Nationellt prov Matematik 4 ht 2015 del D

Bestäm $f'\left(\frac{\pi}{5}\right)$ƒ '(π5 ) om $f\left(x\right)=2\cos3x$ƒ (x)=2cos3x. Svara med två decimaler.

Endast svar krävs.

Figuren visar kurvan $y=x+2\text{ }\cos x$y=x+2 cosx  och linjen $y=3$y=3 samt deras skärningspunkt $P$P.

Bestäm lutningen på kurvan $y=x+2\text{ }\cos x$y=x+2 cosx  i punkten $P$P.
Svara med minst tre värdesiffror.

Vilken är gondolens största höjd över marken?
     Endast svar krävs

Bestäm hur lång tid gondolen är minst $40$40 m över marken under ett varv.

Visa att $m\left(t\right)=C\cdot e^{kt}$m(t)=C·e^kt är en lösning till differentialekvationen.

När Frida tar en tablett blir mängden läkemedel i hennes kropp $100$100 mg. Efter $1$1 timme har mängden minskat till $90$90 mg. Bestäm konstanterna $C$C och $k$k för funktionen $m\left(t\right)=C\cdot e^{kt}$m(t)=C·e^kt i detta fall.

Bestäm hur lång tid det tar för Fridas kropp att bryta ner $90\text{ }\%$90 % av en given mängd läkemedel om inget nytt läkemedel tillförs.

Figuren visar graferna till funktionerna $y=e^{\sqrt{x}}-2x$y=e^√x−2x och  $y=\sqrt{x}$y=√x.
Funktionernas grafer och x-axeln begränsar det skuggade området i figuren.

Beräkna arean av det skuggade området.
Svara med minst tre värdesiffror.

En tom tank ska fyllas med vatten. Under de första $10$10 minuterna är påfyllningshastigheten konstant, $90$90  liter/minut. Under de följande $15$15 minuterna sjunker påfyllningshastigheten på grund av minskat vattentryck. Därefter är påfyllningshastigheten konstant $30$30 liter/minut.

Grafen visar hur påfyllningshastigheten $y$y liter/minut beror av tiden $x$x minuter. Under den tid då vattentrycket sjunker ges påfyllningshastigheten av funktionen  $y=$y=$\frac{1000}{x}-$1000x −$10$10 

Bestäm hur lång tid det tar att fylla tanken med $2000$2000 liter vatten.

Ett område begränsas av kurvan $y=x^2-4$y=x²−4 och linjen $y=5$y=5.
Bestäm volymen som bildas när detta område roterar runt linjen $y=5$y=5 

En laserpekare är placerad på en roterande skiva. Där laserstrålen från laserpekaren träffar en vägg syns en röd ljuspunkt. Avståndet mellan väggen och den roterande skivans mittpunkt är $L$L meter. Vid tiden $t=0$t=0 lyser
laserstrålen vinkelrätt mot väggen, se figur 1.

Skivan med laserpekaren roterar så att den röda ljuspunkten rör sig åt höger på väggen. Vid tiden $t$t sekunder har skivan roterat vinkeln $v$v radianer och ljuspunkten rört sig sträckan $x$x meter längs väggen. Se figur 2.

Skivan roterar med konstant vinkelhastighet $C$C radianer/s så att $v=C\cdot t$v=C·t

Ljuspunkten rör sig längs väggen med hastigheten $\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$dxdt  

Bestäm ett uttryck för hastigheten$\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$dxdt