Författare:Simon Rybrand
I denna lektion tittar vi på några fler exempel på hur man kan skriva om trigonometriska uttryck med hjälp av olika formler. Men först sammanfattar vi de trigonometriska samband som är bra att känna till.
Trigonometriska ettan
sin2x+cos2x=1sin2x+cos2x=1
Trigonometriska ettan kan också, precis som Pythagoras sats, skrivas om på följande sätt:
sin2x=1−cos2xsin2x=1−cos2x
sinx=1−cos2xsinx=√1−cos2x
cos2x=1−sin2xcos2x=1−sin2x
cosx=1−sin2xcosx=√1−sin2x
Definition av tangens
tanx=tanx=cosxsinxsinxcosx
Additions- och subtraktionsformler
sin(u+v)=sinucosv+cosusinvsin(u+v)=sinucosv+cosusinv
sin(u−v)=sinucosv−cosusinvsin(u−v)=sinucosv−cosusinv
cos(u+v)=cosucosv−sinusinvcos(u+v)=cosucosv−sinusinv
cos(u−v)=cosucosv+sinusinvcos(u−v)=cosucosv+sinusinv
Formler för dubbla vinkeln
sin2v=2sinvcosvsin2v=2sinvcosv
cos2v=cos2v=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧cos2v−sin2v2cos2v−11−sin2v
Exempel 1
Visa att cosxsin2x−1+cos2x−sinxsin2x−1+cos2x−sinxcosx =−tanx=−tanx.
Lösning
Vi skriver om VL med hjälp av trigonometriska ettan, och förenklar.
VL: cosxsin2x−1+cos2x−sinx=cosxsin2x+cos2x−1−sinx=sin2x−1+cos2x−sinxcosx =sin2x+cos2x−1−sinxcosx =
=cosx1−1−sinx=cosx−sinx=−cosxsinx==1−1−sinxcosx =−sinxcosx =−sinxcosx = −tanx−tanx
HL: −tanx−tanx
VL = HL v.s.v.
Exempel 2
Visa att −sin10v=cos(90°+10v)−sin10v=cos(90°+10v) .
Lösning
Vi skriver om HL med hjälp av additionsformeln för cosinus, och förenklar.
HL: cos(90°+10v)=cos90°⋅cos10v−sin90°⋅sin10v=cos(90°+10v)=cos90°·cos10v−sin90°·sin10v=
=0⋅cos10v−1⋅sin10v=−sin10v=0·cos10v−1·sin10v=−sin10v
VL: −sin10v−sin10v
VL = HL v.s.v.
Exempel 3
Visa att 2cosv+1sin2v+sinvsin2v+sinv2cosv+1 =sinv=sinv.
Lösning
Vi skriver om VL med hjälp av formel för dubbla vinkeln, faktoriserar och förenklar.
VL: 2cosv+1sin2v+sinv=2cosv+12sinvcosv+sinv=2cosv+1sinv(2cosv+1)sin2v+sinv2cosv+1 =2sinvcosv+sinv2cosv+1 =sinv(2cosv+1)2cosv+1 =sinv=sinv
HL: sinvsinv
VL = HL v.s.v.
Exempel 4
Visa att 1+cos4x=2cos22x1+cos4x=2cos22x.
Lösning
Vi skriver om VL med hjälp av formel för dubbla vinkeln genom att sätta 4x=2⋅2x4x=2·2x, och förenklar.
VL: 1+cos4x=1+cos(2⋅2x)=1+cos(2⋅2x)=1+cos4x=1+cos(2·2x)=1+cos(2·2x)=
=1+2cos22x−1=2cos22x=1+2cos22x−1=2cos22x
HL: 2cos22x2cos22x
VL = HL v.s.v.
Kommentarer
e-uppgifter (4)
1.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Förenkla cos(x+180°)cos(x+180°).
