...
Kurser Alla kurser Min kurs Min sida Min sida Provbank Mina prov Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook X (Twitter) Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 4
 /   Derivata

Tillämpningar med kedjeregeln - E-uppgifter

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Vissa händelseförlopp beskriver man bäst med en matematisk modell som är en sammanslagning av flera olika funktioner. Dessa funktioner kallar man för sammansatta funktioner och de består av så kallade inre och yttre funktioner. När man deriverar dessa använder man kedjeregeln.

För att tydligare se sambanden mellan olika variabler och förändringshastigheter i de sammansatta funktionerna kan man med fördel använda följande skrivsätt.

Om ballongens radie ökar med tiden, så kommer så klart även ballongens volym att öka. Vi tittar här nedan i ett exempel på hur vi använder sambandet mellan förändringen av volymen och radien beroende av hur lång tid vi fyller ballongen med luft.

Men först repeterar vi vad vi gått igenom tidigare.

Förändringshastigheter och derivata

Beräkningarna nedan med kedjeregeln bygger på kunskap som vi gått igenom i tidigare lektioner. Återvänd till dem om du känner dig osäker.

Sammansatta funktioner

Funktionen $y=f(g(x))$y=ƒ (g(x)) är en sammansatt funktion där $f(g(x))$ƒ (g(x)) är den yttre funktionen och $g(x)$g(x) är den inre funktionen.

En sammansatt funktion kan även skrivas med tecknet , en mittplacerad ring som uttalas ”boll”.

$f\text{ }\text{∘}\text{ }g\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$ƒ  g(x)=ƒ (g(x))

Olika sätt att beskriva derivata

När vi jobbar med sammansatta funktioner och gör tillämpningar med kedjeregeln, är det viktigt att veta vilken variabel som vi deriverar med avseende på. Vi repeterar kedjeregeln.

Kedjeregeln

Derivatan av en sammansatt funktion ges av kedjeregeln vilken säger att
$y´=f´(g(x))\cdot g´(x)$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)

där

$f´(g(x))$ƒ ´(g(x)) kallas den yttre derivatan och $g´(x)$g´(x) den inre derivatan.

Här deriverar vi med avseende på variabeln $x$x.

När vi deriverar sammansatta funktioner med kedjeregeln ser vi alla andra variabler än den variabel du deriverar med avseende på, som konstanter och behandlar dem som detta.

Just vid tillämpning med sammansatta funktioner är det vanligt att man använder följande skrivsätt istället. Detta för att öka tydlighet och förhoppningsvis minska förvirring mellan olika variabler i uttrycken. Vi skriver istället

Kedjeregeln

Derivatan av en sammansatt funktion ges av kedjeregeln vilken säger att

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}$dydx =dydz ·dzdx 

där

$\frac{dy}{dz}$dydz   kallas den yttre derivatan och $\frac{dz}{dx}$dzdx  den inre derivatan.

Detta skrivsätt kallas Leibniz notation och är uppkallad efter en tysk 1700-talsfilosof och matematiker vid namn Gottfried Wilhelm Leibniz. Till exempel motsvarar symbolen $dx$dx ”delta x”  som även skrivs som $\bigtriangleup x$x och som du förhoppningsvis bekantat dig med i arbetet med den räta linjens lutning. ”Delta” motsvarar då ”förändringen av…”  till exempel $x$x.

Tillämpning av Kedjeregeln

Om vi exempelvis har ett klot vars radie ökar med avseende på tiden, ökar indirekt även volymen på klotet med tiden. Låt säga att vi vid ett experiment vill veta förändringshastigheten på volymen, men bara lyckas mäta hur snabbt radien ökar i längd. Hur gör vi då?

Förändringshastigheten av volymen motsvarar då en sammansatt funktion där volymen beror av radien $r$r som i sin tur beror av tiden $t$t. Om vi deriverar funktionsuttrycket som beskriver volymen $V$V, får vi då förändringshastigheten med avseende på radien eller tiden?

