...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 4
 /   Integraler

Volymintegraler och Cylindriska skal

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler läromedel dig:
Fördjupande texter 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
Så hjälper Eddler läromedel dig:
Fördjupande texter 6000+ övningsfrågor Fullständiga förklaringar
Ett modernt läromedel för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Metoden med cylindriska skal

Metoden går ut på att man kan dela upp vissa kroppar i cylindriska skal/snitt och där dessa skals volym kan beräknas på samma sätt som man beräknar volymen för ett rätblock (låda).

Ett exempel på detta kan vara funktionen $f(x)=8x-4x^2 $ som skapar  volym i bilden nedan om vi låter denna rotera runt y-axeln.

cylindriska-skal-volymintegral

Inne i volymen kan ett cylindriskt skal skapas som kan liknas vid ett rör och det här cylindriska skalet kan ”vecklas” ut till ett rätblock. Rätblocket kommer att ha volymen

$ 2 \pi ⋅ r ⋅ y⋅ Δx = $ $ 2 \pi x f(x) Δx = $ $ 2 \pi (x (8x-4x^2)) Δx = $ $ 2\pi ( 8x^2-4x^3) Δx $.

Sedan kan volymen för alla cylindriska skal beräknas genom integralen

$ \int\limits_0^2  2 \pi (8x^2-4x^3) dx $

Exempel i videon Premium

  • Beräkna volymen som skapas då vi låter $ y=x-x^2 $ rotera runt y-axeln och begränsas av x-axeln.

Kommentarer

Amal Hussein

Tack så mycket 🙂
Bestäm volymen av den kropp som bildas då området som begränsas av y=x^2 och y=x roterar runt linjen x= -3?
Kan du hjäpa mig med denna med?

Amal Hussein

Bestäm volymen av den rotationskropp som bildas om arean under kurvan f(x) 1/x – 0,1 i första kvadranten roterar runt x-axeln då x>1?
Har fastnat på denna beräkningen:/

    Simon Rybrand (Moderator)

    Volymen för en skiva är:
    $ \pi·r^2·Δx=\pi·(1/x-0,1)^2·Δx $
    Sedan beräknade volymen för alla skivor, dvs volymen från x>1 till a=∞.
    $\pi \int \limits_1^a (1/x-0,1)^2 \, dx$ där $a \to ∞$

Leez

Jag undrar också om ni möjligtvis har lektioner på implicit och explicit derivering?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, nej tyvärr så har vi i nuläget ingenting kring det området.

Leez

Hej!
Jag undrar hur du fick fram 8pi/3 ? För jag får fram att det blir 4pi/3!
Tack! 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, jag ställer upp integralen enligt:

    $ 2\pi \int\limits_0^2 (2x^2-x^3) dx = $
    $ 2\pi \left[ \frac{2x^3}{3} -\frac{x^4}{4} \right]_0^2 = $
    $ 2\pi (\frac{16}{3} – 4) = 2\pi(\frac{4}{3}) = \frac{8\pi}{3} $


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (3/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 3
    M
    R
    K
    M NP

    Beräkna volymen som skapas då vi låter $f(x)=2x-x^2$ƒ (x)=2xx2 rotera kring $y$-axeln och begränsas av $x$-axeln.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP

    Linjerna $y=1$y=1 , $x_1=2$x1=2 och $x_2=3$x2=3 bildar tillsammans med $x$-axeln ett slutet område i första kvadranten. Använd cylindriska skal och beräkna volymen som skapas då detta område roteras kring $y$-axeln.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (3/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 3
    M
    R
    K
    M NP

    Beräkna volymen som skapas då vi låter $f(x)=3x^2-x^3$ƒ (x)=3x2x3 rotera kring $y$-axeln och begränsas av $x$-axeln.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Med Eddler Premium får du:
    800+ videolektioner 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
    Är du ny här? Med Eddler Premium får du:
    800+ videolektioner 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2 1
    M
    R
    K
    M NP

    Använd metoden med cylindriska skal och beräkna volymen som skapas då det färgade området roteras runt $y$y-axeln.

    Försök sedan att komma på ett alternativt (och gärna enklare) sätt att bestämma rotationsvolymen.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP

    Beräkna volymen som bildas då funktionen $y=\sqrt{x}+1$y=x+1 roteras kring $y$-axeln i intervallet $1\le x\le4$1x4 .

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    E C A
    B
    P
    PL 3
    M
    R
    K
    M NP

    Funktionerna $y_1=2x$y1=2x och $y_2=\frac{x^2}{2}$y2=x22  bildar ett slutet område i första kvadranten. Beräkna volymen som skapas då detta område roteras kring $y$-axeln.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP

    Funktionen $y=\frac{x^2}{2}-2$y=x22 2 och linjen $x=4$x=4 bildar ett slutet område i första kvadranten. Beräkna volymen som skapas då detta område roteras kring $y$-axeln.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/3)
    E C A
    B
    P
    PL 3
    M
    R
    K
    M NP

    Beräkna volymen som bildas då funktionen $y=sin\left(x\right)$y=sin(x) roteras kring $y$-axeln i intervallet $0\le x\le2\pi$0x2π.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler läromedel dig:
Fördjupande texter 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
Så hjälper Eddler läromedel dig:
Fördjupande texter 6000+ övningsfrågor Fullständiga förklaringar
Ett modernt läromedel för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se