...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 3
 /   Trigonometriska Formler – Träna mera

Trigonometriska Formler - Träna mera

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

I denna lektion tittar vi på några fler exempel på hur man kan skriva om trigonometriska uttryck med hjälp av olika formler. Men först sammanfattar vi alla lösningar till sinus och cosinus grundfunktioner.

Samtliga lösningar till ekvationer med sinus

Alla lösningar till $\sin v=a$sinv=a  där $-1\le a\le1$1a1  ges i grader av

 $v=$v=$\begin{cases} \sin ^{-1}a+n\cdot 360^{\circ } \\ 180^{\circ } -\sin ^{-1}a+n\cdot 360^{\circ } \end{cases}$  där $n$n är ett heltal

och i radianer av

 $v=$v=$\begin{cases} \sin ^{-1}a+n\cdot 2\pi \\\pi -\sin ^{-1}a+n\cdot 2\pi  \end{cases}$  där $n$n är ett heltal

Samtliga lösningar till ekvationer med cosinus

Alla lösningar till $\cos v=a$cosv=a  där $-1\le a\le1$1a1  ges i grader av

 $v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot360^{\circ}$v=±cos1a+n·360  där  $n$n är ett heltal

och i radianer av

 $v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot2\pi$v=±cos1a+n·2π  där  $n$n är ett heltal

Och nu en sammanfattning de trigonometriska samband som är bra att känna till för att kunna skriva om trigonometriska.

Trigonometriska ettan

 $\sin^2x+\cos^2x=1$sin2x+cos2x=1 

Trigonometriska ettan kan också, precis som Pythagoras sats, skrivas om på följande sätt:

 $\sin^2x=1-\cos^2x$sin2x=1cos2x 
 $\sin x=\sqrt{1-\cos^2x}$sinx=1cos2x

 $\cos^2x=1-\sin^2x$cos2x=1sin2x 
 $\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}$cosx=1sin2x 

Definition av tangens

 $\tan x=$tanx=$\frac{\sin x}{\cos x}$sinxcosx  

Additions- och subtraktionsformler

 $\sin\left(u+v\right)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$sin(u+v)=sinucosv+cosusinv 
 $\sin\left(u-v\right)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$sin(uv)=sinucosvcosusinv 
 $\cos\left(u+v\right)=\cos u\cos v-\sin u\sin v$cos(u+v)=cosucosvsinusinv 
 $\cos\left(u-v\right)=\cos u\cos v+\sin u\sin v$cos(uv)=cosucosv+sinusinv 

Formler för dubbla vinkeln

 $\sin2v=2\sin v\cos v$sin2v=2sinvcosv 

 $\cos2v=$cos2v=$\begin{cases} \cos ^2v-\sin ^2v \\ 2\cos^2v-1 \\1-\sin ^2v \end{cases} $

Exempel 1

Visa att  $\frac{\sin^2x-1+\cos^2x-\sin x}{\cos x}$sin2x1+cos2xsinxcosx $=-\tan x$=tanx.

Lösning

Vi skriver om VL med hjälp av trigonometriska ettan, och förenklar.

VL:  $\frac{\sin^2x-1+\cos^2x-\sin x}{\cos x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x-1-\sin x}{\cos x}=$sin2x1+cos2xsinxcosx =sin2x+cos2x1sinxcosx =
        $=\frac{1-1-\sin x}{\cos x}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\frac{\sin x}{\cos x}=$=11sinxcosx =sinxcosx =sinxcosx = $-\tan x$tanx 

HL:  $-\tan x$tanx

VL = HL   v.s.v.

Exempel 2

Visa att  $-\sin10v=\cos(90°+10v)$sin10v=cos(90°+10v) .

Lösning

Vi skriver om HL med hjälp av additionsformeln för cosinus, och förenklar.

HL:  $\cos(90°+10v)=\cos90°\cdot\cos10v-\sin90°\cdot\sin10v=$cos(90°+10v)=cos90°·cos10vsin90°·sin10v= 
        $=0\cdot\cos10v-1\cdot\sin10v=-\sin10v$=0·cos10v1·sin10v=sin10v 

VL:  $-\sin10v$sin10v 

VL = HL   v.s.v.

Exempel 3

Visa att  $\frac{\sin2v+\sin v}{2\cos v+1}$sin2v+sinv2cosv+1 $=\sin v$=sinv.

