00:00
00:00
KURSER  / 
Övningsgeneratorn
/  Övningsgeneratorn

Trigonometriska Formler - Träna mera

Författare:Simon Rybrand

I denna lektion tittar vi på några fler exempel på hur man kan skriva om trigonometriska uttryck med hjälp av olika formler. Men först sammanfattar vi de trigonometriska samband som är bra att känna till.

Trigonometriska ettan

 sin2x+cos2x=1\sin^2x+\cos^2x=1sin2x+cos2x=1 

Trigonometriska ettan kan också, precis som Pythagoras sats, skrivas om på följande sätt:

 sin2x=1cos2x\sin^2x=1-\cos^2xsin2x=1cos2x 
 sinx=1cos2x\sin x=\sqrt{1-\cos^2x}sinx=1cos2x

 cos2x=1sin2x\cos^2x=1-\sin^2xcos2x=1sin2x 
 cosx=1sin2x\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}cosx=1sin2x 

Definition av tangens

 tanx=\tan x=tanx=sinxcosx\frac{\sin x}{\cos x}sinxcosx  

Additions- och subtraktionsformler

 sin(u+v)=sinucosv+cosusinv\sin\left(u+v\right)=\sin u\cos v+\cos u\sin vsin(u+v)=sinucosv+cosusinv 
 sin(uv)=sinucosvcosusinv\sin\left(u-v\right)=\sin u\cos v-\cos u\sin vsin(uv)=sinucosvcosusinv 
 cos(u+v)=cosucosvsinusinv\cos\left(u+v\right)=\cos u\cos v-\sin u\sin vcos(u+v)=cosucosvsinusinv 
 cos(uv)=cosucosv+sinusinv\cos\left(u-v\right)=\cos u\cos v+\sin u\sin vcos(uv)=cosucosv+sinusinv 

Formler för dubbla vinkeln

 sin2v=2sinvcosv\sin2v=2\sin v\cos vsin2v=2sinvcosv 

 cos2v=\cos2v=cos2v={cos2vsin2v2cos2v11sin2v\begin{cases} \cos ^2v-\sin ^2v \\ 2\cos^2v-1 \\1-\sin ^2v \end{cases}

Exempel 1

Visa att  sin2x1+cos2xsinxcosx\frac{\sin^2x-1+\cos^2x-\sin x}{\cos x}sin2x1+cos2xsinxcosx =tanx=-\tan x=tanx.

Lösning

Vi skriver om VL med hjälp av trigonometriska ettan, och förenklar.

VL:  sin2x1+cos2xsinxcosx=sin2x+cos2x1sinxcosx=\frac{\sin^2x-1+\cos^2x-\sin x}{\cos x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x-1-\sin x}{\cos x}=sin2x1+cos2xsinxcosx =sin2x+cos2x1sinxcosx =
        =11sinxcosx=sinxcosx=sinxcosx==\frac{1-1-\sin x}{\cos x}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\frac{\sin x}{\cos x}==11sinxcosx =sinxcosx =sinxcosx = tanx-\tan xtanx 

HL:  tanx-\tan xtanx

VL = HL   v.s.v.

Exempel 2

Visa att  sin10v=cos(90°+10v)-\sin10v=\cos(90°+10v)sin10v=cos(90°+10v) .

Lösning

Vi skriver om HL med hjälp av additionsformeln för cosinus, och förenklar.

HL:  cos(90°+10v)=cos90°cos10vsin90°sin10v=\cos(90°+10v)=\cos90°\cdot\cos10v-\sin90°\cdot\sin10v=cos(90°+10v)=cos90°·cos10vsin90°·sin10v= 
        =0cos10v1sin10v=sin10v=0\cdot\cos10v-1\cdot\sin10v=-\sin10v=0·cos10v1·sin10v=sin10v 

VL:  sin10v-\sin10vsin10v 

VL = HL   v.s.v.

Exempel 3

Visa att  sin2v+sinv2cosv+1\frac{\sin2v+\sin v}{2\cos v+1}sin2v+sinv2cosv+1 =sinv=\sin v=sinv.

Lösning

Vi skriver om VL med hjälp av formel för dubbla vinkeln, faktoriserar och förenklar.

VL:  sin2v+sinv2cosv+1=2sinvcosv+sinv2cosv+1=sinv(2cosv+1)2cosv+1\frac{\sin2v+\sin v}{2\cos v+1}=\frac{2\sin v\cos v+\sin v}{2\cos v+1}=\frac{\sin v\left(2\cos v+1\right)}{2\cos v+1}sin2v+sinv2cosv+1 =2sinvcosv+sinv2cosv+1 =sinv(2cosv+1)2cosv+1 =sinv=\sin v=sinv  

HL:  sinv\sin vsinv 

VL = HL   v.s.v.

Exempel 4

Visa att  1+cos4x=2cos22x1+\cos4x=2\cos^22x1+cos4x=2cos22x.

Lösning

Vi skriver om VL med hjälp av formel för dubbla vinkeln genom att sätta  4x=22x4x=2\cdot2x4x=2·2x, och förenklar.

VL:  1+cos4x=1+cos(22x)=1+cos(22x)=1+\cos4x=1+\cos\left(2\cdot2x\right)=1+\cos\left(2\cdot2x\right)=1+cos4x=1+cos(2·2x)=1+cos(2·2x)=
       =1+2cos22x1=2cos22x=1+2\cos^22x-1=2\cos^22x=1+2cos22x1=2cos22x

HL:  2cos22x2\cos^22x2cos22x 

VL = HL   v.s.v.