Nationellt prov Matematik 4 vt 2016 del D

Bestäm den största roten till ekvationen  $\sin x+\cos\left(3,6x\right)=0$sinx+cos(3,6x)=0  i intervallet  $0^{\circ}<$0^∘< $x<180^{\circ}$x<180^∘. Ange svaret med minst tre värdesiffror.

Rasmus studerar graferna till  $y=3\sin x$y=3sinx  och  $y=2\cos x$y=2cosx. Han ser att största värdet är $3$3 respektive $2$2. Han tänker då att största värdet av  $y=3\sin x+2\cos x$y=3sinx+2cosx  måste vara  $3+2=5$3+2=5.

Rasmus kontrollerar detta genom att rita grafen till  $y=3\sin x+2\cos x$y=3sinx+2cosx  på räknaren och upptäcker då att största värdet är mindre än $5$5.

Förklara med hjälp av graferna till  $y=3\sin x$y=3sinx  och  $y=2\cos x$y=2cosx   varför det största värdet av  $y=3\sin x+2\cos x$y=3sinx+2cosx  inte är  $5$5.

I Torup finns en av SMHI:s väderstationer som mäter temperaturen en gång i timmen.

Om dygnsmedeltemperaturen överstiger  $10\text{ }^{\circ}$10 ^∘C fem dygn i rad anses sommaren ha börjat.

Under de fyra dygnen 20–23 april 2014 översteg dygnsmedeltemperaturen  $10\text{ }^{\circ}$10 ^∘C i Torup. Diagrammet visar temperaturerna som mättes den 24 april.

Enligt en förenklad modell kan temperaturen under detta dygn beskrivas med funktionen
 $f\left(x\right)=-0,0079x^3+0,238x^2-1,42x+8,2$ƒ (x)=−0,0079x³+0,238x²−1,42x+8,2     $0\le$0≤ $x\le24$x≤24 
där  $f\left(x\right)$ƒ (x)  är temperaturen i  $^{\circ}$^∘C och  $x$x  är tiden i timmar efter klockan 0:00.

Avgör om sommaren hade börjat i Torup genom att bestämma dygnsmedeltemperaturen den 24 april med hjälp av funktionen.

I figuren visas ett koordinatsystem med kurvorna  $y=\cos3x$y=cos3x  och  $y=\sin2x$y=sin2x  ritade i intervallet  $-\frac{\pi}{2}\le$−π2 ≤ $x\le\frac{\pi}{2}$x≤π2 .

Beräkna arean av det skuggade området. Svara med minst två värdesiffror.

Ett företag ska bygga en stuga i en backe i Alperna och vill veta backens lutning. Enligt en förenklad modell kan backens form beskrivas med sambandet  $h\left(x\right)=4,1-\frac{5+3e^x}{6+e^x}$h(x)=4,1−5+3e^x6+e^x   där  $h\left(x\right)$h(x)  är höjden i km över havet och  $x$x  är sträckan i km i horisontell riktning.

Företaget ska bygga stugan på den del av backen som ligger på höjden  $1,4$1,4  km över havet. Bestäm vilken lutning backen har där stugan ska byggas. Svara med minst två värdesiffror.

Ett företag vill kontrollera livslängden hos en viss typ av lampor. Tiden till dess att en lampa går sönder har visat sig vara en slumpvariabel med täthetsfunktionen  $f\left(x\right)=\frac{e^{-x/24}}{24}$ƒ (x)=e^−x/2424   ,  $x\ge0$x≥0  där  $x$x är tiden i månader som lampan används.

a) Bestäm sannolikheten att en slumpvis vald lampa går sönder under de  $3$3  första månaderna som den används.

b) Anta att man slumpvis väljer ut tre lampor. Bestäm sannolikheten för att alla tre lamporna är hela efter  $6$6  månaders användning.

Undersök om polynomet  $p\left(x\right)=x^5+a^4x^4-x^3+a^2x^2+x+1$p(x)=x⁵+a⁴x⁴−x³+a²x²+x+1  är delbart med  $x-1$x−1  för något reellt värde på konstanten  $a$a.

På havsbottnen vid sandstränder bildas ibland periodiska mönster av kullar i sanden.

Anta att höjden på en kulle är  $1$1  cm, bredden är  $5$5  cm och avståndet mellan två kullar är  $11$11  cm. Se figur nedan.

Enligt en förenklad modell följer varje kulle toppen på en sinuskurva som ges av funktionen  $f\left(x\right)=A\sin\left(kx\right)-d$ƒ (x)=‍Asin(kx)−d  där  $A$A,  $k$k  och  $d$d  är positiva konstanter. Se figur nedan.

a) Bestäm värdet på konstanten  $k$k.

b) Bestäm värdet på konstanterna  $A$A  och  $d$d.