Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Multiplikation och Division på Polär form
Innehåll
När vi vill multiplicera eller dividera komplexa tal är det en stor fördel om de är skrivna i polär form. Vi kan då göra beräkningen i två enkla, separata steg.
Multiplicera komplexa tal på polär form
Vid multiplikation av komplexa tal på polär form gäller att absolutbeloppen multipliceras med varandra, och argumenten adderas.
Multiplikation
Om $z=r_1(\cos v_1+i\sin v_1)$z=r1(cosv1+isinv1) och $q=r_2(\cos v_2+i\sin v_2)$q=r2(cosv2+isinv2) gäller att
$z\cdot q=r_1\cdot r_2(\cos(v_1+v_2)+i\sin(v_1+v_2))$z·q=r1·r2(cos(v1+v2)+isin(v1+v2))
Exempel 1
Beräkna $z\cdot q$z·q då $z=4(\cos3,3+i\sin3,3)$z=4(cos3,3+isin3,3) och $q=2(\cos1,2+i\sin1,2)$q=2(cos1,2+isin1,2) . Svara på polär form.
Lösning
$r_1\cdot r_2=4\cdot2=8$r1·r2=4·2=8
$v_1+v_2=3,3+1,2=4,5$v1+v2=3,3+1,2=4,5
$z\cdot q=$z·q= $8(\cos4,5+i\sin4,5)$8(cos4,5+isin4,5)
Dividera komplexa tal på polär form
Vid division av komplexa tal på polär form av komplexa tal på polär form gäller att absolutbeloppen divideras med varandra, och argumenten subtraheras.
Division
Om $z=r_1(\cos v_1+i\sin v_1)$z=r1(cosv1+isinv1) och $q=r_2(\cos v_2+i\sin v_2)$q=r2(cosv2+isinv2) gäller att
$\frac{z}{q}=\frac{r_1}{r_2}$zq =r1r2 $(\cos(v_1-v_2)+i\sin(v_1-v_2))$(cos(v1−v2)+isin(v1−v2))
Exempel 2
Beräkna $\frac{z}{q}$zq då $z=4(\cos3,3+i\sin3,3)$z=4(cos3,3+isin3,3) och $q=2(\cos1,2+i\sin1,2)$q=2(cos1,2+isin1,2) . Svara på polär form.
Lösning
$\frac{r_1}{r_2}=\frac{4}{2}=$r1r2 =42 = $2$2
$v_1-v_2=$v1−v2= $3,3-1,2=$3,3−1,2= $2,2$2,2
$\frac{z}{q}=$zq = $2\cdot(\cos2,2+i\sin2,2)$2·(cos2,2+isin2,2)
Exempel i videon
- Beräkna $z\cdot q$z·q då $z=2(\cos30°+i\sin30°)$z=2(cos30°+isin30°) och $q=3(\cos120°+i\sin120°)$q=3(cos120°+isin120°) .
- Beräkna $\frac{z}{q}$zq då $z=2(\cos30°+i\sin30°)$z=2(cos30°+isin30°) och $q=3(\cos120°+i\sin120°)$q=3(cos120°+isin120°), och skriv svaret på formen $a+bi$a+bi.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
$z=\sqrt{7}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})$z=√7(cosπ4 +isinπ4 ) och $w=\sqrt{7}(\cos\frac{\pi}{5}+i\sin\frac{\pi}{5})$w=√7(cosπ5 +isinπ5 ) .
Bestäm produkten av absolutbeloppen till $z$z och $w$w.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
$z=\sqrt{7}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})$z=√7(cosπ4 +isinπ4 ) och $w=\sqrt{7}(\cos\frac{\pi}{5}+i\sin\frac{\pi}{5})$w=√7(cosπ5 +isinπ5 ) .
Bestäm summan av argumenten till $z$z och $w$w.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Låt $z=3(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})$z=3(cosπ3 +isinπ3 ) och $q=5(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})$q=5(cosπ6 +isinπ6 )
Beräkna $z\cdot q$z·q.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Låt $z=4(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})$z=4(cosπ3 +isinπ3 ) och $q=2(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})$q=2(cosπ6 +isinπ6 ) . Beräkna $\frac{z}{q}$zq .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Låt $z=\sqrt{5}\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{6}\right)$z=√5(cosπ6 +i sinπ6 ) och $q=\sqrt{3}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{4}\right)$q=√3(cosπ4 +i sinπ4 ).
