Polynomekvationer

En polynomekvation är egentligen en helt vanlig ekvation där exponenterna har villkoret att de är positiva heltal. Tidigare har vi i gymnasiekurserna lärt oss att lösa polynomekvationer av första och andra graden med hjälp av vanlig ekvationslösning eller med hjälp av metoder som nollproduktmetoden och pq – formeln. Här tittar vi framförallt på tredjegradsekvationer som man först måste faktorisera med hjälp av en polynomdivision.

Själva grundidén med att jobba med polynomdivision och polynomekvationer hämtar vi från faktorsatsen som säger att

Det vi därför vill göra är att först hitta en rot $a$ till polynomet, dividera polynomet med faktorn $(x – a)$ och därmed hittar vi en kvot till polynomet. Vi kan då faktorisera polynomet enligt $Polynom = kvot⋅faktor$ och därmed enklare lösa detta med hjälp av nollproduktmetoden.

Själva strategin som vi använder vid dessa ekvationslösningar är följande:

1. Om vi inte har fått en rot att börja att jobba med måste man först gissa sig till en rot. Ett sätt att göra detta är helt enkelt att börja med x = 0, 1, 2, …
2. När man väl har en rot kan man dividera polynomet med den faktor vi får genom roten. Man får då en rest som är 0.
3. Sedan faktoriseras polynomet enligt $Polynom = kvot⋅faktor$ och man kan lösa ekvationen med nollproduktmetoden ofta kombinerat med pq – formeln.

Om alla koefficienter till polynomekvationen är reella tal kommer alltid icke-reella rötter komma i konjugerande par.

Det innebär att om polynomet bara har reella koefficienter och en rot $z_1=a+bi$z₁=a+bi  kommer det även finnas en rot  $z_2=a-bi$z₂=a−bi 

Vi kontrollerar att detta verkligen stämmer genom att även beräkna

För  $n=2$n=2 gäller att

 $v=\frac{\pi}{4}+2\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{4}$v=π4 +2·π2 =5π4   som ger att   $z_4=$z₄= $5(\cos\frac{5\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{5\pi}{4})=$5(cos5π4 +i sin5π4 )= $-\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$−5√2 −i 5√2  , alltså konjugatet till  $z_1$z₁ 

För  $n=3$n=3  gäller att

 $v=\frac{\pi}{4}+3\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{4}$v=π4 +3·π2 =7π4   som ger att   $z_2=5(\cos\frac{7\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{7\pi}{4})$z₂=5(cos7π4 +i sin7π4 ) 

Beräknar vi vinkeln för $n=4$n=4 kommer den att sammanfalla med $\frac{\pi}{4}$π4   eftersom att $\frac{9\pi}{4}=\frac{8\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+$9π4 =8π4 +π4 =π4 +$2\pi$2π  alltså vinkeln på nästa varv. Därför behöver vi inte ange det som en lösning till ekvationen efter som att det ger samma komplexa rot. Vi har ju redan fått fyra rötter, vilket är det maximala antalet möjliga rötter för en fjärdegradsekvation.

• Lös ekvationen $ x^3+2x^2-5x+2=0 $ då vi vet roten $x=1$.
• Lös ekvationen $ x^3+5x^2+17x+13=0 $ då vi vet roten $x=-1$.
• Lös ekvationen $ x^3-3x^2+4=0 $.