Svar:Ditt svar:Rätt svar: −cosx(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(2/0/0)E C A B 2 P PL M R K Förenkla sin2x+(sinx−cosx)2sin2x+(sinx−cosx)2 så långt som möjligt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 1(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Förenkla 10(cos2x+sin2x)−6(sin2x+cos2x)10(cos2x+sin2x)−6(sin2x+cos2x) så långt som möjligt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 4(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(2/0/0)E C A B P 2 PL M R K Förenkla cos9πcos92π−sin9πsin92πcosπ9 cos2π9 −sinπ9 sin2π9 så långt som möjligt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 21(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (5)
5. Premium
(0/1/0)NPE C A B 1 P PL M R K Vilket av alternativen A-F är lika med cos25∘cos25∘?
A. 1−sin225∘1−sin225∘
B. tan25∘sin25∘sin25∘tan25∘ C. 3cos75∘cos75∘3
D. cos75∘−cos50∘cos75∘−cos50∘ E. 2 cos25∘sin50∘sin50∘2 cos25∘
F. sin25∘tan75∘tan75∘sin25∘ Svar:Ditt svar:Rätt svar: Alternativ B: tan25∘sin25∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(0/2/0)ME C A B P 2 PL M R K Bestäm sin12πsinπ12 . Svara exakt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 223−1(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(0/2/0)M NPE C A B P PL M R 2 K Visa att cosx−sinxsinx+cosx+sinxsinxsinxcosx−sinx +sinxcosx+sinx =tan2x=tan2x
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Se bevis under "Förklaring"(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(0/3/0)M NPE C A B P PL 2 M R 1 K För vinkeln vv gäller villkoren:
- sin2v=98sin2v=89
- 90∘90∘<<v<180∘v<180∘
Bestäm tanvtanv.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: −8(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...9. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Förenkla uttrycket med hjälp av trigonometriska formler.
cosxcosx (cosxsin2x−sinxtanx)(sin2xcosx −tanxsinx )
Svar:Ditt svar:Rätt svar: −cos2x(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (2)
10. Premium
(0/1/1)ME C A B P 1 1 PL M R K Visa att cos(u+v)cos(u−v)=cos2u−sin2vcos(u+v)cos(u−v)=cos2u−sin2v.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Se bevis under Förklaring.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...11. Premium
(0/0/2)M NPE C A B P PL M R 2 K Visa att sin345∘=sin345∘= 42−6√2−√64 .
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Se bevis under Förklaring(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Elliot Myrsten
Hej, på fråga 4 är svaret B det enda rimliga. Men jag finner det mycket underligt. Ni skriver i förklaringen:
B. sin 25 / (sin 25/cos 25) = (sin 25/1)*(cos 25/sin25) = cos 25
Enligt formeln är tan 25 = (sin 25 / cos 25) inte (cos 25 / sin 25) vilket isåfall ger ett annat svar än cos 25.
Sara Petrén Olauson
Hej! Precis som du skriver är tanv=cosvsinv. Utifrån detta kan vi skriva att tan25∘sin25∘=sin25∘/cos25∘sin25∘. I nästa steg utförs divisionen, vi använder multiplikation och uttrycket i nämnaren inverteras då till sin25∘cos25∘. Hoppas att det blev tydligare nu.
Tayzo569
Hej. Jag har ett problem när det handlar om dubbla vinkeln. Jag försökt göra uppgifter i matteboken 5000+ 4 och förstår bara delvis. Kan du göra en enskild video + uppgifter för just dubbla vinkel?
Simon Rybrand (Moderator)
I den uppgiften utgår vi alltså från vänsterledet och börjar med att använda oss av formeln för dubbla vinkeln, dvs att sin(2v)=2sinv⋅cosv och sätter in detta istället för sin(2v) i täljaren och får
2cosv+12⋅sinv⋅cosv+sinv
I täljaren har vi nu sinv i bägge termerna och kan därför bryta ut detta ur varje term. Här är det viktigt att känna till att om vi bryter ut sinv ur just sinv så får vi en etta kvar där istället då sinv⋅1=sinv.