Lösning

Vi skriver om VL med hjälp av formel för dubbla vinkeln, faktoriserar och förenklar.

VL:  $\frac{\sin2v+\sin v}{2\cos v+1}=\frac{2\sin v\cos v+\sin v}{2\cos v+1}=\frac{\sin v\left(2\cos v+1\right)}{2\cos v+1}$sin2v+sinv2cosv+1 =2sinvcosv+sinv2cosv+1 =sinv(2cosv+1)2cosv+1 $=\sin v$=sinv  

HL:  $\sin v$sinv 

VL = HL   v.s.v.

Exempel 4

Visa att  $1+\cos4x=2\cos^22x$1+cos4x=2cos22x.

Lösning

Vi skriver om VL med hjälp av formel för dubbla vinkeln genom att sätta  $4x=2\cdot2x$4x=2·2x, och förenklar.

VL:  $1+\cos4x=1+\cos\left(2\cdot2x\right)=1+\cos\left(2\cdot2x\right)=$1+cos4x=1+cos(2·2x)=1+cos(2·2x)=
       $=1+2\cos^22x-1=2\cos^22x$=1+2cos22x1=2cos22x

HL:  $2\cos^22x$2cos22x 

VL = HL   v.s.v.

Kommentarer

Tayzo569

Hej. Jag har ett problem när det handlar om dubbla vinkeln. Jag försökt göra uppgifter i matteboken 5000+ 4 och förstår bara delvis. Kan du göra en enskild video + uppgifter för just dubbla vinkel?

Luleå Gymnasieskola

I filmen ”Trigonometriska formler – träna mer” förekommer i diagnosen fråga 2 vinkeln pi.
I det läget har de kanske inte hunnit jobba med det vinkelmåttet så det var lite förvirrande för mina elever. Jag ser att den filmen kommer längre ner i menyn så det är så du kanske också har tänkt. Ett litet tips bara 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi kikar på detta för att ordna det! Tack för tipset!

Amandus Krantz

Hej,
Kan du förklara lite närmare hur du gör för att bryta ut sin v i täljaren? Vart kommer till exempel + 1 ifrån?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, vilken uppgift vill du ha mer förklaring på? Är det en i videon eller i övningarna?

      Amandus Krantz

      Exempel 3 i videon.

        Simon Rybrand (Moderator)

        I den uppgiften utgår vi alltså från vänsterledet och börjar med att använda oss av formeln för dubbla vinkeln, dvs att $ sin(2v)= 2sinv · cosv$ och sätter in detta istället för $sin(2v)$ i täljaren och får
        $ \frac{2·sinv · cosv+sinv}{2cosv+1}$
        I täljaren har vi nu $sinv$ i bägge termerna och kan därför bryta ut detta ur varje term. Här är det viktigt att känna till att om vi bryter ut $sinv$ ur just $ sinv $ så får vi en etta kvar där istället då $ sinv·1=sinv $.
        Vi får då
        $ \frac{sinv(2cosv+1}{2cosv+1}$
        Nu kan vi förkorta med $2cosv+1$ i täljaren och nämnaren och då får vi att
        $ \frac{sinv(2cosv+1}{2cosv+1} = sinv $

A.

Hej!
När man skulle räkna ut cos(pi) i andra testfrågan så behövde man ställa om räknaren till radianer… Det förstod jag först efter en massa googlande. Hur vet man när grafräknaren ska vara inställd på grader eller radianer?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Radianer är precis som grader ett sätt att mäta vinklar. Anledningen till att man ibland använder sig av radianer som vinkelmått istället för grader är för att det i vissa fall blir mycket enklare att beräkna derivator av trigonometriska funktioner.
    Det du kan hålla utkik efter för att veta att det är radianer som används är exempelvis:
    – Det står att du skall använda radianer som vinkelmått
    – Vinkeln/vinklarna anges med radianer, ofta används då ett $\pi$
    – Uppgiften handlar om att derivera trigonometriska funktioner.

Smiiith

Jag har fastnat helt och håller på två tal. Ekvationerna ska lösas algebraisk.

a) Sin^2x=2Sinx

b) Cosx(2cosx-4)=0

Jag får inte riktigt till det..

