Nationellt prov Matematik 4 vt 2014 del D

Hur många grader är $1,4$1,4 radianer?  Endast svar krävs

Tidvatten är ett fenomen som uppstår på grund av månens dragningskraft på havsvattnet. Under ett dygn uppstår det både ebb (lågvatten) och flod (högvatten). De största skillnaderna mellan ebb och flod på jorden finns vid Newfoundland på Kanadas ostkust.

Enligt en förenklad modell kan vattennivån under ett visst dygn vid Newfoundland beskrivas med funktionen

 $y=8,0+8,0\text{ }\cos0,52x$y=8,0+8,0 cos0,52x 

där $y$y är vattnets höjd i meter jämfört med lägsta vattennivån och $x$x är antalet timmar efter klockan $03.00$03.00 

a) Bestäm höjdskillnaden mellan högsta och lägsta vattennivån enligt modellen ovan.
     Endast svar krävs 

b) Utgå från modellen ovan och bestäm med vilken hastighet vattnets höjd ändras då klockan är $13.00$13.00

I figuren nedan visas ett skuggat område som begränsas av kurvan $y=\sqrt{4x-x^2}$y=√4x−x², linjen $x=3$x=3 och $x$x-axeln.

När det skuggade området roteras runt $x$x-axeln bildas en rotationskropp.
Beräkna rotationskroppens volym och svara med minst tre värdesiffror.

Bestäm samtliga rötter till ekvationen $x^3-8x=7,6$x³−8x=7,6 
Svara med minst tre värdesiffror.

Endast svar krävs

En vattentank som innehåller $18\text{ }500$18 500 liter töms med hastigheten $v\left(t\right)$v(t) liter/minut, där $v\left(t\right)=890-12t$v(t)=890−12t och $t$t är tiden i minuter från tömningens början.

Hur många liter rinner ut ur tanken under de första $15$15 minuterna?

Anna har fått i uppgift att lösa följande problem:

Anna kommer fram till sambandet $V=0,64h^3$V=0,64h³, där $V$V är volymen i liter och $h$h är vattennivåns höjd i dm. Sedan vet hon inte hur hon ska fortsätta.

a) Hjälp Anna att fullfölja lösningen.

b) Visa hur Anna kan ha gjort för att komma fram till
sambandet $V=0,64h^3$V=0,64h³ 

Ett företag ska bygga en stuga i en backe i Alperna och vill veta backens lutning. Enligt en förenklad modell kan backens form beskrivas med sambandet

 $h\left(x\right)=4,1-$h(x)=4,1−$\frac{5+3e^x}{6+e^x}$5+3e^x6+e^x  där $h\left(x\right)$h(x) är höjden i km över havet och $x$x är sträckan i km i horisontell riktning

Företaget ska bygga stugan på den del av backen som ligger på höjden $1,4$1,4 km över havet. Bestäm vilken lutning backen har där stugan ska byggas.
Svara med minst två värdesiffror.

En trigonometrisk kurva har en maximipunkt i $\left(\frac{2\pi}{3},\text{ }5\right)$(2π3 , 5) och en minimipunkt i $\left(\frac{5\pi}{3},\text{ }1\right)$(5π3 , 1). Kurvan har inga extrempunkter mellan dessa två punkter.
Bestäm en ekvation för kurvan.

Jakob åker till stugan för att klippa sin rosenhäck. Batteriet till hans sladdlösa häcktrimmer är helt urladdat och behöver laddas upp.

Under den första timmen då batteriet laddas håller sig laddningsströmmen konstant på $1,5$1,5 ampere. Enligt en förenklad modell ändras laddningsströmmen därefter med hastigheten $\frac{dy}{dx}$dydx $=-0,468e^{-0,36\left(x-1\right)}$=−0,468e^{−0,36(x−1)} där $y$y är laddningsströmmen i ampere och $x$x är tiden i timmar från det att häcktrimmern börjar laddas. Batteriet anses fulladdat då laddningsströmmen sjunkit till $0,40$0,40 ampere.
Bestäm hur lång tid det tar från det att batteriet börjar laddas till dess att det är
fulladdat.