...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 4
 /   Komplexa tal och Polynom

Polynomekvationer

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 99 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Polynomekvationer

En polynomekvation är en ekvation där exponenterna har villkoret att de är positiva heltal.

Begrepp Polynomekvation

I tidigare gymnasiekurser lär vi oss lösa polynomekvationer av första och andra graden med hjälp av ekvationslösning med hjälp av metoder som nollproduktmetoden och pq–formeln.

I denna kurs introducerar vi även lösningar till polynom av högre grad, tex tredje- och fjärdegradsekvationer. En effektiv metod för att lösa dessa är  först faktorisera polynomekvationen med hjälp av en polynomdivision.

Själva grundidén med att jobba med polynomdivision och polynomekvationer hämtar vi från faktorsatsen som säger att

Faktorsatsen

Polynomet $p(x)$ har en faktor $(x – a)$ om och endast om $x = a$ är en rot till $p(x)=0$.

Formuleringen ”om och endast om” motsvarar en ekvivalens mellan påståendena. Det innebär att även det omvända gäller, alltså

 $a$a är ett nollställe till $p\left(x\right)$p(x) om och endast om $\left(x-a\right)$(xa) är en faktor till $p\left(x\right)$p(x).

Det leder till att vi genom att först hitta en rot $a$ till polynomet och sedan dividera polynomet med faktorn $(x – a)$ kan hitta en kvot till polynomet.

Vi faktoriserar polynomet enligt Polynom = kvot ⋅ faktor och kan därmed enklare lösa polynomekvationen med hjälp av nollproduktmetoden.

Polynomet $p(x)$p(x) kan faktoriseras enligt  $p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)$p(x)=q(x)(xa)  där  $q\left(x\right)$q(x) är kvoten vid polynomdivision mellan  $p\left(x\right)$p(x) och $\left(x-a\right)$(xa) om resten är noll.

Metod för att lösa polynomekvationer

Själva strategin som vi använder vid dessa ekvationslösningar är följande.

  1. Om vi inte har fått en rot att börja att jobba med måste man först gissa sig till en rot. Ett sätt att göra detta är helt enkelt att börja med x = 0, 1, 2, …
  2. När man väl har en rot kan man dividera polynomet med den faktor vi får genom roten. Man får då en rest som är 0.
  3. Sedan faktoriseras polynomet enligt Polynom = Kvot ⋅ Faktor och man kan lösa ekvationen med nollproduktmetoden ofta kombinerat med pq – formeln.

Konjugerade rötter

Om alla koefficienter till polynomekvationen är reella tal kommer alltid icke-reella rötter komma i konjugerande par.

För polynomekvationen  $a_n\text{ }z^n+a_{n-1}\text{ }z^{n-1}+…+a_{2\text{ }}z^2+a_1\text{ }z+a_0=0$an zn+an1 zn1++a2 z2+a1 z+a0=0   där   $a_0,\text{ }a_1,\text{ }…,a_n$a0, a1, …,an är reella tal, gäller att icke-reella rötter alltid kommer i konjugerade par.

Det innebär att om polynomet bara har reella koefficienter och en rot $z_1=a+bi$z1=a+bi  kommer det även finnas en rot  $z_2=a-bi$z2=abi 

Exempel 1

Lös ekvationen  $z^2=-4$z2=4 och markera rötterna i det komplexa talplanet.

Lösning

Polynomet har enbart reella koefficienter. Därför kommer eventuelle icke-rella rötter i konjugerade par.

Vi löser ekvationen.

 $z^2=-4$z2=4 

 $z^2=4i^2$z2=4i2

 $z=\pm2i$z=±2i  

Vi markerar de två rötterna $z_1$z1 och $z_2$z2  i det komplexa talplanet.

Exempel 2

Lös ekvationen  $z^4+625=0$z4+625=0  och markera rötterna i det komplexa talplanet.

Lösning

Polynomet har enbart reella koefficienter. Därför kommer eventuelle icke-rella rötter i konjugerade par.

Vi löser ekvationen.

 $z^4+625=0$z4+625=0  

 $z^4=-625$z4=625 

Skriv om HL och VL i polär forom.

 $VL=z^4=r^4\left(\cos4v+i\text{ }\sin4v\right)$VL=z4=r4(cos4v+i sin4v)

 $HL=625\left(\cos\pi+i\text{ }\sin\pi\right)$HL=625(cosπ+i sinπ) 

För att likheten $VL=HL$VL=HL ska gälla, måste $r^4(\cos4v+i\text{ }\sin4v)=625\left(\cos\pi+i\text{ }\sin\pi\right)$r4(cos4v+i sin4v)=625(cosπ+i sinπ) .

Det leder till att

$\begin{cases} r^4=625\\ 4v=\pi +n \cdot 2\pi  \end{cases}$

Vi får att

 $r^4=625$r4=625   

 $r=5$r=5

Vi tar bara med den positiva roten eftersom att $r$r motsvarar absolutbeloppen av $z$z.  