Ja, det beror ju på vilken variabel vi deriverar med avseende på!

Kvoten $\frac{dV}{dt}$dVdt  ger förhållandet mellan förändringen av volymen och tiden, det vi kallar ändringskvoten eller förändringshastigheten. Denna förändringshastighet skriver vi om med en inre funktion. Volymen med avseende på radien är den yttre funktionen och radien med avseende på tiden den inre. Vi ”trycker” liksom in förändringshastigheten av radien i uttrycket.

Vi uttrycker volymens förändringshastighet med avseende på tiden med hjälp av kedjeregeln så här.

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{\color{red}dr}\color{black}\cdot\frac{\color{red}dr}{\color{black}dt}$dVdt =dVdr ·drdt 

Detta använder du nu för att bestämma radiens och volymens förändringshastigheter vid olika tidpunkter.

Lär dig med exempel

Detta verkar kanske lite förvirrande till en början men ge inte upp! Jobba igen några exempel flera gånger så kommer troligtvis hitta systemet och se att det inte är så omöjligt krångligt i alla fall.

Exempel 1

Radien på en klotformad ballong ökar med hastigheten $2$2 cm/minut. Bestäm hur snabbt volymen $V$V ökar just i vid den tidpunkt då radien är $3$3 cm.

Lösning

Vi löser uppgiften genom att göra en förenklad modell av ballongen, där volymen beskrivs med ett exakt klot, även om så troligen inte är fallet. Vi bestämmer nu hur snabbt volymen ökar, det vill säga $\frac{dV}{dt}$dVdt .

Men informationen vi får utgår från förändringshastigheten på radien. Så vi använder kedjereglen och får ett samband genom att multiplicera förändringshastigheten av volymen med avseende på radien med förändringshastigheten av radien med avseende på tiden.

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$dVdt =dVdr ·drdt 

Förändringshastigheten för klotets volym med avseende på radien är

$\frac{dV}{dr}=$dVdr = $4\pi r^2$4πr2

eftersom att volymen för ett klot ges av $V=$V=$\frac{4\pi r^3}{3}$4πr33  och derivatan då är

$\frac{dV}{dr}=$dVdr =$\frac{3\cdot4\cdot\pi\cdot r^2}{3}=$3·4·π·r23 =$4\cdot\pi\cdot r^2$4·π·r2

Förändringshastigheten av radien med avseende på tiden är $\frac{dr}{dt}=$drdt =$2$2 cm/minut.

Nu bestämmer vi förändringshastigheten exakt då radien är $3$3 cm genom att sätta vi in $r=3$r=3 och ovanstående beräkningar av derivatorna i uttrycket.

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=$dVdt =dVdr ·drdt =$4\pi\cdot3^2\cdot2\approx226$4π·32·2226

Alltså gäller att ballongens volym ökar med ca $226$226 cm$^3$3/min

Ett exempel till

Vi tittar på ett liknande exempel. Om sidan för en kub minskar med tiden så kommer volymen för kuben förstås även den att minska.

Vi ställer upp sambandet

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}$dVdt =dVds ·dsdt 

Det vill säga förändringshastigheten av volymen med avseende på tiden, är lika med förändringshastigheten av volymen med avseende på sidans längd som i sin tur förändras med avseende på tiden.

Exempel 2

Volymen för en viss kub minskar i ett tidsintervall med $8$8 m$^3$3/h.

Bestäm hur snabbt sidan $s$s minskar då denna vid en tidpunkt är $10$10 m.

Lösning

Vi ska beräkna $\frac{ds}{dt}$dsdt  då  $s=10$s=10.

Att kubens volym minskar anger vi som ett negativ tal.