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Jag kan visa lite tips på den första så tror jag även att den andra ekvationen löser sig:
    ${\sin^{2}} \, {x}=2sinx ⇔$ (-2sinx)
    ${{\sin^{2}} \, {x}}-{{2} \, {sinx}}=0 ⇔$ (bryt ut sinx)
    $sinx\left(sinx-2\right)=0$
    Nollproduktmetoden ger här de två ekvationerna
    $1) \quad sinx=0$
    $2) \quad sinx-2=0$
    Dessa kan du lösa var för sig och få ut dina lösningar.
    Hjälper detta dig vidare?

Anika Hossain

Behöver hjälp med dessa uppgifter.

Skriv om uttrycket så det bara innehåller cos x.

a) $cos^2x + sin^2x $

b)$ cos x + sin x * tan x$

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du kan med hjälp av trigonometriska ettan skriva om
    $sin^2x = 1 – cos^2x$
    så att du i a) får
    $cos^2x+(1-cos^2x) $ (detta är ju också lika med 1)
    I b) kan du använda att $tanx=\frac{sinx}{cosx}$ och skriva om uttrycket (återigen kommer du att kunna använda dig av trigonometriska ettan).
    Kanske du löser resten själv?

diana guney

hej
på det sissta exemplet, efter kvadreringsregeln och trigonometriska ettan har vi kvar
1-2(1-sin2x), hur kommer det sig att nästa steg blir 1-2+2sin2x? vart kommer + tecknet (+2sin2x) ifrån???

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det kommer ifrån att det står -2 framför parentesen. När du multiplicerar in detta så byts tecken framför 2sin2x (lika tecken ger plus).

Eleonora Ahlbäck

Jag håller på att kolla på din genomgång, där du använder dig av sin2v=2sinvxcosv. Jag förstår att du använder dig av dubbla vinkeln formeln. Men jag förstår inte hur du bryter ut 2cosv+1 ur täljaren. har du förlängt??

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej där har jag inte förlängt utan jag bryter ut sinv i täljaren. Eftersom att sinv finns i bägge termerna så kan man bryta ut det för att sedan kunna förkorta med 2cosv + 1

      Eleonora Ahlbäck

      Jag kom på det 😉 tack för svar!

Filippa Örnberg

hej,
I en av övningsuppgifterna jag gjorde på hemsidan så fick jag fel svar men i svaret stod det att cos(π) blev minus ett. Jag får inte ihop det. Om Pi står för vinkeln och vinkeln blir ca 3.14, borde inte cos(Pi) bli ca 1 då eller är det något jag missat? Hur de förklarade uppgiften:

Förklaring
Använd additionsreglerna för cosinus:

cos(x+π)=cos(x)cos(π)−sin(x)sin(π)

Eftersom cos(π)=−1 och sin(π)=0 så försvinner några uttryck och kvar har vi:

cos(x)cos(π)−sin(x)sin(π)=cos(x)⋅(−1)−sin(x)⋅0=−cos(x)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det stämmer att $cos(\pi)=-1$. Där kan det vara bra att känna till enhetscirkeln och hur du kan bestämma exakta trigonometriska värden med hjälp av den.
    Tänk också på att $\pi\,rad=180°$.
    Fråga gärna vidare om något är otydligt kring detta.

Elin Arvidsson

Hejsan!
Jag sitter och räknar på dubbla vinkeln för tillfället, men har kört fast. Förstår inte riktigt det där med exakta värden, ska man kunna räkna ut tex cos 22,5 grader och få det i bråkform (och inte använda miniräknare), eller måste man använda sig av en lathud för det?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Vissa exakta trigonometriska värden är bra att kunna och även att förstå hur du med hjälp av enhetscirkeln kan få fram dessa.
    Just cos(22,5) är inte vanligt att behöva kunna det exakta värdet för.
    Det skall dock vara $ \frac12 \sqrt{2+\sqrt{2}} $

randsara

bestäm utan räknare de vinklar i intervallet 0<v<180 som är lössningar till ekvationen?

a) sinv=sin 56grader
b) cos v =-cos40grader

på vilket sätt kan man lösa denna uppgiften jag har försökt på den vanliga sättet att man använder av sig metoden sin(180-v)
men jag fick fel svar!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Här är det bra att rita upp enhetscirkeln och resonera utifrån den. Jag kan hjälpa dig med b) så kanske a) uppgiften löser sig.
    cos v = -cos40°
    Cos40° är detsamma som x-värdet för den punkt på enhetscirkeln där vi har vinkeln 40°. Detta kommer att vara ett positivt värde som vi kan kalla för a. Här söks -cos40° = -a, detta x – värde hittas då vi har vinkeln 180-40 = 120°. Alltså gäller att v = 120°.

