Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik fortsättning nivå 1
/ Primitiva funktioner och integraler
Primitiva Funktioner med villkor
Innehåll
Den primitiva funktionen och konstanten C
När man ska bestämma alla, eller som man brukar säga, samtliga primitiv funktion till en given funktion lägger man till en konstant. Ofta betecknas den med bokstaven $C$C i samband med primitiva funktioner.
Derivatan av en konstant är alltid lika med noll. Därför, när vi söker samtliga primitiva funktioner, lägger vi alltid till en konstant $C$C. Detta eftersom att vi när vi deriverar $F\left(x\right)$F(x), alltid kommer få $f\left(x\right)$ƒ (x) oavsett värdet på konstanten, eftersom att den försvinner vid derivering.
Man skiljer alltså på uppgiften att ta fram en primitiv funktion, där konstanten $C$C ges ett värde, och på samtliga primitiva funktioner, där du behåller variabeln $C$C som konstant. Det är dock bra att lägga till sig vanan att alltid sätta dit ett $C$C, så att du slipper avdrag när du missar den.
Hur påverkar en konstant grafen?
En konstant förskjuter grafen i höjdled uppåt och nedåt. Ingenting i sidled. Eftersom att derivatan motsvarar tangentens lutning i en punkt kommer derivatan vara identisk eftersom att tangentens lutning är den samma oavsett om hela kurvan förskjuts uppåt eller neråt.
Det är därför de funktioner som beskrivs av uttryck som är lika, förutom med en skillnad på kontanttermen, har samma derivata. Det i sin tur leder till att vi får samtliga primitiva funktioner genom att lägga till en konstant $C$C i uttrycket.
Vad är ett villkor?
Ett villkor är något som ska gälla. I samband med primitiva funktioner handlar det ofta om att du ska bestämma konstanten $C$C så att funktionen går i genom en given punkt eller har någon tangent med en bestämt lutning i en punkt.
Metod för att ta fram primitiva funktion med villkor
Idén med att beräkna primitiva funktioner med villkor är att bestämma konstanten $C$C. Detta kan vara en metod att följa.
- Ta fram en primitiv funktion.
- Lägg till en konstant $C$C.
- Använd villkoret för ställa upp en ekvation för att bestämma konstanten.
- Ange den fullständiga primitiva funktionen med den beräknade konstanten.
Exempel 1
Bestäm $F\left(x\right)$F(x) då $f(x)=2x$ƒ (x)=2x och $F\left(2\right)=3$F(2)=3
Lösning
Enligt regeln ska vi addera exponenten med ett och sedan dividera med den nya exponenten. Till sist adderar vi en konstant. Vi får att den primitiva funktionen är
$F(x)=x^2+C$F(x)=x2+C
Vi sätter nu in villkoret $F\left(2\right)=3$F(2)=3 för att bestämma $C$C.
$3=2^2+C$3=22+C
$3=4+C$3=4+C
$C=-1$C=−1
Vår sökta funktion är $F\left(x\right)=x^2-1$F(x)=x2−1
Exempel 2
Bestäm $F\left(x\right)$F(x) då $f(x)=3x^2$ƒ (x)=3x2 och $F\left(2\right)=10$F(2)=10
Lösning
Vi börjar med att bestämma samtliga primitiva funktioner.
$F(x)=x^3+C$F(x)=x3+C
Genom att sätta in punkten $\left(2,\text{ }10\right)$(2, 10) i uttrycket kan vi bestämma $C$C.
$10=2^3+C$10=23+C
$10=8+C$10=8+C
$C=2$C=2
Den primitiva funktion $F\left(x\right)$F(x) som uppfyller villkoret $F\left(2\right)=10$F(2)=10 är $F\left(x\right)=x^3+2$F(x)=x3+2
I kommande lektioner ska vi använda oss av dessa primitiva funktioner för att bestämma areor under kurvor. Dessa areor motsvarar olika saker i tillämpningen, tex hur långt en bil kört eller hur mycket man tjänat under en viss tidsperiod. Men mer om detta i kommande lektioner.
Exempel i videon
- Bestäm den primitiva funktion till $ f(x)=2x^2+2 $ som uppfyller villkoret att $ F(1)=10 $.
- Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x)=sinx+3cosx $ som uppfyller villkoret att $F(0)=\pi$.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (6)
-
1. Premium
Vilket värde på $C$C uppfyller villkoret att $F(3)=7$F(3)=7 då $F(x)=x^2+C$F(x)=x2+C ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
Bestäm den primitiva funktion till $f(x)=2x+3x^2$ƒ (x)=2x+3x2 som uppfyller villkoret att $F(1)=-2$F(1)=−2
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
3. Premium
Bestäm den primitiva funktion till $f(x)=2x^3-9$ƒ (x)=2x3−9 som uppfyller villkoret att $F(2)=3$F(2)=3
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Vilket värde på $C$C uppfyller villkoret att $F\left(0\right)=$F(0)= $\frac{5}{4}$54 då $F(x)=e^x+C$F(x)=ex+C?
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 3 Primitiva Funktioner med villkor Primitiva funktioner och integralerRättar...5. Premium
Bestäm den primitiva funktion till $f(x)=e^{2x}$ƒ (x)=e2x som uppfyller villkoret $F(0)=10$F(0)=10
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Bestäm den primitiva funktion till $f(x)=$ƒ (x)=$\frac{4}{\sqrt{x}}$4√x som uppfyller villkoret $F(4)=16$F(4)=16
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (2)
-
7. Premium
Bestäm den primitiva funktion till $f(x)=12x^3+4x$ƒ (x)=12x3+4x vars graf går genom punkten $(1,\text{ }0)$(1, 0).