Beräkna $z\cdot q$z·q
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (3)
-
6. Premium
$z=3+4i$z=3+4i och $q=6-i$q=6−i , Bestäm $z\cdot q\cdot z$z·q·z och svara på polär form.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
7. Premium
$z=\sqrt{2}+\sqrt{2}i$z=√2+√2i bestäm $z^4$z4 och svara på formen $a+bi$a+bi.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
8. Premium
Skriv om på polär form och beräkna $\left(1+i\right)\left(-3-3i\right)$(1+i)(−3−3i).
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (1)
-
9. Premium
Skriv om på polär form och beräkna $\frac{\left(2+2i\right)\left(1+\sqrt{3}i\right)}{2i\left(\sqrt{3}-i\right)}$(2+2i)(1+√3i)2i(√3−i) .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Alexander Mårlöv
Tack för att ni räddar mitt betyg!
Gustav Jansson Pihl
Gällande fråga 6, är lite fundersam gällande hur ’|q| = |6 – i| = roten ur 6^2+1^2’ då vi har ett negativt imaginärt tal i det komplexa talet ’q’. Ska jag uppfatta detta som ’-1*(i)’? I så fall blir den imaginära delen av roten: -1*(i)^2 och eftersom i^2 = -1 så får vi (-1)*(-1) som blir +1. I det fallet kan jag förstå att ’roten ur 6^2+1^2’ blir ’roten ur 37’ då 6^2 = 36 vilket adderas då med 1 från den imaginära delen jag redovisade i den förra meningen. Tänker jag rätt?
Eddler
Hej Gustav!
Det stämmer att $|6 – i| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$. Beloppet av ett komplext tal $a + bi$ definieras som $\sqrt{a^2 + b^2}$, och eftersom vi kvadrerar $b$ spelar det ingen roll om det imaginära talet är positivt eller negativt. Tecknet försvinner i kvadreringen. Hör av dig om du har fler frågor!
Emil Ohlson
8. hur är 6(cos 3π/2+isin 3π/2)= 6(0+(−i))= −6i ?
Sara Petrén Olauson
Hej! $\cos \frac{3\pi }{2}=0$ och $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$. Det gör att uttrycket kan förenklas: $6(0+i\cdot (-1))=6(-i)=-6i$ Hoppas att det blev tydligare nu.
Orm Linhult
Hej, jag undrar om det är möjligt att lösa fråga 7 utan polär form? Jag får alltid svaret till (-8). Men från min förståelse ska det vara möjligt att räkna ut utan polär form och få samma svar som om man räknar ut det med polär form. Är detta sant?
Sara Petrén Olauson
Hej! Det går att lösa uppgiften genom att använda vanlig parentesmultiplikation, dvs genom att skriva $(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)$, men detta ger en längre och krångligare beräkning. Ett annat sätt är att använda binomialsatsen (ingår i Ma5), men även det ger onödigt många beräkningssteg. Det finns alltså en stor fördel med att använda polär form.
Rabab Alshamaa
Hej!
På uppg 5 så förstår jag inte hur det blir 5π/12. Kan ni förklara uträkningsstegen lite tydligare tack. Jag har missat något…
kirre89
Jag har svarat rätt enligt förklaringen men ändå blir det fel i systemet. Gäller fråga 7; har svarat -16 och det är rätt enligt förklaringen.
hejsan
i uppgift nr 7 är inte absolutbeloppet 2
hejsan
Ber om ursäkt för att jag formulerade min fråga lite dåligt.
I förklaringen står det att absolutbeloppet är 1 men jag fick det också till 2. tack
MuhsenJubran
Behöver man kunna radianer utan till för att lösa de här uppgifterna eller får man ta hjälp av formelsamling/enhetscirkel?
MuhsenJubran
Hej jag undrar hur ni kan få π/2 + π/4 till att bli 3π/4. Förlänger ni första termen men 2?
Yahia
Hejsan, jag hade lite problem med att lösa
Låt z=5 √ (cos(π6 )+isin(π6 ) och q=3 √ (cos(π4 )+isin(π4 ) . Beräkna z⋅q .
Skulle ni kunna ge en tydlig förklaring på hur man loser den?
hiltonpimp
Hejsan! Jag har gått igenom ca 6 videor och löst samtliga uppgifter. Ett problem jag haft på flera uppgifter är att jag har räknat rätt och skrivit rätt svar men jag får besked om att jag har fel på uppgiften?
ex:
Låt z=3(cos(60°)+isin(60°)) och q=5(cos(30°)+isin(30°)), beräkna z⋅q. Du svarade tyvärr felDitt svar: 15(cos(90°)+isin(90°))
Rätt Svar: 8(cos(90°)+isin(90°))
3×5=8?
Endast Premium-användare kan kommentera.