 $v$v får vi fram genom att

 $4v=\pi+2\pi n$4v=π+2πn 

 $v=\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{2}$v=π4 +n·π2  

De fyra olika lösningarna får vi nu av att sätta värden på $n$n och förenkla ekvationen.

Men vi vet också att då polynomen enbart hade reella koefficienter kommer icke-reella rötter i konjugerade par.

För  $n=0$n=0 gäller att

  $v=\frac{\pi}{4}+0\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}$v=π4 +0·π2 =π4   som ger att    $z₁=5(\cos\frac{\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{4})=$z=5(cosπ4 +i sinπ4 )= $\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$52 +i 52   

Då denna rot är icke-reell är även   $z_2=$z2= $\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$52 i 52   en lösning till ekvationen.

För  $n=1$n=1 gäller att

 $v=\frac{\pi}{4}+1\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}$v=π4 +1·π2 =3π4   som ger att   $z_3=1(\cos\frac{3\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{3\pi}{4})=$z3=1(cos3π4 +i sin3π4 )=$-\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$52 +i 52  

Även detta är en icke-reell rot, och vi har då att  $z_4=$z4= $-\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$52 i 52  

Markerar vi dessa i det komplexa talplanet motsvarar rötterna hörnen i en regelbunden fyrhörning (kvadrat).

Vi får att de fyra lösningarna är

$\begin{cases} z_1=\cos \frac{\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{\pi }{8}\\ z_2=\cos \frac{5\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{5\pi }{8}\\z_3=\cos \frac{9\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{9\pi }{8}\\z_4=\cos \frac{13\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{13\pi }{8} \end{cases}$

Vi kontrollerar att detta verkligen stämmer genom att även beräkna

För  $n=2$n=2 gäller att

 $v=\frac{\pi}{4}+2\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{4}$v=π4 +2·π2 =5π4   som ger att

 $z=$z= $5(\cos\frac{5\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{5\pi}{4})=$5(cos5π4 +i sin5π4 )= $-\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$52 i 52  

alltså konjugatet till  $z_3$z3  som vi satt till  $z_4$z4.

För  $n=3$n=3  gäller att

 $v=\frac{\pi}{4}+3\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{4}$v=π4 +3·π2 =7π4   som ger att

$z=5(\cos\frac{7\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{7\pi}{4})=$z=5(cos7π4 +i sin7π4 )= $\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$52 i 52 

alltså konjugatet till  $z_1$z1  som vi satt till  $z_2$z2.  

Beräknar vi vinkeln för $n=4$n=4 kommer den att sammanfalla med $\frac{\pi}{4}$π4  eftersom att $\frac{9\pi}{4}=\frac{8\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+$9π4 =8π4 +π4 =π4 +$2\pi$2π  alltså vinkeln på nästa varv. Därför behöver vi inte ange det som en lösning till ekvationen efter som att det ger samma komplexa rot. Vi har ju redan fått fyra rötter, vilket är det maximala antalet möjliga rötter för en fjärdegradsekvation.

Exempel i videon

  • Lös ekvationen $ x^3+2x^2-5x+2=0 $ då vi vet roten $x=1$.
  • Lös ekvationen $ x^3+5x^2+17x+13=0 $ då vi vet roten $x=-1$.
  • Lös ekvationen $ x^3-3x^2+4=0 $.

Kommentarer

Andreas Ährlund-Richter

Bra grejer Simon!

Zubair Hamed

Kommer lätt klara av provet nu ! He He He He

nti_ma4

Du är en fantastisk lärare. Om jag hade dig som mattelärare från början hade jag varit en läkare eller ingenjör nu.
Tack!
Susan


Endast Premium-användare kan kommentera.

Visa medaljer Visa timer Starta timer automatiskt Lämna in vid tidsslut Rätta en uppgift i taget Redigera övning
Tid kvar
00:00
  • E
    0/0
  • C
    0/0
  • A
    0/0
Totalpoäng
0/0

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (2)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Ange EN av lösningarna till ekvationen $x(x-46)(x+100)(x-1000)=0$x(x46)(x+100)(x1000)=0 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt M NP

    Ekvationen $x^4=16$x4=16 har en icke-reell rot  $z_1=2i$z1=2i. Ange en annan icke-reell rot till ekvationen.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (1)

  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Lös ekvationen $ x^3+4x^2+x-6=0 $ om vi vet att en rot är $ x=1 $

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 99 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 99 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Visa medaljer Visa timer Starta timer automatiskt Lämna in vid tidsslut Rätta en uppgift i taget Visa detaljerad matris Redigera övning Redigera lektion
Tid kvar
00:00
Totalpoäng
0/0
  • E
    0/0
  • C
    0/0
  • A
    0/0
E C A
Totalt
Dina svar lämnas in automatiskt.