Vi får då
2cosv+1sinv(2cosv+1
Nu kan vi förkorta med 2cosv+1 i täljaren och nämnaren och då får vi att
2cosv+1sinv(2cosv+1=sinv
A.
Hej!
När man skulle räkna ut cos(pi) i andra testfrågan så behövde man ställa om räknaren till radianer… Det förstod jag först efter en massa googlande. Hur vet man när grafräknaren ska vara inställd på grader eller radianer?
Simon Rybrand (Moderator)
Radianer är precis som grader ett sätt att mäta vinklar. Anledningen till att man ibland använder sig av radianer som vinkelmått istället för grader är för att det i vissa fall blir mycket enklare att beräkna derivator av trigonometriska funktioner.
Det du kan hålla utkik efter för att veta att det är radianer som används är exempelvis:
– Det står att du skall använda radianer som vinkelmått
– Vinkeln/vinklarna anges med radianer, ofta används då ett π
– Uppgiften handlar om att derivera trigonometriska funktioner.
Smiiith
Jag har fastnat helt och håller på två tal. Ekvationerna ska lösas algebraisk.
a) Sin^2x=2Sinx
b) Cosx(2cosx-4)=0
Jag får inte riktigt till det..
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Jag kan visa lite tips på den första så tror jag även att den andra ekvationen löser sig:
sin2x=2sinx⇔ (-2sinx)
sin2x−2sinx=0⇔ (bryt ut sinx)
sinx(sinx−2)=0
Nollproduktmetoden ger här de två ekvationerna
1)sinx=0
2)sinx−2=0
Dessa kan du lösa var för sig och få ut dina lösningar.
Hjälper detta dig vidare?
Anika Hossain
Behöver hjälp med dessa uppgifter.
Skriv om uttrycket så det bara innehåller cos x.
a) cos2x+sin2x
b)cosx+sinx∗tanx
Simon Rybrand (Moderator)
Du kan med hjälp av trigonometriska ettan skriva om
sin2x=1–cos2x
så att du i a) får
cos2x+(1−cos2x) (detta är ju också lika med 1)
I b) kan du använda att tanx=cosxsinx och skriva om uttrycket (återigen kommer du att kunna använda dig av trigonometriska ettan).
Kanske du löser resten själv?
diana guney
hej
på det sissta exemplet, efter kvadreringsregeln och trigonometriska ettan har vi kvar
1-2(1-sin2x), hur kommer det sig att nästa steg blir 1-2+2sin2x? vart kommer + tecknet (+2sin2x) ifrån???
Simon Rybrand (Moderator)
Det kommer ifrån att det står -2 framför parentesen. När du multiplicerar in detta så byts tecken framför 2sin2x (lika tecken ger plus).
Eleonora Ahlbäck
Jag håller på att kolla på din genomgång, där du använder dig av sin2v=2sinvxcosv. Jag förstår att du använder dig av dubbla vinkeln formeln. Men jag förstår inte hur du bryter ut 2cosv+1 ur täljaren. har du förlängt??
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Nej där har jag inte förlängt utan jag bryter ut sinv i täljaren. Eftersom att sinv finns i bägge termerna så kan man bryta ut det för att sedan kunna förkorta med 2cosv + 1
Eleonora Ahlbäck
Jag kom på det 😉 tack för svar!
Filippa Örnberg
hej,
I en av övningsuppgifterna jag gjorde på hemsidan så fick jag fel svar men i svaret stod det att cos(π) blev minus ett. Jag får inte ihop det. Om Pi står för vinkeln och vinkeln blir ca 3.14, borde inte cos(Pi) bli ca 1 då eller är det något jag missat? Hur de förklarade uppgiften:
Förklaring
Använd additionsreglerna för cosinus:
cos(x+π)=cos(x)cos(π)−sin(x)sin(π)
Eftersom cos(π)=−1 och sin(π)=0 så försvinner några uttryck och kvar har vi:
cos(x)cos(π)−sin(x)sin(π)=cos(x)⋅(−1)−sin(x)⋅0=−cos(x)
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det stämmer att cos(π)=−1. Där kan det vara bra att känna till enhetscirkeln och hur du kan bestämma exakta trigonometriska värden med hjälp av den.