$\frac{dV}{dt}=$dVdt =$-8$8 m$^3$3/h

Volymen hos en kub anges med  $v=s^3$v=s3 och vi får då att

$\frac{dV}{ds}=$dVds =$3$3 s$^2$2

Vi kan då ställa upp sambandet

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}$dVdt =dVds ·dsdt 

och ersätter med värden

$-8=300\cdot$8=300·$\frac{ds}{dt}$dsdt 

vilket ger att

$\frac{ds}{dt}=\frac{-8}{300}\approx$dsdt =8300 $-0,03$0,03

Alltså gäller att sidan minskar med $0,03$0,03 m/h eller  $3$3

Vid tillämpning motsvarar ett negativ tal en minskning och vi byter då ut minustecknet mot ordet minskar i svaret.

Kommentarer

Nils Nyberg

Hej!
Grym hemsida! Det var ett tag sedan jag gick i gymnasiet och jag undrar varför enheterna omvandlas från centimeter/sekund till (kubik)centimeter/sekund osv.

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Hej Nils,

    kul att Eddler kan hjälpa dig.
    Kolla in denna lektion där teoritexten nämner lite om derivatans enheter.

    Problemlösning med Derivatan


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Volymen $V$V för en sfär som ändras med avseende på tiden $t$t  kan beskrivas med sambandet

    $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$dVdt =dVdr ·drdt  

    Ange vilket alternativ som beskriver  $\frac{dV}{dt}$dVdt 

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Volymen $V$V för en sfär som ändras med avseende på tiden $t$t  kan beskrivas med sambandet

    $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$dVdt =dVdr ·drdt  

    Ange vilket alternativ som beskriver $\frac{dr}{dt}$drdt 

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Bestäm  $\frac{dV}{dr}$dVdr  om  $V=$V=$\frac{4\pi r^3}{3}$4πr33  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Volymen $V$V för en cylinder beräknas med formeln  $V=\pi r^2h$V=πr2h  där $r$r är radien och $h$h höjden.

    Bestäm derivatan av volymen med avseende på höjden.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M 1
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Siv kastar en sten i sjön. Runt platsen där stenen träffade vattenytan utbreder sig en cirkelformad lite svallvåg. 

    Sambandet mellan areans förändringshastighet $\frac{dA}{dt}$dAdt  och radiens förändringshastighet $\frac{dr}{dt}$drdt  ges av  $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$dAdt =dAdr ·drdt 

    a) Vilket alternativ motsvarar ett uttryck för arenas förändringshastighet uttryckt med radien $r$r.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: kedjereglen tillämpning
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Siv kastar en sten i sjön. Runt platsen där stenen träffade vattenytan utbreder sig en cirkelformad lite svallvåg. 

    Sambandet mellan areans förändringshastighet $\frac{dA}{dt}$dAdt  och radiens förändringshastighet $\frac{dr}{dt}$drdt  ges av  $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$dAdt =dAdr ·drdt 

    Svallvågens radie ökar med en konstant hastighet på $1,5$1,5  m/s.

    b) Med vilken hastighet ökar svallvågens area runt platsen där stenen träffade vattenytan när radien är $4$4 meter?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Derivata kedjeregeln tillämpning
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Volymen för en viss kub minskar i ett tidsintervall med $3$3 cm$^3$3/min.

    Bestäm hur snabbt sidan $s$s minskar då denna vid en tidpunkt är $5$5 cm.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: derivatan kedjeregeln
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Ett rätblock har bredden $10$10 cm och djupet $5$5 cm. Höjden minskar med $0,3$0,3 mm per sekund och är vid en viss tidpunkt $12$12 cm.

    Beräkna förändringshastigheten av volymen med avseende på tiden vid just denna tidpunkt.

    Ange med en decimals noggrannhet med enheten cm^3/s.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Derivata kedjeregeln
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (1)

  • 9. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    En cylinderformad silo används för att förvara säd. Silons radie är $5$5 meter. När silon töms görs det med hastigheten $3$3 m$^3$3 säd per minut. 

    Hur förändras höjden på säden i silon under tiden den töms?

    Ange svaret med två decimalers noggrannhet med enheten m/min.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se