Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Trigonometri och trigonometriska funktioner
Formler för dubbla vinkeln
Formlerna för dubbla vinkeln är användbara vid omskrivningar av trigonometriska uttryck. Formlerna kan härledas från additionsformlerna och trigonometriska ettan.
$\sin2v=2\sin v\cos v$sin2v=2sinvcosv $\cos2v=$cos2v=$\begin{cases} \cos ^2v-\sin ^2v \\ 2\cos^2v-1 \\1-2\sin ^2v \end{cases} $Formler för dubbla vinkeln
Beräkna $2\sin75^{\circ}\cos75^{\circ}$2sin75∘cos75∘ exakt, utan räknare. Vi skriver om med hjälp av formel för dubbla vinkeln: Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbladet, och ser att $\sin150^{\circ}=$sin150∘= $\frac{1}{2}$12 . Exempel 1
Lösning
$2\sin v\cos v=\sin2v$2sinvcosv=sin2v
$2\sin75^{\circ}\cos75^{\circ}=$2sin75∘cos75∘= $\sin2\cdot75^{\circ}=$sin2·75∘= $\sin150^{\circ}$sin150∘
Bestäm $\cos2v$cos2v om $\sin v=$sinv= $\frac{1}{3}$13 . Vi skriver om med hjälp av formel för dubbla vinkeln: Exempel 2
Lösning
$\cos2v=$cos2v= $1-2\sin^2v=$1−2sin2v= $1-2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2=$1−2·(13 )2= $1-2\cdot\frac{1}{9}=$1−2·19 = $\frac{7}{9}$79
Härledning
Formlerna för dubbla vinkeln kan härledas genom att använda additionsformlerna för sinus och cosinus.
$\sin\left(u+v\right)=\sin u\cdot\cos v+\cos u\cdot\sin v$sin(u+v)=sinu·cosv+cosu·sinv
$\text{⇒}$⇒ $\sin2v=$sin2v= $\sin\left(v+v\right)=$sin(v+v)= $\sin v\cos v+\cos v\sin v=$sinvcosv+cosvsinv= $2\sin v\cos v$2sinvcosv
$\cos\left(u+v\right)=\cos u\cdot\cos v-\sin u\cdot\sin v$cos(u+v)=cosu·cosv−sinu·sinv
$\text{⇒}$⇒ $\cos2v=$cos2v= $\cos\left(v+v\right)=$cos(v+v)= $\cos v\cos v-\sin v\sin v=$cosvcosv−sinvsinv= $\cos^2v-\sin^2v$cos2v−sin2v
Trigonometriska ettan ger att $\sin^2v+\cos^2v=1$sin2v+cos2v=1 $\text{⇒}$⇒ $\sin^2v=1-\cos^2v$sin2v=1−cos2v.
Sambandet för $\cos2v$cos2v kan då skrivas om på följande sätt:
$\cos2v=$cos2v= $\cos^2v-\sin^2v=$cos2v−sin2v= $\cos^2v-\left(1-\cos^2v\right)=$cos2v−(1−cos2v)= $2\cos^2v-1$2cos2v−1
Trigonometriska ettan ger också att $\cos^2v=1-\sin^2v$cos2v=1−sin2v.
Sambandet för $\cos2v$cos2v kan då skrivas om på följande sätt:
$\cos2v=$cos2v= $\cos^2v-\sin^2v=$cos2v−sin2v= $1-\sin^2v-\sin^2v=$1−sin2v−sin2v= $1-2\sin^2v$1−2sin2v
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (7)
-
1. Premium
Beräkna $2\left(\cos15^{\circ}\right)^2-1$2(cos15∘)2−1 exakt med hjälp av formel för dubbla vinkeln.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar...2. Premium
Beräkna exakt $\cos2v+\tan v\sin2v$cos2v+tanvsin2v.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar...3. Premium
Förenkla $8\sin3x\cos3x$8sin3xcos3x.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Förenkla $\frac{\sin4x}{\sin2x}$sin4xsin2x .
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar...5. Premium
Visa att $\frac{1-\cos2x}{1+\cos2x}=$1−cos2x1+cos2x = $\tan^2x$tan2x.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar...6. Premium
Visa att $\frac{\cos2v}{\cos v-\sin v}=$cos2vcosv−sinv = $\cos v+\sin v$cosv+sinv .