Tänk också på att πrad=180°.
Fråga gärna vidare om något är otydligt kring detta.
Elin Arvidsson
Hejsan!
Jag sitter och räknar på dubbla vinkeln för tillfället, men har kört fast. Förstår inte riktigt det där med exakta värden, ska man kunna räkna ut tex cos 22,5 grader och få det i bråkform (och inte använda miniräknare), eller måste man använda sig av en lathud för det?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Vissa exakta trigonometriska värden är bra att kunna och även att förstå hur du med hjälp av enhetscirkeln kan få fram dessa.
Just cos(22,5) är inte vanligt att behöva kunna det exakta värdet för.
Det skall dock vara 212+2
randsara
bestäm utan räknare de vinklar i intervallet 0<v<180 som är lössningar till ekvationen?
a) sinv=sin 56grader
b) cos v =-cos40grader
på vilket sätt kan man lösa denna uppgiften jag har försökt på den vanliga sättet att man använder av sig metoden sin(180-v)
men jag fick fel svar!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, Här är det bra att rita upp enhetscirkeln och resonera utifrån den. Jag kan hjälpa dig med b) så kanske a) uppgiften löser sig.
cos v = -cos40°
Cos40° är detsamma som x-värdet för den punkt på enhetscirkeln där vi har vinkeln 40°. Detta kommer att vara ett positivt värde som vi kan kalla för a. Här söks -cos40° = -a, detta x – värde hittas då vi har vinkeln 180-40 = 120°. Alltså gäller att v = 120°.
randsara
tack för din hjälp !
randsara
hej!
sin60grader.sin60grader (+) cos 60grader.cos60grader
bestäm den exakt värde
hur ska den lösas ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, lite svårt att tolka ditt uttryck här men jag tror att en bra sak att använd dig av här kan vara att
sin60=23
cos60=21
På det viset kan du få fram ett exakt värde.
randsara
tack ska du ha !
pmartyn
Hej!
hur ska denna uppg. lösas?
Bestäm exakta värdet av sin(A+B) om
sinA=3/5, 90grader < A < 180 grader
sinB= -(5/13), 180 grader < B < 270 grader
TACK!
Simon Rybrand (Moderator)
Här behöver du först hitta ett sätt att ta reda på cosA och cosB, du kan använda trig. ettan till detta då cos2x=1−sinx
cos2A=1−(53)2
cos2A=2516
cosA=±54
Då 90 < A < 180 gäller att cosA=−54 cos2B=1−(−135)2 cos2A=169144 cosA=±1312 Då 180 < A < 270 gäller att cosB=−1312 Nu använder du du additionsformeln för sin och utvecklar sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA och sätter in de värden du har.
Simon Rybrand (Moderator)
Hejsan, det går att härleda alla dessa formler med hjälp av avståndsformeln och trigonometriska ettan samt en del tricks på vägen.
nti_mad
(cos2u = cos^2u- sin^2u) hur kommer det sig att det blir 1-2sin^2u?
MVH
Kanyau
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, detta är en av de formler som brukar kallas för dubbla vinkeln i trigonometrin. Man härleder dessa utifrån additions- och subtraktionssatserna men utgår då ifrån samma vinkel istället för två olika, dvs cos(u + u). Vid förenkling av detta uttryck så ges formeln för dubbla vinkeln:
cos2u=cos2u−sin2u
Nu vet vi från trigonometriska ettan att
sin2u+cos2u=1 dvs att
cos2u=1–sin2u
Detta samband använder vi oss av för att skriva om
cos2u–sin2u=(1–sin2u)–sin2=
=1–2sin2u
Hoppas att detta lilla formeltrixande hjälper dig på vägen att förstå trigonometriska formler.
nti_mad
tack ska du ha för förklaringen.
Endast Premium-användare kan kommentera.