+8x+32=0⇔ pq-formeln
x=−4±16−32‾‾‾‾‾‾‾√⇔
x=−4±−16‾‾‾‾√⇔
x=−4±4i
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det är felskrivet på den raden, det skall förstås vara -128x och inte -8x. Det är korrigerat i uppgiften.
abfvuxgot
Jag försöker lösa uppgiften:
Vilket tal ska vara A för att x^2+1=A ska sakna lösning?
Hur gör man?
Simon Rybrand (Moderator)
Här gäller att om A < 1 så kommer ekvationen inte ha någon lösning. Testa exempelvis med att rita ut y=x2+1 så ser du att y inte antar några värden mindre än 1.
Ida
Vad händet om q är ett komplext tal i en andragradsekvation? Tex z^2+4z-8i
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det går att lösa även denna med t.ex. pq formeln:
z2+4z−8i=0
z=−2±4+8i
Är det något annat du funderar kring just denna eller förstår jag din fråga rätt?
Mia_A
har fått hjärnsläpp !! =(
z upphöjt till 2-2z+2=0
Simon Rybrand (Moderator)
z2–2z+2=0 (pq formeln)
z=1±1–2
z=1±−1
z=1±i
Endast Premium-användare kan kommentera.