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar...7. Premium
Visa att $\frac{\sin2x}{2\text{ }\cos x}=$sin2x2 cosx = $\sin x$sinx för alla $x$x där uttrycken är definierade.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (4)
-
8. Premium
Beräkna $\left(\cos75^{\circ}+\sin75^{\circ}\right)\left(\cos75^{\circ}-\sin75^{\circ}\right)$(cos75∘+sin75∘)(cos75∘−sin75∘) exakt med hjälp av formel för dubbla vinkeln.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar...9. Premium
Förenkla $\frac{\sin2x}{1-\cos2x}$sin2x1−cos2x .
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar...10. Premium
Förenkla $\frac{1+\sin v-\cos2v}{\cos v+\sin2v}$1+sinv−cos2vcosv+sin2v .
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar...11. Premium
Skriv om $\cos^4x$cos4x med hjälp av formlerna för dubbla vinkeln, så att uttrycket inte innehåller några potenser.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar...a-uppgifter (1)
-
12. Premium
Visa att $\cos20^{\circ}\cdot\cos40^{\circ}\cdot\cos80^{\circ}=$cos20∘·cos40∘·cos80∘=$\frac{1}{8}$18 .
(Ledtråd: Utgå från $\sin160^{\circ}$sin160∘ och skriv om med hjälp av formler för dubbla vinkeln.)
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Redigera uppgift Stäng Kopiera abc-fråga Flytta abc-fråga Länka abc-fråga Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
sana kakei
Hej ! Ni har skrivit fel i formeln för den sista dubbla vinkeln i videon det ska inte stå
1- sin^2v utan det ska vara 1- 2sin^2v
Eddler
Hej Sana!
Du har rätt. Den tredje formen av $\cos 2v$ är $1-2\sin^2v$. Skriver man $1-\sin^2v$ blir det i stället $\cos^2 v$ enligt trigonometriska ettan, vilket är något helt annat.
I lektionstexten står formeln korrekt, så det är videon som behöver rättas. Vi har noterat det.
Elsa Hammerström
Varför kan man inte skriva om cos^4(x) utan exponenter till cosx*cosx*cosx*cosx?
Eddler
Hej Elsa!
Du har rätt. $\cos x\cdot\cos x\cdot\cos x\cdot\cos x$ är samma sak som $\cos^4x$, och det innehåller inga exponenter. Formuleringen i uppgiften var otydlig och är nu ändrad.
Det uppgiften vill är att du använder formlerna för dubbla vinkeln för att sänka potensen, så att uttrycket i stället innehåller $\cos2x$ och $\cos4x$.
Du utgår från $\cos^2x=\frac{\cos2x+1}{2}$ och får
$\cos^4x=\left(\cos^2x\right)^2=\left(\frac{\cos2x+1}{2}\right)^2$
När du utvecklar täljaren dyker $\cos^2\left(2x\right)$ upp, och då använder du samma formel en gång till. Slutresultatet blir $\frac{\cos4x+4\cos2x+3}{8}$.
Att skriva ut produkten är alltså en korrekt omskrivning, men den gör inte uttrycket lättare att arbeta med, vilket är hela poängen med metoden.
Thea Åkesson
Också om nr.4. Kan det vara att vid näst sista steget uförs både en strykning av tvåorna i täljaren och nämnaren, och sedan en omskrivning av Sin2x till 2 sinXcosX, i samma steg? Om man inte märker att tvåan nere försvinner ser det ut som att uträkningen inte följer formeln. Kan man eventuellt lägga till ett steg i mitten där man klargör att tvåan försvinner i täljare och nämare, men kommer sedan tillbaka pga formeln för sin2v?
Eddler
Jättebra observation! I det steget händer två saker på en gång: täljaren $\sin2x$ skrivs om med dubbelvinkelformeln $\sin2x = 2\sin x\cos x$, och sedan stryks $\sin x\cos x$ mot nämnaren. Du har rätt att det kan se förvirrande ut. Vi ska se om vi kan lägga till ett mellansteg för att göra det tydligare.
Kia Revo
Hej
Det finns en tecken fel till "Härledning"
"sin(u+v)=sinu⋅cosv−cosu⋅sinv " och därför tror jag det ska skrivas som sin(u-v) istället
einar stenback
Hej, kan ni förklara det näst sista steget i uppgift fyra? Jag förstår inte riktigt förenklingen som görs
Eddler
Hej Einar!
I det näst sista steget används formeln för dubbla vinkeln igen, fast nu på $\sin 2x$: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Då kan man förkorta $\sin x \cos x$ i täljare och nämnare, och det som återstår är $2\cos 2x$.
Endast Premium-användare kan kommentera.