Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Polynomekvationer
Innehåll
Polynomekvationer
En polynomekvation är en ekvation där exponenterna har villkoret att de är positiva heltal.
I tidigare gymnasiekurser lär vi oss lösa polynomekvationer av första och andra graden med hjälp av ekvationslösning med hjälp av metoder som nollproduktmetoden och pq–formeln.
I denna kurs introducerar vi även lösningar till polynom av högre grad, tex tredje- och fjärdegradsekvationer. En effektiv metod för att lösa dessa är först faktorisera polynomekvationen med hjälp av en polynomdivision.
Själva grundidén med att jobba med polynomdivision och polynomekvationer hämtar vi från faktorsatsen som säger att
Faktorsatsen
Polynomet $p(x)$ har en faktor $(x – a)$ om och endast om $x = a$ är en rot till $p(x)=0$.
Formuleringen ”om och endast om” motsvarar en ekvivalens mellan påståendena. Det innebär att även det omvända gäller, alltså
$a$a är ett nollställe till $p\left(x\right)$p(x) om och endast om $\left(x-a\right)$(x−a) är en faktor till $p\left(x\right)$p(x).
Det leder till att vi genom att först hitta en rot $a$ till polynomet och sedan dividera polynomet med faktorn $(x – a)$ kan hitta en kvot till polynomet.
Vi faktoriserar polynomet enligt Polynom = kvot ⋅ faktor och kan därmed enklare lösa polynomekvationen med hjälp av nollproduktmetoden.
Polynomet $p(x)$p(x) kan faktoriseras enligt $p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)$p(x)=q(x)(x−a) där $q\left(x\right)$q(x) är kvoten vid polynomdivision mellan $p\left(x\right)$p(x) och $\left(x-a\right)$(x−a) om resten är noll.
Metod för att lösa polynomekvationer Premium
Själva strategin som vi använder vid dessa ekvationslösningar är följande.
- Om vi inte har fått en rot att börja att jobba med måste man först gissa sig till en rot. Ett sätt att göra detta är helt enkelt att börja med x = 0, 1, 2, …
- När man väl har en rot kan man dividera polynomet med den faktor vi får genom roten. Man får då en rest som är 0.
- Sedan faktoriseras polynomet enligt Polynom = Kvot ⋅ Faktor och man kan lösa ekvationen med nollproduktmetoden ofta kombinerat med pq – formeln.
Konjugerade rötter Premium
Om alla koefficienter till polynomekvationen är reella tal kommer alltid icke-reella rötter komma i konjugerande par.
För polynomekvationen $a_n\text{ }z^n+a_{n-1}\text{ }z^{n-1}+…+a_{2\text{ }}z^2+a_1\text{ }z+a_0=0$an zn+an−1 zn−1+…+a2 z2+a1 z+a0=0 där $a_0,\text{ }a_1,\text{ }…,a_n$a0, a1, …,an är reella tal, gäller att icke-reella rötter alltid kommer i konjugerade par.
Det innebär att om polynomet bara har reella koefficienter och en rot $z_1=a+bi$z1=a+bi kommer det även finnas en rot $z_2=a-bi$z2=a−bi
Exempel 1
Lös ekvationen $z^2=-4$z2=−4 och markera rötterna i det komplexa talplanet.
Lösning
Polynomet har enbart reella koefficienter. Därför kommer eventuelle icke-rella rötter i konjugerade par.
Vi löser ekvationen.
$z^2=-4$z2=−4
$z^2=4i^2$z2=4i2
$z=\pm2i$z=±2i
Vi markerar de två rötterna $z_1$z1 och $z_2$z2 i det komplexa talplanet.
Exempel 2
Lös ekvationen $z^4+625=0$z4+625=0 och markera rötterna i det komplexa talplanet.
Lösning
Polynomet har enbart reella koefficienter. Därför kommer eventuelle icke-rella rötter i konjugerade par.
Vi löser ekvationen.
$z^4+625=0$z4+625=0
$z^4=-625$z4=−625
Skriv om HL och VL i polär forom.
$VL=z^4=r^4\left(\cos4v+i\text{ }\sin4v\right)$VL=z4=r4(cos4v+i sin4v)
$HL=625\left(\cos\pi+i\text{ }\sin\pi\right)$HL=625(cosπ+i sinπ)
För att likheten $VL=HL$VL=HL ska gälla, måste $r^4(\cos4v+i\text{ }\sin4v)=625\left(\cos\pi+i\text{ }\sin\pi\right)$r4(cos4v+i sin4v)=625(cosπ+i sinπ) .
