Nationellt prov Matematik 4 ht 2013 del D

Under ett dygn i juli mättes temperaturen i Haparanda. Enligt en förenklad modell kan temperaturen under detta dygn beskrivas med sambandet  $y=15+5\sin\left(0,26x\right)$y=15+5sin(0,26x) där  $y$y °C är temperaturen och  $x$x  är antalet timmar efter klockan 08.00.

Bestäm förändringshastigheten för temperaturen när klockan är 12.00.

Bestäm talet  $a$a  så att  $y=a\cdot e^{2x}$y=a·e^2x  blir en lösning till differentialekvationen  $y’+y=e^{2x}$y’+y=e^2x.

Differentialekvationer ingår inte längre i Ma4 from ht 2021.

Figuren nedan visar parabeln  $f\left(x\right)=x^2$ƒ (x)=x²  och linjen  $g\left(x\right)=4x-4$g(x)=4x−4. Linjen tangerar parabeln i punkten  $P$P. Parabeln och linjen innesluter tillsammans med  $x$x-axeln ett område som skuggats i figuren.

Bestäm arean av det skuggade området.

Ange en funktion som har två lodräta asymptoter. Endast svar krävs

Som ett led i ett bageris kvalitetskontroll vägs ett antal bakade kanelsnäckor. Kvalitetskontrollen visar att vikten är normalfördelad med medelvikten  $120$120  gram och standardavvikelsen  $4,0$4,0  gram.

Hur många kanelsnäckor kan förväntas väga mellan  $115$115  gram och  $130$130  gram om man en dag bakar  $450$450  kanelsnäckor?

Enligt en förenklad modell kan formen av brokabeln i figuren nedan beskrivas med funktionen

 $f\left(x\right)=0,040x^{3/2}$ƒ (x)=0,040x^3/2  i intervallet  $0\le x\le100$0≤x≤100, där
 $f$ƒ   är höjden över vägbanan i meter och
 $x$x  är avståndet i meter längs vägbanan mätt från brofästet.

Bestäm längden av brokabeln mellan brofästet och bropelaren.

Ekvationen för en cirkel med medelpunkt i origo och med radien  $1$1  är
 $x^2+y^2=1$x²+y²=1 

Ekvationen för en ellips med medelpunkt i origo och som skär axlarna i  $\left(\pm a,0\right)$(±a,0)  och  $\left(0,\pm b\right)$(0,±b)  är på motsvarande sätt
 $\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{x}{b}\right)^2=1$(xa )²+(xb )²=1 

När en sådan ellips roterar runt  $x$x-axeln får man en ellipsoid. I rugby används en boll som har formen av en ellipsoid.

En typ av boll som är godkänd för rugbymatcher har de mått som anges i figuren nedan.

Bestäm volymen av denna boll.

Lasse och Marcus ska lösa följande uppgift:

Lasse räknar först ut att det tar  $13,6$13,6  minuter för vattennivån att bli  $7,0$7,0  dm.

Marcus ska använda Lasses resultat för att lösa resten av uppgiften.
Marcus börjar med att beteckna vattennivån med  $h$h  och bestämmer volymen i behållaren uttryckt i  $h$h . Sedan beräknar han den efterfrågade hastigheten.

a) Utgå från Lasses resultat och genomför Marcus del av lösningen.

b) Visa att Lasse har räknat rätt, det vill säga att vattennivån efter  $13,6$13,6  minuter är  $7,0$7,0  dm.