00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2
A
/  Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Andragradsekvationer med komplexa rötter

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

I den här lektionen lär du dig hur man löser andragradsekvationer med komplexa rötter. Vi tittar på innebörden av imaginära tal och komplexa tal och tar ett antal exempel på ekvationer med komplexa rötter.

Komplexa tal

Imaginära tal och komplexa tal

För att förstå behovet av imaginära tal eller kombinationen av reella och imaginära tal som kallas för komplexa tal kan man utgå ifrån ekvationen x2=1 x^2 = -1 . Tidigare har vi lärt oss att denna ekvation saknar reella rötter, eftersom att man inte kan dra roten ur ett negativt tal. Detta beror på att det inte finns några tal på den reella talaxeln, som gånger sig själva blir ett negativt tal.

För att lösa detta inför vi en ny typ av tal, de imaginära talen. Deras särskilda egenskap är att de gånger sig själva blir ett negativt tal. Med hjälp av dessa tal kan vi nu lösa ekvationer som landar i en lösning med roten ur ett negativt tal. 

Vi inför ett nytt, nämligen de tal som skrivs på formen bibibi, där talet bbb är ett reellt tal som kallas för imaginär del och iii den imaginära enheten.    

Den imaginära enheten iii definieras som ett tal med egenskapen  i2=1i^2=-1i2=1.

Ett imaginärt tal är alltså ett tal som gånger sig självt blir negativt.

Exempelvis gäller att i2=ii=1 i^2 = i \cdot i = -1 e och 2i2i=4i2=4(1)=4 2i \cdot 2i = 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4 .

Med hjälp av detta nya tal kan vi härmed även lösa ekvationer på formen x2=ax^2 = a där a<0a<0a<0.

Komplexa tal

Genom att kombinera reella tal och imaginära tal kan vi skapa så kallade komplexa tal. Dessa tal skrivs på formen z=a+bi z = a + bi .

Komplext tal

Tal på formen z=a+bi z = a + bi  motsvarar ett komplext tal

där aa är realdelen, bb imaginärdelen och i=1i=\sqrt{-1}i=1.

 C= \mathbf{C}= {z = a + bi, där aa och bb är reella tal och ii den imaginära enheten}

Exempelvis är talet 6+3i6+3i6+3i  ett komplexa tal en kombination av det reella talet 666 och det imaginära talet 3i3i3i  där talet 333 är imaginärdelen och  iii den imaginära enheten.

Observera att talet iii inte ingår i imaginärdelen. Utan bara talen framför.

Exempel på andragradsekvationer med komplexa rötter

Vi kan med denna kännedom om imaginära tal lösa fler andragradsekvationer än de som endast har reella rötter.

Exempel 1

Lös ekvationen  3x2=27 3x^2 = -27

Lösning

3x2=27 3x^2 = -27       dividera båda leden med  333 

x2=9 x^2 = -9            dra roten ur båda leden

x=±3i x = ±3i

Exempel 2

Lös ekvationen  x2+8x+32=0x^2+8x+32=0x2+8x+32=0 

Lösning

Vi använder PQ-formeln

 x2+8x+32=0x^2+8x+32=0x2+8x+32=0 

 x=4±1632x=-4\pm\sqrt{16-32}x=4±1632 

 x=4±16x=-4\pm\sqrt{-16}x=4±16 

 x=4±4ix=-4\pm4ix=4±4i 

som vi kan skriva som två lösningar

 x1=4+4ix_1=-4+4ix1=4+4i 
 x2=44ix_2=-4-4ix2=44i 

Exempel i videon

  • Förstå innebörden av i2=1 i^2 = -1
  • Förstå de komplexa talen z=2+3i z=2 + 3i och z=2iz= -2-i i det komplexa talplanet.
  • Lös ekvationen 2x2=18 2x^2 = -18
  • Lös ekvationen x2+4=0 x^2 + 4 = 0
  • Lös ekvationen x22x+10=0 x^2 – 2x + 10 = 0
  • Lös ekvationen 4x2+24x=232 4x^2 + 24x = -232