Kapiteltest - Komplexa tal och polynom Ma 4

Du har det komplexa talet  $z=4-2i$z=4−2i.

Bestäm till  $z$z 

a) Konjugatet 

b) Absolutbeloppet

c) Argumentet

Endast svar krävs.

Vilken olikhet beskriver området nedan?

Utgå från polynomet  $p\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6$p(x)=x³−6x²+11x−6 

a) Visa med faktorsatsen att $\left(x-3\right)$(x−3) är en faktor.

b) Vilken rest ges vid division med $\left(x+1\right)$(x+1) ?
     Lös utan att genomföra divisionen om du vet hur.

c) Faktorisera polynomet fullständigt.

Låt  $z=-3+3i$z=−3+3i

a) Beräkna  $z^4$z⁴  med hjälp av De Moivres formel, svara  i polär form

b) Skriv om svaret från a formen  $z=a+bi$z=a+bi 

c) Vilket tal ska du dividera  $z^4$z⁴  med för att få talet  $w=4i$w=4i ?

Bestäm Im $z$z då  $z=$z=$\frac{\left(3+2i\right)}{\left(1-3i\right)}$(3+2i)(1−3i)   

Låt  $z=3+2i$z=3+2i och  $w=2+bi$w=2+bi 

a) Vilket är det minsta avståndet som är möjligt mellan $z$z och $w$w ?

b) För vilket värde på $b$b är $z\cdot\overline{w}$z·w rent imaginärt?

Lös ekvationerna och skissa rötterna grafiskt som vektorer i komplexa talplanet.

Lös utan digitalt hjälpmedel

a)   $x^2-4ix+12=0$x²−4ix+12=0 

b)   $z^3=$z³=$\frac{i}{8}$i8   

Rita i varsitt komplext talplan upp de område som beskrivs av följande olikheter.

Motivera dina bilder. Enbart bild utan motivering ger $0$0 poäng.

a)  $\left|z+4\right|\le1$|z+4|≤1 

b)  $\left|z-1\right|<\left|z+i\right|$|z−1|<|z+i| 

Ekvationen  $z^3+az^2+bz=18$z³+az²+bz=18  har en rot  $z_1=3i$z₁=3i 

a) Bestäm de reella koefficienterna $a$a och $b$b 

b) Bestäm ekvationens övriga rötter.

Ge två exempel på en ekvation som kan användas för att beskriva en regelbunden hexagon (sexhörning) med avståndet  $4$4 l.e.  mellan motstående hörn. 

Du har talet  $z=$z=$-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}$−14 +√34 $i$i  

För vilka reella värden på m gäller att  $z^m$z^m blir ett reellt tal?