Tillämpningar med kedjeregeln - E-uppgifter

Beräkningarna nedan med kedjeregeln bygger på kunskap som vi gått igenom i tidigare lektioner. Återvänd till dem om du känner dig osäker.

En sammansatt funktion kan även skrivas med tecknet ∘, en mittplacerad ring som uttalas ”boll”.

$f\text{ }\text{∘}\text{ }g\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$ƒ  ∘ g(x)=ƒ (g(x))

När vi jobbar med sammansatta funktioner och gör tillämpningar med kedjeregeln, är det viktigt att veta vilken variabel som vi deriverar med avseende på. Vi repeterar kedjeregeln.

Här deriverar vi med avseende på variabeln $x$x.

När vi deriverar sammansatta funktioner med kedjeregeln ser vi alla andra variabler än den variabel du deriverar med avseende på, som konstanter och behandlar dem som detta.

Just vid tillämpning med sammansatta funktioner är det vanligt att man använder följande skrivsätt istället. Detta för att öka tydlighet och förhoppningsvis minska förvirring mellan olika variabler i uttrycken. Vi skriver istället

Detta skrivsätt kallas Leibniz notation och är uppkallad efter en tysk 1700-talsfilosof och matematiker vid namn Gottfried Wilhelm Leibniz. Till exempel motsvarar symbolen $dx$‍dx ”delta x”  som även skrivs som $\bigtriangleup x$△x och som du förhoppningsvis bekantat dig med i arbetet med den räta linjens lutning. ”Delta” motsvarar då ”förändringen av…”  till exempel $x$x.

Om vi exempelvis har ett klot vars radie ökar med avseende på tiden, ökar indirekt även volymen på klotet med tiden. Låt säga att vi vid ett experiment vill veta förändringshastigheten på volymen, men bara lyckas mäta hur snabbt radien ökar i längd. Hur gör vi då?

Förändringshastigheten av volymen motsvarar då en sammansatt funktion där volymen beror av radien $r$r som i sin tur beror av tiden $t$t. Om vi deriverar funktionsuttrycket som beskriver volymen $V$V, får vi då förändringshastigheten med avseende på radien eller tiden?

Ja, det beror ju på vilken variabel vi deriverar med avseende på!

Kvoten $\frac{dV}{dt}$dVdt  ger förhållandet mellan förändringen av volymen och tiden, det vi kallar ändringskvoten eller förändringshastigheten. Denna förändringshastighet skriver vi om med en inre funktion. Volymen med avseende på radien är den yttre funktionen och radien med avseende på tiden den inre. Vi ”trycker” liksom in förändringshastigheten av radien i uttrycket.

Vi uttrycker volymens förändringshastighet med avseende på tiden med hjälp av kedjeregeln så här.

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{\color{red}dr}\color{black}\cdot\frac{\color{red}dr}{\color{black}dt}$dVdt =dVdr ·drdt 

Detta använder du nu för att bestämma radiens och volymens förändringshastigheter vid olika tidpunkter.

Detta verkar kanske lite förvirrande till en början men ge inte upp! Jobba igen några exempel flera gånger så kommer troligtvis hitta systemet och se att det inte är så omöjligt krångligt i alla fall.

Vi tittar på ett liknande exempel. Om sidan för en kub minskar med tiden så kommer volymen för kuben förstås även den att minska.

Vi ställer upp sambandet

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}$dVdt =dVds ·dsdt 

Det vill säga förändringshastigheten av volymen med avseende på tiden, är lika med förändringshastigheten av volymen med avseende på sidans längd som i sin tur förändras med avseende på tiden.

Vid tillämpning motsvarar ett negativ tal en minskning och vi byter då ut minustecknet mot ordet minskar i svaret.