00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 4
/  Komplexa tal och Polynom

Multiplikation och Division på Polär form

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

När vi vill multiplicera eller dividera komplexa tal är det en stor fördel om de är skrivna i polär form. Vi kan då göra beräkningen i två enkla, separata steg.

Multiplicera komplexa tal på polär form

Vid multiplikation av komplexa tal på polär form gäller att absolutbeloppen multipliceras med varandra, och argumenten adderas.

Multiplikation

Om  z=r1(cosv1+isinv1)z=r_1(\cos v_1+i\sin v_1)z=r1(cosv1+isinv1)  och  q=r2(cosv2+isinv2)q=r_2(\cos v_2+i\sin v_2)q=r2(cosv2+isinv2)  gäller att

 zq=r1r2(cos(v1+v2)+isin(v1+v2))z\cdot q=r_1\cdot r_2(\cos(v_1+v_2)+i\sin(v_1+v_2))z·q=r1·r2(cos(v1+v2)+isin(v1+v2)) 

Exempel 1

Beräkna  zqz\cdot qz·q  då  z=4(cos3,3+isin3,3)z=4(\cos3,3+i\sin3,3)z=4(cos3,3+isin3,3)  och  q=2(cos1,2+isin1,2)q=2(\cos1,2+i\sin1,2)q=2(cos1,2+isin1,2) . Svara på polär form.

Lösning

 r1r2=42=8r_1\cdot r_2=4\cdot2=8r1·r2=4·2=8 
 v1+v2=3,3+1,2=4,5v_1+v_2=3,3+1,2=4,5v1+v2=3,3+1,2=4,5 

 zq=z\cdot q=z·q= 8(cos4,5+isin4,5)8(\cos4,5+i\sin4,5)8(cos4,5+isin4,5) 

Dividera komplexa tal på polär form

Vid division av komplexa tal på polär form av komplexa tal på polär form gäller att absolutbeloppen divideras med varandra, och argumenten subtraheras.

Division

Om  z=r1(cosv1+isinv1)z=r_1(\cos v_1+i\sin v_1)z=r1(cosv1+isinv1)  och  q=r2(cosv2+isinv2)q=r_2(\cos v_2+i\sin v_2)q=r2(cosv2+isinv2)  gäller att

 zq=r1r2\frac{z}{q}=\frac{r_1}{r_2}zq =r1r2  (cos(v1v2)+isin(v1v2))(\cos(v_1-v_2)+i\sin(v_1-v_2))(cos(v1v2)+isin(v1v2)) 

Exempel 2

Beräkna  zq\frac{z}{q}zq   då  z=4(cos3,3+isin3,3)z=4(\cos3,3+i\sin3,3)z=4(cos3,3+isin3,3)  och  q=2(cos1,2+isin1,2)q=2(\cos1,2+i\sin1,2)q=2(cos1,2+isin1,2) . Svara på polär form.

Lösning

 r1r2=42=\frac{r_1}{r_2}=\frac{4}{2}=r1r2 =42 = 222  
 v1v2=v_1-v_2=v1v2= 3,31,2=3,3-1,2=3,31,2= 2,22,22,2 

  zq=\frac{z}{q}=zq =  2(cos2,2+isin2,2)2\cdot(\cos2,2+i\sin2,2)2·(cos2,2+isin2,2) 

Exempel i videon

  • Beräkna  zqz\cdot qz·q  då  z=2(cos30°+isin30°)z=2(\cos30°+i\sin30°)z=2(cos30°+isin30°)  och  q=3(cos120°+isin120°)q=3(\cos120°+i\sin120°)q=3(cos120°+isin120°) .
  • Beräkna  zq\frac{z}{q}zq   då  z=2(cos30°+isin30°)z=2(\cos30°+i\sin30°)z=2(cos30°+isin30°)  och  q=3(cos120°+isin120°)q=3(\cos120°+i\sin120°)q=3(cos120°+isin120°), och skriv svaret på formen  a+bia+bia+bi.