      randsara

      tack för din hjälp !

randsara

hej!
sin60grader.sin60grader (+) cos 60grader.cos60grader
bestäm den exakt värde
hur ska den lösas ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, lite svårt att tolka ditt uttryck här men jag tror att en bra sak att använd dig av här kan vara att
    $ sin60 = \frac{\sqrt{3}}{2} $
    $ cos60 = \frac{1}{2} $

    På det viset kan du få fram ett exakt värde.

      randsara

      tack ska du ha !

pmartyn

Hej!
hur ska denna uppg. lösas?

Bestäm exakta värdet av sin(A+B) om
sinA=3/5, 90grader < A < 180 grader
sinB= -(5/13), 180 grader < B < 270 grader

TACK!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Här behöver du först hitta ett sätt att ta reda på cosA och cosB, du kan använda trig. ettan till detta då $ cos^2x=1-sin^x $

    $cos^2A=1-(\frac{3}{5})^2 $
    $cos^2A=\frac{16}{25} $
    $cosA=±\frac{4}{5} $
    Då 90 < A < 180 gäller att $cosA=-\frac{4}{5} $ $cos^2B=1-(-\frac{5}{13})^2 $ $cos^2A=\frac{144}{169} $ $cosA=±\frac{12}{13} $ Då 180 < A < 270 gäller att $cosB=-\frac{12}{13} $ Nu använder du du additionsformeln för sin och utvecklar $ sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA $ och sätter in de värden du har.

Simon Rybrand (Moderator)

Hejsan, det går att härleda alla dessa formler med hjälp av avståndsformeln och trigonometriska ettan samt en del tricks på vägen.

nti_mad

(cos2u = cos^2u- sin^2u) hur kommer det sig att det blir 1-2sin^2u?
MVH
Kanyau

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, detta är en av de formler som brukar kallas för dubbla vinkeln i trigonometrin. Man härleder dessa utifrån additions- och subtraktionssatserna men utgår då ifrån samma vinkel istället för två olika, dvs cos(u + u). Vid förenkling av detta uttryck så ges formeln för dubbla vinkeln:
    $ cos2u = cos^2u-sin^2u$

    Nu vet vi från trigonometriska ettan att
    $ sin^2u + cos^2u = 1 $ dvs att
    $ cos^2u = 1 – sin^2u $

    Detta samband använder vi oss av för att skriva om
    $ cos^2u – sin^2u = (1 – sin^2u) – sin^2 = $
    $ = 1 – 2sin^2u $

    Hoppas att detta lilla formeltrixande hjälper dig på vägen att förstå trigonometriska formler.

      nti_mad

      tack ska du ha för förklaringen.


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (3)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Förenkla  $\cos(x+180°)$cos(x+180°)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B 2
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Förenkla  $\sin2x+(\sin x-\cos x)^2$sin2x+(sinxcosx)2 så långt som möjligt.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Förenkla  $10(\cos^2x+\sin^2x)-6(\sin^2x+\cos^2x)$10(cos2x+sin2x)6(sin2x+cos2x)  så långt som möjligt.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

c-uppgifter (3)

  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilket av alternativen A-F är lika med $\cos25^{\circ}$cos25?

    A.  $1-\sin^225^{\circ}$1sin225 

    B.  $\frac{\sin25^{\circ}}{\tan25^{\circ}}$sin25tan25  

    C.  $\frac{\cos75^{\circ}}{3}$cos753   

    D.  $\cos75^{\circ}-\cos50^{\circ}$cos75cos50 

    E.  $\frac{\sin50^{\circ}}{2\text{ }\cos25^{\circ}}$sin502 cos25    

    F.  $\frac{\tan75^{\circ}}{\sin25^{\circ}}$tan75sin25  

     

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 2
    K
    M NP INGÅR EJ

    Visa att  $\frac{\sin x}{\cos x-\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x+\sin x}$sinxcosxsinx +sinxcosx+sinx $=\tan2x$=tan2x  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ

    För vinkeln $v$v gäller villkoren:

    •  $\sin^2v=\frac{8}{9}$sin2v=89 
    •   $90^{\circ}$90$<$<$v<180^{\circ}$v<180 

    Bestäm $\tan v$tanv

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se