...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 4
 /   Komplexa tal och Polynom

Eulers formel

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Eulers formel är ett kompakt sätt att skriva komplexa tal. För att använda Eulers formel så behöver talet först vara skrivet på  polär form.

Eulers formel

 $z=cos(v)+isin(v)=e^{iv}$z=cos(v)+isin(v)=eiv 

Metod för att skriva om med Eulers formel

För att skriva om ett tal  $z=a+bi$z=a+bi med hjälp av formeln så gör vi på följande vis:

  1. Bestäm först absolutbeloppet $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$|z|=a2+b2 
  2. Bestäm argumentet $arg\left(z\right)=arctan\left(\frac{b}{a}\right)$arg(z)=arctan(ba ), skriv argumentet med vinkelmåttet radianer.
  3. Gå över till polär form.
  4. Använd formeln för att skriva det på formen $e^{iv}$eiv. Om absolutbeloppet inte är lika med $1$1 så skrivs det enligt $\left|z\right|\cdot e^{iv}$|z|·eiv.

Ofta kan det vara användbart att använda sig av exakta trigonometriska värden för att skriva om komplexa tal med hjälp av formeln.

Exempel

Exempel 1

Skriv om talet  $z=3+4i$z=3+4i med hjälp av Eulers formel.

Lösning

I lösningen följer vi metoden som beskrivs ovan.

 $\left|z\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$|z|=32+42=25=5 

 $arg\left(z\right)=arctan\left(\frac{4}{3}\right)\approx0,93\text{ }rad$arg(z)=arctan(43 )0,93 rad

Vi skriver talet på polär form

 $z=5\left(cos\left(0,93\right)+isin\left(0,93\right)\right)$z=5(cos(0,93)+isin(0,93)) 

Nu skriver vi talet med hjälp av Eulers formel

 $z=5e^{i\cdot0,93}$z=5ei·0,93  

Exempel i videon

  • Skriv om $ z=\sqrt{3}+i $ med Eulers formel.
  • Skriv om $z=e^{i\pi}$ på formen $z=a+bi$.
  • Skriv om talet markerat i talplanet (se bild i video) med hjälp av Eulers formel.

Kommentarer

BotenAnnie

hur vet man att arctan för pi/6 är just 1/roten ur 3 ? 60 grader i spec triangeln om man tar motstående / närstående för tan blir det roten ur 3 / 1 – är det inte den jag ska titta efter ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Liknande värden som $arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})$ är svåra att bara att komma på (det går förstås att härleda dem) utan det vanligaste är att ett formelblad används. Där hittar man exakta trigonometriska värden.

Jafar Fathullah

Jag undrar var för går ni inte genom beviset på Eulers formel. Jag vill jättegärna förstår den.


Endast Premium-användare kan kommentera.

Visa medaljer Visa timer Starta timer automatiskt Lämna in vid tidsslut Rätta en uppgift i taget Redigera övning
Tid kvar
00:00
  • E
    0/0
  • C
    0/0
  • A
    0/0
Totalpoäng
0/0

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (3)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Skriv om talet $z=4(\cos(\pi)+i\sin(\pi))$z=4(cos(π)+isin(π)) med hjälp av Eulers formel.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Skriv om talet $z=1+i$z=1+i med Eulers formel.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Skriv $z=2e^{i\frac{\pi}{2}}$z=2eiπ2  på formen $a+bi$a+bi .

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Visa medaljer Visa timer Starta timer automatiskt Lämna in vid tidsslut Rätta en uppgift i taget Visa detaljerad matris Redigera övning
Tid kvar
00:00
Totalpoäng
0/0
  • E
    0/0
  • C
    0/0
  • A
    0/0
E C A
Totalt
Dina svar lämnas in automatiskt.