Nationellt prov Matematik 4 ht 2015 del D

Bestäm $f’\left(\frac{\pi}{5}\right)$ƒ ’(π5 ) om $f\left(x\right)=2\cos3x$ƒ (x)=2cos3x. Svara med två decimaler.

Endast svar krävs

Figuren visar kurvan $y=x+2\text{ }\cos x$y=x+2 cosx  och linjen $y=3$y=3 samt deras skärningspunkt $P$P.

Bestäm lutningen på kurvan $y=x+2\text{ }\cos x$y=x+2 cosx  i punkten $P$P.
Svara med minst tre värdesiffror.

Pariserhjulet London Eye har en diameter på $135$135 meter och ett varv tar $30$30 minuter.

En gondols höjd över marken kan beskrivas med funktionen 

 $h\left(t\right)=67,5\text{ }\sin\left(0,209t-1,57\right)+70$h(t)=67,5 sin‍(0,209t−1,57)+70  ;   $0\le t\le30$0≤t≤30 

där $h$h är höjden över marken i meter och $t$t är tiden i minuter efter start.

a) Vilken är gondolens största höjd över marken?
     Endast svar krävs

b) Bestäm hur lång tid gondolen är minst $40$40 m över marken under ett varv.

Frida får ett läkemedel mot högt blodtryck. Hur snabbt läkemedlet bryts ner av kroppen kan beskrivas med differentialekvationen

$\frac{\text{d}m}{\text{d}t}=$dmdt =$k\cdot m$k·m 

där $k$k är en konstant och $m$m mg är mängden läkemedel i kroppen $t$t timmar efter att hon fått medicinen.

a) Visa att $m\left(t\right)=C\cdot e^{kt}$m(t)=C·e^kt är en lösning till differentialekvationen.

b) När Frida tar en tablett blir mängden läkemedel i hennes kropp $100$100 mg. Efter $1$1 timme har mängden minskat till $90$90 mg. Bestäm konstanterna $C$C och $k$k för funktionen $m\left(t\right)=C\cdot e^{kt}$m(t)=C·e^kt detta fall.

c) Bestäm hur lång tid det tar för Fridas kropp att bryta ner $90\text{ }\%$90 % av en given mängd läkemedel om inget nytt läkemedel tillförs.

Figuren visar graferna till funktionerna $y=e^{\sqrt{x}}-2x$y=e^√x−2x och  $y=\sqrt{x}$y=√x.
Funktionernas grafer och x-axeln begränsar det skuggade området i figuren.

Beräkna arean av det skuggade området.
Svara med minst tre värdesiffror.

En tom tank ska fyllas med vatten. Under de första $10$10 minuterna är påfyllningshastigheten konstant, $90$90  liter/minut. Under de följande $15$15 minuterna sjunker påfyllningshastigheten på grund av minskat vattentryck. Därefter är påfyllningshastigheten konstant $30$30 liter/minut.

Grafen visar hur påfyllningshastigheten $y$y liter/minut beror av tiden $x$x minuter. Under den tid då vattentrycket sjunker ges påfyllningshastigheten av funktionen  $y=$y=$\frac{1000}{x}-$1000x −$10$10 

Bestäm hur lång tid det tar att fylla tanken med $2000$2000 liter vatten.

Ett område begränsas av kurvan $y=x^2-4$y=x²−4 och linjen $y=5$y=5.
Bestäm volymen som bildas när detta område roterar runt linjen $y=5$y=5 

En laserpekare är placerad på en roterande skiva. Där laserstrålen från laserpekaren träffar en vägg syns en röd ljuspunkt. Avståndet mellan väggen och den roterande skivans mittpunkt är $L$L meter. Vid tiden $t=0$t=0 lyser
laserstrålen vinkelrätt mot väggen, se figur 1.

Skivan med laserpekaren roterar så att den röda ljuspunkten rör sig åt höger på väggen. Vid tiden $t$t sekunder har skivan roterat vinkeln $v$v radianer och ljuspunkten rört sig sträckan $x$x meter längs väggen. Se figur 2.

Skivan roterar med konstant vinkelhastighet $C$C radianer/s så att $v=C\cdot t$v=C·t

Ljuspunkten rör sig längs väggen med hastigheten $\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$dxdt  

Bestäm ett uttryck för hastigheten$\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$dxdt