Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Derivata
Tillämpningar med kedjeregeln - E-uppgifter
Innehåll
Vissa händelseförlopp beskriver man bäst med en matematisk modell som är en sammanslagning av flera olika funktioner. Dessa funktioner kallar man för sammansatta funktioner och de består av så kallade inre och yttre funktioner. När man deriverar dessa använder man kedjeregeln.
För att tydligare se sambanden mellan olika variabler och förändringshastigheter i de sammansatta funktionerna kan man med fördel använda följande skrivsätt.
Om ballongens radie ökar med tiden, så kommer så klart även ballongens volym att öka. Vi tittar här nedan i ett exempel på hur vi använder sambandet mellan förändringen av volymen och radien beroende av hur lång tid vi fyller ballongen med luft.
Men först repeterar vi vad vi gått igenom tidigare.
Förändringshastigheter och derivata
Beräkningarna nedan med kedjeregeln bygger på kunskap som vi gått igenom i tidigare lektioner. Återvänd till dem om du känner dig osäker.
Sammansatta funktioner
Funktionen $y=f(g(x))$y=ƒ (g(x)) är en sammansatt funktion där $f(g(x))$ƒ (g(x)) är den yttre funktionen och $g(x)$g(x) är den inre funktionen.
En sammansatt funktion kan även skrivas med tecknet ∘, en mittplacerad ring som uttalas ”boll”.
$f\text{ }\text{∘}\text{ }g\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$ƒ ∘ g(x)=ƒ (g(x))
Olika sätt att beskriva derivata
När vi jobbar med sammansatta funktioner och gör tillämpningar med kedjeregeln, är det viktigt att veta vilken variabel som vi deriverar med avseende på. Vi repeterar kedjeregeln.
Kedjeregeln
Derivatan av en sammansatt funktion ges av kedjeregeln vilken säger att
$y´=f´(g(x))\cdot g´(x)$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)
där
$f´(g(x))$ƒ ´(g(x)) kallas den yttre derivatan och $g´(x)$g´(x) den inre derivatan.
Här deriverar vi med avseende på variabeln $x$x.
När vi deriverar sammansatta funktioner med kedjeregeln ser vi alla andra variabler än den variabel du deriverar med avseende på, som konstanter och behandlar dem som detta.
Just vid tillämpning med sammansatta funktioner är det vanligt att man använder följande skrivsätt istället. Detta för att öka tydlighet och förhoppningsvis minska förvirring mellan olika variabler i uttrycken. Vi skriver istället
Kedjeregeln
Derivatan av en sammansatt funktion ges av kedjeregeln vilken säger att
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}$dydx =dydz ·dzdx
där
$\frac{dy}{dz}$dydz kallas den yttre derivatan och $\frac{dz}{dx}$dzdx den inre derivatan.
Detta skrivsätt kallas Leibniz notation och är uppkallad efter en tysk 1700-talsfilosof och matematiker vid namn Gottfried Wilhelm Leibniz. Till exempel motsvarar symbolen $dx$dx ”delta x” som även skrivs som $\bigtriangleup x$△x och som du förhoppningsvis bekantat dig med i arbetet med den räta linjens lutning. ”Delta” motsvarar då ”förändringen av…” till exempel $x$x.
Tillämpning av Kedjeregeln
Om vi exempelvis har ett klot vars radie ökar med avseende på tiden, ökar indirekt även volymen på klotet med tiden. Låt säga att vi vid ett experiment vill veta förändringshastigheten på volymen, men bara lyckas mäta hur snabbt radien ökar i längd. Hur gör vi då?
Förändringshastigheten av volymen motsvarar då en sammansatt funktion där volymen beror av radien $r$r som i sin tur beror av tiden $t$t. Om vi deriverar funktionsuttrycket som beskriver volymen $V$V, får vi då förändringshastigheten med avseende på radien eller tiden?
Ja, det beror ju på vilken variabel vi deriverar med avseende på!
