Nationellt prov Matematik 4 ht 2015 del B och C

Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i
provhäftet.

För funktionen $f$ƒ  gäller att  $f\left(x\right)=\sin2x$ƒ (x)=sin2x .

a) Bestäm  $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ƒ (π6 ).

b) Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ ’(x).

Ange de lodräta asymptoterna till  $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{1}{x^2-4}$1x²−4    

Figuren visar ett komplext talplan där talet $z$z är markerat.

a) Bestäm  $\overline{z}$z.

a) Bestäm  $\left|z\right|$|z|.

Figuren visar en sinuskurva.

Bestäm ekvationen för sinuskurvan på formen  $f\left(x\right)=A\sin\left(kx\right)+B$ƒ (x)=Asin(kx)+B.

Figuren visar grafen till  $f\left(x\right)=a+\left|x+b\right|$ƒ (x)=a+|x+b| 

Bestäm konstanterna $a$a och $b$b.

Figuren visar cirkeln $\left|z\right|=1$|z|=1 i det komplexa talplanet. På cirkeln är de fem rötterna $z_1,\text{ }z_2,\text{ }z_3,\text{ }z_4$z₁, z₂, z₃, z₄ och $z_5$z₅ till ekvationen $z^5=\cos50^{\circ}+i\text{ }\sin50^{\circ}$z⁵=cos50^∘+i sin50^∘ markerade.

a) Bestäm $\text{arg}\text{ }z_1$arg z₁ 

a) Bestäm $\text{arg}\text{ }z_3$arg z₃ 

Chen ska derivera funktionen $f$ƒ  . Han ser att funktionen är en produkt. Chen deriverar funktionen och får det korrekta svaret $f’\left(x\right)=2x\cdot\sin x+x^2\cos x$ƒ ’(x)=2x·sinx+x²cosx.

Bestäm funktionen $f$ƒ .

Figurerna A–F visar graferna till sex olika polynomfunktioner.

Två av figurerna A–F visar graferna till polynomfunktioner som är delbara med $x+3$x+3.
Vilka två?

Delprov C: Digitala verktyg är inte tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper.

Visa att $\frac{\sin2x}{2\text{ }\cos x}=$sin2x2 cosx =$\sin x$sinx för alla $x$x där uttrycken är definierade.

Lös ekvationen  $\sin3x=$sin3x=$\frac{1}{2}$12 . Svara i grader.

I de två komplexa talen $z_1=a+ai$z₁=a+ai och  $z_2=\left(a+1\right)+\left(a-1\right)i$z₂=(a+1)+(a−1)i är konstanten $a$a ett reellt tal och  $a>0$a>0.

Visa att $\left|z_1\right|<\left|z_2\right|$|z₁|<|z₂|.

Ekvationen $x^2+ax+b=0$x²+ax+b=0 har en rot $x=1+i\sqrt{3}$x=1+i√3.

Bestäm de reella konstanterna $a$a och $b$b .

En lösning till ekvationen $z^3+2z^2+5z+10=0$z³+2z²+5z+10=0  är $z=-2$z=−2 

Bestäm övriga lösningar till ekvationen.

Undersök hur antalet lösningar till ekvationen $B\text{ }\sin2x=5$B sin2x=5  i intervallet  $0\le x\le2\pi$0≤x≤2π beror av värdet på konstanten $B$B.

Motivera varför ekvationen har det antal lösningar som du påstår för de olika värdena på $B$B.

Bestäm konstanten $a$a så att $\int^{^4}_{_2}\left(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x}\right)$∫⁴₂(1x+2 +1x )$dx=\ln a$dx=lna  

Lös ekvationen $\left|z\right|^2=5z-10i$|z|²=5z−10i 

För funktionerna $f$ƒ  och $g$g gäller att $f\left(x\right)=x^2+3$ƒ (x)=x²+3 och $g\left(x\right)=-x^3+x^2+kx+3$g(x)=−x³+x²+kx+3 , där $k>0$k>0. Graferna till funktionerna $f$ƒ  och $g$g innesluter områdena $A$A och $B$B, se figur.

Visa att arean av $A$A är lika stor som arean av $B$B oavsett värde på $k$k.

Figuren visar en fyrhörning indelad i två rätvinkliga trianglar.

En av fyrhörningens vinklar betecknas $\alpha$α.
Bestäm $\sin\alpha$sinα.