Det leder till att
$\begin{cases} r^4=625\\ 4v=\pi +n \cdot 2\pi \end{cases}$
Vi får att
$r^4=625$r4=625
$r=5$r=5
Vi tar bara med den positiva roten eftersom att $r$r motsvarar absolutbeloppen av $z$z.
$v$v får vi fram genom att
$4v=\pi+2\pi n$4v=π+2πn
$v=\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{2}$v=π4 +n·π2
De fyra olika lösningarna får vi nu av att sätta värden på $n$n och förenkla ekvationen.
Men vi vet också att då polynomen enbart hade reella koefficienter kommer icke-reella rötter i konjugerade par.
För $n=0$n=0 gäller att
$v=\frac{\pi}{4}+0\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}$v=π4 +0·π2 =π4 som ger att $z₁=5(\cos\frac{\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{4})=$z₁=5(cosπ4 +i sinπ4 )= $\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$5√2 +i 5√2
Då denna rot är icke-reell är även $z_2=$z2= $\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$5√2 −i 5√2 en lösning till ekvationen.
För $n=1$n=1 gäller att
$v=\frac{\pi}{4}+1\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}$v=π4 +1·π2 =3π4 som ger att $z_3=1(\cos\frac{3\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{3\pi}{4})=$z3=1(cos3π4 +i sin3π4 )=$-\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$−5√2 +i 5√2
Även detta är en icke-reell rot, och vi har då att $z_4=$z4= $-\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$−5√2 −i 5√2
Markerar vi dessa i det komplexa talplanet motsvarar rötterna hörnen i en regelbunden fyrhörning (kvadrat).
Vi får att de fyra lösningarna är
$\begin{cases} z_1=\cos \frac{\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{\pi }{8}\\ z_2=\cos \frac{5\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{5\pi }{8}\\z_3=\cos \frac{9\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{9\pi }{8}\\z_4=\cos \frac{13\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{13\pi }{8} \end{cases}$
Vi kontrollerar att detta verkligen stämmer genom att även beräkna
För $n=2$n=2 gäller att
$v=\frac{\pi}{4}+2\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{4}$v=π4 +2·π2 =5π4 som ger att
$z=$z= $5(\cos\frac{5\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{5\pi}{4})=$5(cos5π4 +i sin5π4 )= $-\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$−5√2 −i 5√2
alltså konjugatet till $z_3$z3 som vi satt till $z_4$z4.
För $n=3$n=3 gäller att
$v=\frac{\pi}{4}+3\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{4}$v=π4 +3·π2 =7π4 som ger att
$z=5(\cos\frac{7\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{7\pi}{4})=$z=5(cos7π4 +i sin7π4 )= $\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$5√2 −i 5√2
alltså konjugatet till $z_1$z1 som vi satt till $z_2$z2.
Beräknar vi vinkeln för $n=4$n=4 kommer den att sammanfalla med $\frac{\pi}{4}$π4 eftersom att $\frac{9\pi}{4}=\frac{8\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+$9π4 =8π4 +π4 =π4 +$2\pi$2π alltså vinkeln på nästa varv. Därför behöver vi inte ange det som en lösning till ekvationen efter som att det ger samma komplexa rot. Vi har ju redan fått fyra rötter, vilket är det maximala antalet möjliga rötter för en fjärdegradsekvation.
Exempel i videon Premium
- Lös ekvationen $ x^3+2x^2-5x+2=0 $ då vi vet roten $x=1$.
- Lös ekvationen $ x^3+5x^2+17x+13=0 $ då vi vet roten $x=-1$.
- Lös ekvationen $ x^3-3x^2+4=0 $.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (2)
-
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P 1 PL M R K Ange EN av lösningarna till ekvationen $x(x-46)(x+100)(x-1000)=0$x(x−46)(x+100)(x−1000)=0
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt M NP
Ekvationen $x^4=16$x4=16 har en icke-reell rot $z_1=2i$z1=2i. Ange en annan icke-reell rot till ekvationen.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (1)
-
3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)M NPE C A B P 2 PL M R K Lös ekvationen $ x^3+4x^2+x-6=0 $ om vi vet att en rot är $ x=1 $
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Alexandra Popa
Hej! Jag angav 46 som svar på fråga 1 men får ändå fel. Är det fel på systemet?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Alexandra,
en av lösningarna är mycket riktigt x=46 med utelämnade du x= kommer systemet tyvärr ge dig fel då du alltid måste ange variabeln i ditt svar när du löser en ekvation.
Andreas Ährlund-Richter
Bra grejer Simon!
Zubair Hamed
Kommer lätt klara av provet nu ! He He He He
nti_ma4
Du är en fantastisk lärare. Om jag hade dig som mattelärare från början hade jag varit en läkare eller ingenjör nu.
Tack!
Susan
Endast Premium-användare kan kommentera.