Kvoten $\frac{dV}{dt}$dVdt ger förhållandet mellan förändringen av volymen och tiden, det vi kallar ändringskvoten eller förändringshastigheten. Denna förändringshastighet skriver vi om med en inre funktion. Volymen med avseende på radien är den yttre funktionen och radien med avseende på tiden den inre. Vi ”trycker” liksom in förändringshastigheten av radien i uttrycket.
Vi uttrycker volymens förändringshastighet med avseende på tiden med hjälp av kedjeregeln så här.
$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{\color{red}dr}\color{black}\cdot\frac{\color{red}dr}{\color{black}dt}$dVdt =dVdr ·drdt
Detta använder du nu för att bestämma radiens och volymens förändringshastigheter vid olika tidpunkter.
Lär dig med exempel
Detta verkar kanske lite förvirrande till en början men ge inte upp! Jobba igen några exempel flera gånger så kommer troligtvis hitta systemet och se att det inte är så omöjligt krångligt i alla fall.
Exempel 1
Radien på en klotformad ballong ökar med hastigheten $2$2 cm/minut. Bestäm hur snabbt volymen $V$V ökar just i vid den tidpunkt då radien är $3$3 cm.
Lösning
Vi löser uppgiften genom att göra en förenklad modell av ballongen, där volymen beskrivs med ett exakt klot, även om så troligen inte är fallet. Vi bestämmer nu hur snabbt volymen ökar, det vill säga $\frac{dV}{dt}$dVdt .
Men informationen vi får utgår från förändringshastigheten på radien. Så vi använder kedjereglen och får ett samband genom att multiplicera förändringshastigheten av volymen med avseende på radien med förändringshastigheten av radien med avseende på tiden.
$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$dVdt =dVdr ·drdt
Förändringshastigheten för klotets volym med avseende på radien är
$\frac{dV}{dr}=$dVdr = $4\pi r^2$4πr2
eftersom att volymen för ett klot ges av $V=$V=$\frac{4\pi r^3}{3}$4πr33 och derivatan då är
$\frac{dV}{dr}=$dVdr =$\frac{3\cdot4\cdot\pi\cdot r^2}{3}=$3·4·π·r23 =$4\cdot\pi\cdot r^2$4·π·r2
Förändringshastigheten av radien med avseende på tiden är $\frac{dr}{dt}=$drdt =$2$2 cm/minut.
Nu bestämmer vi förändringshastigheten exakt då radien är $3$3 cm genom att sätta vi in $r=3$r=3 och ovanstående beräkningar av derivatorna i uttrycket.
$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=$dVdt =dVdr ·drdt =$4\pi\cdot3^2\cdot2\approx226$4π·32·2≈226
Alltså gäller att ballongens volym ökar med ca $226$226 cm$^3$3/min
Ett exempel till
Vi tittar på ett liknande exempel. Om sidan för en kub minskar med tiden så kommer volymen för kuben förstås även den att minska.
Vi ställer upp sambandet
$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}$dVdt =dVds ·dsdt
Det vill säga förändringshastigheten av volymen med avseende på tiden, är lika med förändringshastigheten av volymen med avseende på sidans längd som i sin tur förändras med avseende på tiden.
Exempel 2
Volymen för en viss kub minskar i ett tidsintervall med $8$8 m$^3$3/h.
Bestäm hur snabbt sidan $s$s minskar då denna vid en tidpunkt är $10$10 m.
Lösning
Vi ska beräkna $\frac{ds}{dt}$dsdt då $s=10$s=10.
Att kubens volym minskar anger vi som ett negativ tal.
