Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik fortsättning nivå 1
/ Trigonometriska Formler - Träna mera
Trigonometriska Formler - Träna mera
I denna lektion tittar vi på några fler exempel på hur vi kan skriva om trigonometriska uttryck med hjälp av olika formler. Men först sammanfattar vi de trigonometriska samband som är bra att känna till.
Trigonometriska ettan
$\sin^2x+\cos^2x=1$sin2x+cos2x=1
Trigonometriska ettan kan också, precis som Pythagoras sats, skrivas om på följande sätt:
$\sin^2x=1-\cos^2x$sin2x=1−cos2x
$\sin x=\sqrt{1-\cos^2x}$sinx=√1−cos2x
$\cos^2x=1-\sin^2x$cos2x=1−sin2x
$\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}$cosx=√1−sin2x
Definition av tangens
$\tan x=$tanx=$\frac{\sin x}{\cos x}$sinxcosx
Additions- och subtraktionsformler
$\sin\left(u+v\right)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$sin(u+v)=sinucosv+cosusinv
$\sin\left(u-v\right)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$sin(u−v)=sinucosv−cosusinv
$\cos\left(u+v\right)=\cos u\cos v-\sin u\sin v$cos(u+v)=cosucosv−sinusinv
$\cos\left(u-v\right)=\cos u\cos v+\sin u\sin v$cos(u−v)=cosucosv+sinusinv
Formler för dubbla vinkeln
$\sin2v=2\sin v\cos v$sin2v=2sinvcosv
$\cos2v=$cos2v=$\begin{cases} \cos ^2v-\sin ^2v \\ 2\cos^2v-1 \\1-2\sin ^2v \end{cases} $
Visa att $\frac{\sin^2x-1+\cos^2x-\sin x}{\cos x}$sin2x−1+cos2x−sinxcosx $=-\tan x$=−tanx. Vi skriver om VL med hjälp av trigonometriska ettan, och förenklar. VL: $\frac{\sin^2x-1+\cos^2x-\sin x}{\cos x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x-1-\sin x}{\cos x}=$sin2x−1+cos2x−sinxcosx =sin2x+cos2x−1−sinxcosx = HL: $-\tan x$−tanx VL = HL v.s.v.Exempel 1
Lösning
$=\frac{1-1-\sin x}{\cos x}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\frac{\sin x}{\cos x}=$=1−1−sinxcosx =−sinxcosx =−sinxcosx = $-\tan x$−tanx
Visa att $-\sin10v=\cos(90°+10v)$−sin10v=cos(90°+10v) . Vi skriver om HL med hjälp av additionsformeln för cosinus, och förenklar. HL: $\cos(90°+10v)=\cos90°\cdot\cos10v-\sin90°\cdot\sin10v=$cos(90°+10v)=cos90°·cos10v−sin90°·sin10v= VL: $-\sin10v$−sin10v VL = HL v.s.v.Exempel 2
Lösning
$=0\cdot\cos10v-1\cdot\sin10v=-\sin10v$=0·cos10v−1·sin10v=−sin10v
Visa att $\frac{\sin2v+\sin v}{2\cos v+1}$sin2v+sinv2cosv+1 $=\sin v$=sinv. Vi skriver om VL med hjälp av formel för dubbla vinkeln, faktoriserar och förenklar. VL: $\frac{\sin2v+\sin v}{2\cos v+1}=\frac{2\sin v\cos v+\sin v}{2\cos v+1}=\frac{\sin v\left(2\cos v+1\right)}{2\cos v+1}$sin2v+sinv2cosv+1 =2sinvcosv+sinv2cosv+1 =sinv(2cosv+1)2cosv+1 $=\sin v$=sinv HL: $\sin v$sinv VL = HL v.s.v.Exempel 3
Lösning
Visa att $1+\cos4x=2\cos^22x$1+cos4x=2cos22x. Vi skriver om VL med hjälp av formel för dubbla vinkeln genom att sätta $4x=2\cdot2x$4x=2·2x, och förenklar. VL: $1+\cos4x=1+\cos\left(2\cdot2x\right)=$1+cos4x=1+cos(2·2x)=1+cos(2·2x)= HL: $2\cos^22x$2cos22x VL = HL v.s.v.Exempel 4
Lösning
$=1+2\cos^22x-1=2\cos^22x$=1+2cos22x−1=2cos22x
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Förenkla $\cos(x+180°)$cos(x+180°).
