Nationellt prov Matematik 4 vt 2016 del D

Bestäm den största roten till ekvationen  $\sin x+\cos\left(3,6x\right)=0$sinx+cos(3,6x)=0  i intervallet  $0^{\circ}<x<180^{\circ}$0^∘<x<180^∘. Ange svaret med minst tre värdesiffror.

Rasmus studerar graferna till  $y=3\sin x$y=3sinx  och  $y=2\cos x$y=2cosx. Han ser att största värdet är $3$3 respektive $2$2. Han tänker då att största värdet av  $y=3\sin x+2\cos x$y=3sinx+2cosx  måste vara  $3+2=5$3+2=5.

Rasmus kontrollerar detta genom att rita grafen till  $y=3\sin x+2\cos x$y=3sinx+2cosx  på räknaren och upptäcker då att största värdet är mindre än $5$5.

Förklara med hjälp av graferna till  $y=3\sin x$y=3sinx  och  $y=2\cos x$y=2cosx   varför det största värdet av  $y=3\sin x+2\cos x$y=3sinx+2cosx  inte är  $5$5.

I Torup finns en av SMHI:s väderstationer som mäter temperaturen en gång i timmen.

Om dygnsmedeltemperaturen överstiger  $10\text{ }^{\circ}$10 ^∘C fem dygn i rad anses sommaren ha börjat.

Under de fyra dygnen 20–23 april 2014 översteg dygnsmedeltemperaturen  $10\text{ }^{\circ}$10 ^∘C i Torup. Diagrammet visar temperaturerna som mättes den 24 april.

Enligt en förenklad modell kan temperaturen under detta dygn beskrivas med funktionen
 $f\left(x\right)=-0,0079x^3+0,238x^2-1,43x+8,2$ƒ (x)=−0,0079x³+0,238x²−1,43x+8,2     $0\le x\le24$0≤x≤24 
där  $f\left(x\right)$ƒ (x)  är temperaturen i  $^{\circ}$^∘C och  $x$x  är tiden i timmar efter klockan 0:00.

Avgör om sommaren hade börjat i Torup genom att bestämma dygnsmedeltemperaturen den 24 april med hjälp av funktionen.

I figuren visas ett koordinatsystem med kurvorna  $y=\cos3x$y=cos3x  och  $y=\sin2x$y=sin2x  ritade i intervallet  $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$−π2 ≤x≤π2 .

Beräkna arean av det skuggade området. Svara med minst två värdesiffror.

Ett företag ska bygga en stuga i en backe i Alperna och vill veta backens lutning. Enligt en förenklad modell kan backens form beskrivas med sambandet  $h\left(x\right)=4,1-\frac{5+3e^x}{6+e^x}$h(x)=4,1−5+3e^x6+e^x   där  $h\left(x\right)$h(x)  är höjden i km över havet och  $x$x  är sträckan i km i horisontell riktning.

Företaget ska bygga stugan på den del av backen som ligger på höjden  $1,4$1,4  km över havet. Bestäm vilken lutning backen har där stugan ska byggas. Svara med minst två värdesiffror.

Bestäm sannolikheten att en slumpvis vald lampa går sönder under de $3$3 första månaderna som den används.

Anta att man slumpvis väljer ut tre lampor. Bestäm sannolikheten för att alla tre lamporna är hela efter  $6$6  månaders användning.

Undersök om polynomet  $p\left(x\right)=x^5+a^4x^4-x^3+a^2x^2+x+1$p(x)=x⁵+a⁴x⁴−x³+a²x²+x+1  är delbart med  $x-1$x−1  för något reellt värde på konstanten  $a$a.

Bestäm värdet på konstanten $k$k.

Bestäm värdet på konstanterna $A$A och $d$d.