$\frac{dV}{dt}=$dVdt =$-8$−8 m$^3$3/h
Volymen hos en kub anges med $v=s^3$v=s3 och vi får då att
$\frac{dV}{ds}=$dVds =$3$3 s$^2$2
Vi kan då ställa upp sambandet
$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}$dVdt =dVds ·dsdt
och ersätter med värden
$-8=300\cdot$−8=300·$\frac{ds}{dt}$dsdt
vilket ger att
$\frac{ds}{dt}=\frac{-8}{300}\approx$dsdt =−8300 ≈$-0,03$−0,03
Alltså gäller att sidan minskar med $0,03$0,03 m/h eller $3$3
Vid tillämpning motsvarar ett negativ tal en minskning och vi byter då ut minustecknet mot ordet minskar i svaret.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (8)
-
1. Premium
Volymen $V$V för en sfär som ändras med avseende på tiden $t$t kan beskrivas med sambandet
$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$dVdt =dVdr ·drdt
Ange vilket alternativ som beskriver $\frac{dV}{dt}$dVdt
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata förändringshastigheter kedjeregelnRättar... -
2. Premium
Volymen $V$V för en sfär som ändras med avseende på tiden $t$t kan beskrivas med sambandet
$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$dVdt =dVdr ·drdt
Ange vilket alternativ som beskriver $\frac{dr}{dt}$drdt
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata förändringshastigheter kedjeregelnRättar... -
3. Premium
Bestäm $\frac{dV}{dr}$dVdr om $V=$V=$\frac{4\pi r^3}{3}$4πr33
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata förändringshastigheter kedjeregelnRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Volymen $V$V för en cylinder beräknas med formeln $V=\pi r^2h$V=πr2h där $r$r är radien och $h$h höjden.
Bestäm derivatan av volymen med avseende på höjden.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata förändringshastigheter kedjeregelnRättar...5. Premium
Siv kastar en sten i sjön. Runt platsen där stenen träffade vattenytan utbreder sig en cirkelformad lite svallvåg.
Sambandet mellan areans förändringshastighet $\frac{dA}{dt}$dAdt och radiens förändringshastighet $\frac{dr}{dt}$drdt ges av $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$dAdt =dAdr ·drdt
a) Vilket alternativ motsvarar ett uttryck för arenas förändringshastighet uttryckt med radien $r$r.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sammansatta funktioner och kedjeregelnLiknande uppgifter: kedjereglen tillämpningRättar...6. Premium
Siv kastar en sten i sjön. Runt platsen där stenen träffade vattenytan utbreder sig en cirkelformad lite svallvåg.
Sambandet mellan areans förändringshastighet $\frac{dA}{dt}$dAdt och radiens förändringshastighet $\frac{dr}{dt}$drdt ges av $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$dAdt =dAdr ·drdt
Svallvågens radie ökar med en konstant hastighet på $1,5$1,5 m/s.
b) Med vilken hastighet ökar svallvågens area runt platsen där stenen träffade vattenytan när radien är $4$4 meter?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sammansatta funktioner och kedjeregelnLiknande uppgifter: Derivata kedjeregeln tillämpningRättar...7. Premium
Volymen för en viss kub minskar i ett tidsintervall med $3$3 cm$^3$3/min.
Bestäm hur snabbt sidan $s$s minskar då denna vid en tidpunkt är $5$5 cm.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sammansatta funktioner och kedjeregelnLiknande uppgifter: derivatan kedjeregelnRättar...8. Premium
Ett rätblock har bredden $10$10 cm och djupet $5$5 cm. Höjden minskar med $0,3$0,3 mm per sekund och är vid en viss tidpunkt $12$12 cm.
Beräkna förändringshastigheten av volymen med avseende på tiden vid just denna tidpunkt.
Ange med en decimals noggrannhet med enheten cm^3/s.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sammansatta funktioner och kedjeregelnLiknande uppgifter: Derivata kedjeregelnRättar...c-uppgifter (1)
-
9. Premium
En cylinderformad silo används för att förvara säd. Silons radie är $5$5 meter. När silon töms görs det med hastigheten $3$3 m$^3$3 säd per minut.
Hur förändras höjden på säden i silon under tiden den töms?
Ange svaret med två decimalers noggrannhet med enheten m/min.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Sammansatta funktioner och kedjeregelnLiknande uppgifter: Derivata förändringshastighet kedjeregelnRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Nils Nyberg
Hej!
Grym hemsida! Det var ett tag sedan jag gick i gymnasiet och jag undrar varför enheterna omvandlas från centimeter/sekund till (kubik)centimeter/sekund osv.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Nils,
kul att Eddler kan hjälpa dig.
Kolla in denna lektion där teoritexten nämner lite om derivatans enheter.
Problemlösning med Derivatan
Endast Premium-användare kan kommentera.