Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
De Moivres formel och Potenser av komplexa tal
Innehåll
De Moivres formel används för att relativt enkelt kunna beräkna potenser av komplexa tal. Det är en utbyggnad av den regel för multiplikation av komplexa tal på polär form, som vi sett i en tidigare lektion.
De Moivres formel
$z^n=\left(r(\cos v+i\sin v)\right)^n=r^n((\cos(n\cdot v)+i\sin(n\cdot v))$zn=(r(cosv+isinv))n=rn((cos(n·v)+isin(n·v))
De Moivres formel används inte bara för att beräkna potenser, utan är också en förutsättning för att kunna lösa ekvationer på formen $z^n=w$zn=w, där $n$n är ett heltal, även större än $2$2, och $z$z och $w$w är komplexa tal. Detta kommer vi titta närmare på i lektionen som handlar om ekvationer med komplexa rötter.
Exempel 1
Utveckla $z^4$z4 då $z=2(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})$z=2(cosπ6 +isinπ6 ) .
Lösning
Vi använder De Moivres formel.
$z^4=$z4= $2^4(\cos(4\cdot\frac{\pi}{6})+i\sin(4\cdot\frac{\pi}{6}))=$24(cos(4·π6 )+isin(4·π6 ))= $16(\cos\frac{4\pi}{6}+i\sin\frac{4\pi}{6})=$16(cos4π6 +isin4π6 )= $16(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})$16(cos2π3 +isin2π3 )
Exempel i videon
- Bestäm $z^2$z2, $z^3$z3 och $z^n$zn då $z=2(\cos40°+i\sin40°)$z=2(cos40°+isin40°).
- Bestäm $z^6$z6 och svara på formen $a+bi$a+bi om $z=1+3i$z=1+3i.
- Rita ut $z$z, $z^2$z2, $z^3$z3 och $z^4$z4 i ett komplext talplan då $z=\sqrt{0,5}+\sqrt{0,5}i$z=√0,5+√0,5i.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Låt $z=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{4}\right)$z=2(cosπ4 +i sinπ4 ) . Beräkna $z^3$z3.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
Bestäm ett tal $z$z så att $z^4=81\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{2}\right)$z4=81(cosπ2 +i sinπ2 ) .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Låt $z=5+5i$z=5+5i .
Bestäm $|q|$|q| då $q=z^2$q=z2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Låt $z=5+5i$z=5+5i .
Bestäm $\text{arg}q$argq då $q=z^2$q=z2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (4)
-
5. Premium
Låt $z=1+2i$z=1+2i . Beräkna $z^6$z6.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
6. Premium
Skriv $(1+i)^5$(1+i)5 på formen $a+bi$a+bi .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Vilken av vektorerna beskriver $(3+3i)^4$(3+3i)4 ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
José menar menar att $(-1-2i)^4=25\left(\text{ }\cos974°+i\text{ }\sin974°\right)$(−1−2i)4=25( cos974°+i sin974°).
Felicia menar att $(-1-2i)^4=25\left(\text{ }\cos254°+i\text{ }\sin254°\right)$(−1−2i)4=25( cos254°+i sin254°).Vem har rätt? Har de båda rätt eller har ingen rätt?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (2)
-
9. Premium
Vilket $z$z är sådant att $z^4$z4 är ett reellt tal?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
10. Premium
Vilka värden på $a>0$a>0 gör att $z^a$za alltid får en realdel som är $0$0 då $z=\cos\pi+i\text{ }\sin\pi$z=cosπ+i sinπ ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Elliot Myrsten
Skrev ”z=-4-4i” på fråga 4, fick fel svar 🙁
Sara Petrén Olauson
I uppgiften står inget om att talet betecknas $z$, det blir därför fel om det läggs till i svaret. Det korrekta svaret är alltså $-4-4i$.
Anders Johansson
Exemplet i videon: rätt svar är (1+3i)^6 = 352 + 936i
inte 349 + 937i som i videon, avrundningsfel i den polära formen, 71,6 grader. Om vi behåller decimalerna i räknaren så blir det rätt. Kanske bättre att skriva 71,565… i genomgången.
bigr
Hej! Jättebra sida.
Om fråga 4: Jag förstår inte varför √2^5 blir 4√2? Jag förstår heller inte varför argumentet omvandlas till radianer. Man gör ju inte det i de andra fallen, hur ska man veta att man ska göra det här? I uppgift 5 ger exempelvis argumentet av z också 1, men här omvandlar man det inte till radianer.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, Vi kan skriva det som
$\sqrt{2}^5=\sqrt{2}^4⋅\sqrt{2}^1=4⋅\sqrt{2}$
Blir det tydligare då?
Vi skall göra så att vi lägger till en förklaring med grader också, det går lika bra och det spelar egentligen ingen roll vilket vinkelmått som används där. Men då de andra uppgifterna använder grader så förstår jag att det kan vara lite förvirrande.
BotenAnnie
men om du har en formel där det står (roten ur 3 + i) ^9 och du ska svara på formen a+ bi? hur gör jag då?
Simon Rybrand (Moderator)
Då behöver du först skriva om på polär form och när detta är klart och du har använt de Moivres kan du gå tillbaka igen till formen a + bi genom att beräkna cosv och sinv.
HenrikOlsmar
Hej! I fråga ett beräknar vi sin + isin vilket inte överensstämmer med de fyra svaren där vi har beräknat cos + isin.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Uppgiftsbeskrivningen i den uppgiften är felaktig, tack för att du uppmärksammade oss på detta.
Det är korrigerat.
Endast Premium-användare kan kommentera.