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Förenkla $\sin2x+(\sin x-\cos x)^2$sin2x+(sinx−cosx)2 så långt som möjligt.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Förenkla $10(\cos^2x+\sin^2x)-6(\sin^2x+\cos^2x)$10(cos2x+sin2x)−6(sin2x+cos2x) så långt som möjligt.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Förenkla $\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}-\sin\frac{\pi}{9}\sin\frac{2\pi}{9}$cosπ9 cos2π9 −sinπ9 sin2π9 så långt som möjligt.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (5)
-
5. Premium
Vilket av alternativen A-F är lika med $\cos25^{\circ}$cos25∘?
A. $1-\sin^225^{\circ}$1−sin225∘
B. $\frac{\sin25^{\circ}}{\tan25^{\circ}}$sin25∘tan25∘ C. $\frac{\cos75^{\circ}}{3}$cos75∘3
D. $\cos75^{\circ}-\cos50^{\circ}$cos75∘−cos50∘ E. $\frac{\sin50^{\circ}}{2\text{ }\cos25^{\circ}}$sin50∘2 cos25∘
F. $\frac{\tan75^{\circ}}{\sin25^{\circ}}$tan75∘sin25∘ Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Bestäm $\sin\frac{\pi}{12}$sinπ12 . Svara exakt.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Visa att $\frac{\sin x}{\cos x-\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x+\sin x}$sinxcosx−sinx +sinxcosx+sinx $=\tan2x$=tan2x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Trigonometriska Formler - Träna meraRättar...8. Premium
För vinkeln $v$v gäller villkoren:
- $\sin^2v=\frac{8}{9}$sin2v=89
- $90^{\circ}$90∘$<$<$v<180^{\circ}$v<180∘
Bestäm $\tan v$tanv.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...9. Premium
Förenkla uttrycket med hjälp av trigonometriska formler.
$\cos x$cosx $\left(\frac{\sin^2x}{\cos x}-\frac{\tan x}{\sin x}\right)$(sin2xcosx −tanxsinx )
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 4 trigonometriska formlerRättar...a-uppgifter (2)
-
10. Premium
Visa att $\cos\left(u+v\right)\cos\left(u-v\right)=\cos^2u-\sin^2v$cos(u+v)cos(u−v)=cos2u−sin2v.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...11. Premium
Visa att $\sin345^{\circ}=$sin345∘= $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$√2−√64 .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Trigonometriska formler Trigonometriska Formler - Träna meraRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Redigera uppgift Stäng Kopiera abc-fråga Flytta abc-fråga Länka abc-fråga Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
Elliot Myrsten
Hej, på fråga 4 är svaret B det enda rimliga. Men jag finner det mycket underligt. Ni skriver i förklaringen:
B. sin 25 / (sin 25/cos 25) = (sin 25/1)*(cos 25/sin25) = cos 25
Enligt formeln är tan 25 = (sin 25 / cos 25) inte (cos 25 / sin 25) vilket isåfall ger ett annat svar än cos 25.
Sara Petrén Olauson
Hej! Precis som du skriver är $\tan v=\frac{\sin v}{\cos v}$. Utifrån detta kan vi skriva att $\frac{\sin 25^{\circ }}{\tan 25^{\circ }}=\sin 25^{\circ }/\frac{\sin 25^{\circ }}{\cos 25^{\circ }}$. I nästa steg utförs divisionen, vi använder multiplikation och uttrycket i nämnaren inverteras då till $\frac{\cos 25^{\circ }}{\sin 25^{\circ }}$. Hoppas att det blev tydligare nu.