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Primitiv funktion med villkorRättar...8. Premium
Mellan åren $2005$2005 och $2015$2015 ökade befolkningen i en stad exponentiellt enligt funktionen $N'(t)=18e^{-0,18t}$N’(t)=18e−0,18t , $t$t år efter $2005$2005. År $2005$2005 bodde det $18\text{ }000$18 000 invånare i staden.
Vilken beräkning nedan ger dig möjligheten att beräkna folkmängden år $2010$2010?
Träna på att själv ta fram modellen först utan att kolla på alternativen.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (2)
-
9. Premium
I uppvisningssammanhang har piloter startat det stora passagerarflygplanet Boeing Dreamliner i princip vertikalt rakt uppåt. Liv vill prova att göra samma sak med sitt radiostyrda modellflygplan.
Antag att accelerationen i höjdled $a(t)$a(t) m/s² under tidsintervallet $0\le t\le5$0≤t≤5 kan beskrivas med funktionen $a(t)=12+4t$a(t)=12+4t där $t$t motsvarar antalet sekunder efter start.
Bestäm med hjälp av följande information en funktion som beskriver planets höjd $h(t)$h(t) över marken efter $t$t sekunder.
1) $v(2)=25$v(2)=25 m/s där $v(t)$v(t) är planets hastighet rakt uppåt efter $t$t sekunder.
2) $h(0)=0$h(0)=0 m där $h(t)$h(t) är planets höjd över marken efter $t$t sekunder.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...10. Premium
Linjen $y=64x-120$y=64x−120 är en tangent till funktionen $F\left(x\right)$F(x). Bestäm $F\left(x\right)$F(x) då funktionen $F\left(x\right)$F(x) även är en primitiv funktion till $f\left(x\right)=8x^3$ƒ (x)=8x3 .
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan Primitiv funktion tangentens lutningRättar... -
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Anonym
Jag skrev -x^2+6x+C men det visades som fel svar. Men i facit står det att jag kan skriva så. Blir förvirrat när det säger två olika saker!
Simon Rajak
Hej!
Jag har en fråga angående fråga 9?
Ni får att C = -8
Men hur det möjligt?
8 = 32 + C
C = -24
Den primitiva funktion skall väll vara?
F(x) = 2x^4-24
Eller har jag fel?
Rasmus Mononen
Uppgift 5 och uppgift 8:
Svaret i uppgift 5 står idag som f(x), men det är en primitiv funktion som söks, och i genomgång skrivs primitiv funktion som F(x). Sen får man fel om man skriver x^1/2 istället för rotenurx.
I uppgift 8 är funktionen v(2)=25 given, men i funktionen är siffran 5 instoppad, vilket ger -85 istället för -7 som man får om man stoppar in siffran 2 i funktionen.
// Rasmus
Henning Wennberg
Hej, har fastnat på två uppgifter som jag hoppas ni kan hjälpa mig med.
1.Bestäm den primitiva funktionen F(x) till f(x)= (2x+1/2)^2?
2 .Bestäm den primitiva funktion F(x) till f (x) = 2 − e^-x som uppfyller villkoret F(0) = −1.
Tack på förhand!
sofia_becklund@hotmail.com
Men vart kommer fyran ifrån i 4+C= 10?
Haha fattar inte 🙂
Och vad menar du med ”det andra villkoret”?
Mvh
Pedro Veenekamp
Villkoret säger att f(2)=10m då sätter vi x=2 i funktionen f(x)=2x+C
Alltså f(2)=2*2+C=4+C som blir då 10 -> 10= 4+C
Andra villkoret är att primitiva funktionen av f(x) som representeras F(x) är lika med 20 när x=5 -> F(5)=20
sofia_becklund@hotmail.com
Hej!
Jag har fastnat på en uppgift som ser ut såhär:
Om en funktion f vet man följande: f´(x)=2, f(2)= 10 och F(5)=20. Bestäm F.
Hur ska jag bestämma F?
Mvh
Simon Lundblad Roth
Hej, har problem med denna. Skulle jag kunna få lite vägledning.
Bestäm den primitiva funktion F(x) till funktionen f(x)=x+x^3/3, som uppfyller villkoret F(-1)=1
Gitte Timan
Exemplen med primitiva funktionen till sinx och cosx hör inte hemma i Ma3c
yussuf
Bra video, men sista exemplet är inte uppdaterat med trean så det blir F(x)= – cos x + 3 sin x + pi +1. Jag fastnade lite och funderade på detta så därför detta påpekande:)
nti_ma3
Hej varför blir det F(x)= -cos x + sin x + pi + 1, borde det inte var 3 sin x, eftersom f(x)=sin x + 3 cos x?
MvH Fredrik
nti_ma3
Nu var jag otydlig, menar alltså F(x)= – cos x + 3 sin x + pi +1.
Cressell
Hej,
på testa dig själv-delen undrar jag varför primitiva funktionen av sin(2x) blir -cos 2x/2 och inte bara -cos2x? Varför ska man även dela det med konstanten framför variabeln, ifall det finns en sådan?
Cressell
Hittade svaret när jag såg videon om Kedjeregeln 🙂
soulpat
03:40 in i videon. Blir inte -cos(pi)=1? Det står -1 i videon.
Jag tänker såhär: -(-1)=1
soulpat
Nu tänkte jag helt fel. Glöm min fråga 🙂
BE
Hej! Jag undrar vart 3an framför sin försvinner?
/ BE
BE
Alright, nu hänger jag med! Tack! 🙂
Endast Premium-användare kan kommentera.