Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 5
/ Differentialekvationer
Vad är en differentialekvation?
Innehåll
Vad är en differentialekvation?
Inom naturvetenskapen används differentialekvationer för att beskriva olika förlopp, till exempel inom fysiken för att bestämma sönderfallshastigheten hos radioaktiva preparat, inom meteorologin för att bestämma luftflöden i en storm eller inom ekonomin för att bestämma tillväxten i ett kapital.
En differentialekvation består av en eller flera derivator av olika ordning och dessa löser vi genom att till exempel titta på de primitiva funktionerna till derivatorna och på så sätt hitta den grundfunktion som hela förloppet bygger på.
Differentialekvation
En differentialekvation är ett samband (en ekvation) mellan en funktion och en eller flera derivator av samma funktion.
Lösa differentialekvationer med primitiv funktion
Nedan följer ett exempel på hur vi tar fram lösningen till en differentialekvation med hjälp av primitiv funktion.
Exempel 1
Ange lösningen till $ y'=3x^2+4 $ då $y(0)=3$
Lösning
En lösning till en differentialekvation är en funktion som ger likhet mellan $VL$VL och $HL$HL . Här söker vi den primitiva funktionen till $y'$y' som uppfyller begynnelsevillkoret $y\left(0\right)=3$y(0)=3.
Vi tar fram alla primitiva funktioner
$ y=x^3+4x+C $
och bestämmer $C$C
$0^3+4\cdot 0+C=3$
$C=3$
Differentialekvationens lösning är alltså $ y=x^3+4x+3$
Exempel 2
Bestäm en lösning till $ y'+6y=0 $.
Lösning
En lösning till en differentialekvation är en funktion som ger likhet mellan $VL$VL och $HL$HL .
Denna ekvation har en lösning $ y=e^{-6x} $ eftersom
$ y'=-6e^{-6x} $ och vi får då att
$VL= y'+6y=-6e^{-6x}+6e^{-6x} = 0=HL$
Vi kommer att se att exponentialfunktioner med basen $e$e återkommer som ett lösningsförslag till differentialekvationerna. Detta beror på att deras derivata ofta är lik ursprungsfunktionen, med undantag för en konstant. Denna konstant kan då ofta tolkas som en procentuell förändring.
Visste du detta?
Differentialekvationer används för att beskriva hur saker förändras över tid – exempelvis hur en population växer, hur ett läkemedel bryts ner i kroppen eller hur en kondensator laddas ur i en elektrisk krets.
Exempel i videon
- Antalet fiskar i ett akvarium ökar med 20 % per år av det aktuella antalet. Beskriv detta med en differentialekvation.
- Lös differentialekvationen $ y'=3x^2+5x-2 $ med villkoret $y(0)=10$.
- Lös differentialekvationen $ y''= 2x+2 $ med villkoren att $y(0)=3$ och $ y(3)=24 $.
- Visa att differentialekvationen $y''-4y'+4y=0$ har lösningen $y=xe^{2x}$.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (8)
-
1. Premium
Differentialekvationen $y'=0,23y$y'=0,23y beskriver hur antalet bilar $y$y på en parkering förändras från klockan 10.00 till 14.00 utanför ett köpcentrum. Klockan 10.00 fanns det 90 bilar på parkeringen.
Vilket påstående beskriver differentialekvationen bäst?
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: DifferentialekvationerRättar... -
2. Premium
Stämmer det att $y=e^x$y=ex är en lösning till differentialekvationen $y''+y'-y=0$y''+y'−y=0 ?
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: DifferentialekvationerRättar... -
3. Premium
Stämmer det att $y=e^{2x}$y=e2x är en lösning till $y''-4y'+4y=0$y''−4y'+4y=0 ?
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: DifferentialekvationerRättar... -
4. Premium
Är $y=2e^{3x}$ en lösning till $y'' - 3y' = 0$?
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Differentialekvationer Matematik 5 Vad är en differentialekvation?Rättar... -
5. Premium
En fågelunge faller från en $8,0$8,0 m hög klippa. För att förenklat beskriva fallrörelsen kan följande differentialekvation ställas upp:
$\frac{dv}{dt}$dvdt $+5v=10$+5v=10 , där $v$v är fallhastigheten i m/s efter tiden $t$t sekunder.
Visa att $v(t)=2-2e^{-5t}$v(t)=2−2e−5t är en lösning till differentialekvationen.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Vad är en differentialekvation?Liknande uppgifter: differentialekvationRättar...6. Premium
Är $y=\sin2x$y=sin2x en lösning till $y''-4y=0$y''−4y=0 ?
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Differentialekvationer Matematik 5 Vad är en differentialekvation?Rättar...7. Premium
Lös differentialekvationen $y'=2x+3$, med villkoret $y(1)=5$.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Differentialekvationer Matematik 5 Vad är en differentialekvation?Rättar...8. Premium
Lös differentialekvationen $y''=6x+4$ med villkoren $y(1)=4$ och $y(3)=40$.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Differentialekvationer Matematik 5 Vad är en differentialekvation?Rättar...c-uppgifter (2)
-
9. Premium
Ett ämne sönderfaller med en hastighet som är proportionell mot den aktuella mängden av ämnet. Vid tiden $t$ sekunder finns $m$ gram av ämnet. Ställ upp en differentialekvation som beskriver sönderfallet.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Differentialekvationer Matematik 5 problemlösning Vad är en differentialekvation?Rättar... -
10. Premium
Nedan presenteras ett antal påståenden. Vilket eller vilka är korrekt(a)?
A. En differentialekvation är en ekvation som beskriver ett samband mellan en okänd funktion och en eller flera okända variabler.
B. $y''+2y'-y$y''+2y'−y är en differentialekvation.
C. Lösningen till en differentialekvation är en funktion.
D. $\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{dy}{dt}=0$d2ydt2 +dydt =0 är en differentialekvation.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Max Söderlind
stiger dte med 20% ska det väl vara 1,2*y och inte 0,2*y(som är minskning med 80%)???
Julia Johnsson
videon 🙂
Tara N.
Hej Simon,
It was very helpful.Du förklarar steg för steg which is a plus:)
Jag hade jättesvårt och förstå vad det egentligen handlar om och hur man ska räkna ut sådana uppgifter.
Nu har jag äntligen förstått begreppet Differentialaekvation.
Tack ska du ha!
Jenny Edgren
Svarsalternativ 3 på fråga två ska vara rätt, inte alternativ 1.
Tack för bra videor, de hjälper mycket!
Sandra Grantelius
Fel svar markerat på fråga 2
Encore
C blir 3? då borde svaret bli y=2x^2+x^3+3 eller?
Endast Premium-användare kan kommentera.