Tayzo569
Hej. Jag har ett problem när det handlar om dubbla vinkeln. Jag försökt göra uppgifter i matteboken 5000+ 4 och förstår bara delvis. Kan du göra en enskild video + uppgifter för just dubbla vinkel?
A.
Hej!
När man skulle räkna ut cos(pi) i andra testfrågan så behövde man ställa om räknaren till radianer... Det förstod jag först efter en massa googlande. Hur vet man när grafräknaren ska vara inställd på grader eller radianer?
Smiiith
Jag har fastnat helt och håller på två tal. Ekvationerna ska lösas algebraisk.
a) Sin^2x=2Sinx
b) Cosx(2cosx-4)=0
Jag får inte riktigt till det..
Anika Hossain
Behöver hjälp med dessa uppgifter.
Skriv om uttrycket så det bara innehåller cos x.
a) $cos^2x + sin^2x $
b)$ cos x + sin x * tan x$
diana guney
hej
på det sissta exemplet, efter kvadreringsregeln och trigonometriska ettan har vi kvar
1-2(1-sin2x), hur kommer det sig att nästa steg blir 1-2+2sin2x? vart kommer + tecknet (+2sin2x) ifrån???
Eleonora Ahlbäck
Jag håller på att kolla på din genomgång, där du använder dig av sin2v=2sinvxcosv. Jag förstår att du använder dig av dubbla vinkeln formeln. Men jag förstår inte hur du bryter ut 2cosv+1 ur täljaren. har du förlängt??
Eleonora Ahlbäck
Jag kom på det 😉 tack för svar!
Filippa Örnberg
hej,
I en av övningsuppgifterna jag gjorde på hemsidan så fick jag fel svar men i svaret stod det att cos(π) blev minus ett. Jag får inte ihop det. Om Pi står för vinkeln och vinkeln blir ca 3.14, borde inte cos(Pi) bli ca 1 då eller är det något jag missat? Hur de förklarade uppgiften:
Förklaring
Använd additionsreglerna för cosinus:
cos(x+π)=cos(x)cos(π)−sin(x)sin(π)
Eftersom cos(π)=−1 och sin(π)=0 så försvinner några uttryck och kvar har vi:
cos(x)cos(π)−sin(x)sin(π)=cos(x)⋅(−1)−sin(x)⋅0=−cos(x)
Elin Arvidsson
Hejsan!
Jag sitter och räknar på dubbla vinkeln för tillfället, men har kört fast. Förstår inte riktigt det där med exakta värden, ska man kunna räkna ut tex cos 22,5 grader och få det i bråkform (och inte använda miniräknare), eller måste man använda sig av en lathud för det?
randsara
bestäm utan räknare de vinklar i intervallet 0<v<180 som är lössningar till ekvationen?
a) sinv=sin 56grader
b) cos v =-cos40grader
på vilket sätt kan man lösa denna uppgiften jag har försökt på den vanliga sättet att man använder av sig metoden sin(180-v)
men jag fick fel svar!
randsara
tack för din hjälp !
randsara
hej!
sin60grader.sin60grader (+) cos 60grader.cos60grader
bestäm den exakt värde
hur ska den lösas ?
randsara
tack ska du ha !
pmartyn
Hej!
hur ska denna uppg. lösas?
Bestäm exakta värdet av sin(A+B) om
sinA=3/5, 90grader < A < 180 grader
sinB= -(5/13), 180 grader < B < 270 grader
TACK!
nti_mad
(cos2u = cos^2u- sin^2u) hur kommer det sig att det blir 1-2sin^2u?
MVH
Kanyau
nti_mad
tack ska du ha för förklaringen.
Endast Premium-användare kan kommentera.