Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Eulers formel
Eulers formel är ett kompakt sätt att skriva komplexa tal. För att använda Eulers formel så behöver talet först vara skrivet på polär form.
Eulers formel
$z=cos(v)+isin(v)=e^{iv}$z=cos(v)+isin(v)=eiv
Metod för att skriva om med Eulers formel
För att skriva om ett tal $z=a+bi$z=a+bi med hjälp av formeln så gör vi på följande vis:
- Bestäm först absolutbeloppet $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$|z|=√a2+b2
- Bestäm argumentet $arg\left(z\right)=arctan\left(\frac{b}{a}\right)$arg(z)=arctan(ba ), skriv argumentet med vinkelmåttet radianer.
- Gå över till polär form.
- Använd formeln för att skriva det på formen $e^{iv}$eiv. Om absolutbeloppet inte är lika med $1$1 så skrivs det enligt $\left|z\right|\cdot e^{iv}$|z|·eiv.
Ofta kan det vara användbart att använda sig av exakta trigonometriska värden för att skriva om komplexa tal med hjälp av formeln.
Exempel
Exempel 1
Skriv om talet $z=3+4i$z=3+4i med hjälp av Eulers formel.
Lösning
I lösningen följer vi metoden som beskrivs ovan.
$\left|z\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$|z|=√32+42=√25=5
$arg\left(z\right)=arctan\left(\frac{4}{3}\right)\approx0,93\text{ }rad$arg(z)=arctan(43 )≈0,93 rad
Vi skriver talet på polär form
$z=5\left(cos\left(0,93\right)+isin\left(0,93\right)\right)$z=5(cos(0,93)+isin(0,93))
Nu skriver vi talet med hjälp av Eulers formel
$z=5e^{i\cdot0,93}$z=5ei·0,93
Exempel i videon
- Skriv om $ z=\sqrt{3}+i $ med Eulers formel.
- Skriv om $z=e^{i\pi}$ på formen $z=a+bi$.
- Skriv om talet markerat i talplanet (se bild i video) med hjälp av Eulers formel.
Kommentarer
e-uppgifter (3)
1. Premium
Rapportera fel Skriv om talet $z=4(cos(\pi)+isin(\pi))$ med Eulers formel.
Rättar...2. Premium
Rapportera fel Skriv om talet $z=1+i$ med Eulers formel.
Rättar...3. Premium
Rapportera fel Skriv $z=2e^{i\frac{\pi}{2}}$ på formen $a+bi$.
Rättar...
BotenAnnie
hur vet man att arctan för pi/6 är just 1/roten ur 3 ? 60 grader i spec triangeln om man tar motstående / närstående för tan blir det roten ur 3 / 1 – är det inte den jag ska titta efter ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Liknande värden som $arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})$ är svåra att bara att komma på (det går förstås att härleda dem) utan det vanligaste är att ett formelblad används. Där hittar man exakta trigonometriska värden.
Jafar Fathullah
Jag undrar var för går ni inte genom beviset på Eulers formel. Jag vill jättegärna förstår den.
Endast Premium-användare kan kommentera.