Nationellt prov Matematik 4 vt 2015 del D

Figuren visar ett komplext talplan där talet $z$z är markerat.

Bestäm talet $z$z på polär form.

En sommardag i Pajala regnade det mellan $9.00$9.00 och $19.00$19.00. Under dessa $10$10 timmar mättes regnets intensitet.

Enligt en förenklad modell ges regnets intensitet av  $y=x\cdot\sin\frac{\pi\cdot x}{10}$y=x·sinπ·x10  där $y$y är regnets intensitet i mm/h och $x$x är tiden i timmar från $9.00$9.00. Modellen antas gälla mellan $9.00$9.00 och $19.00$19.00.

Beräkna hur många mm regn som totalt föll under dessa $10$10 timmar.

Figuren visar graferna till funktionerna  $f\left(x\right)=\frac{x^4}{4}+1,5$ƒ (x)=x⁴4 +1,5  och  $g\left(x\right)=4x-2$g(x)=4x−2.

De två funktionernas grafer innesluter tillsammans med de positiva koordinataxlarna det område som skuggats i figuren.

Bestäm arean av det skuggade området.
Svara med minst tre värdesiffror.

Under en molnfri dag med $12$12 timmars solljus, kan intensiteten $I$I hos solljuset approximeras med  $I=I_0\text{ }\sin^3\left(\frac{\pi x}{12}\right)$I=I₀ sin³(πx12 ) där $I_0$I₀ är maximal intensitet och $x$x är tiden i timmar efter solens uppgång.

a) Bestäm hur många procent av maximal intensitet som solljuset har $3$3 timmar efter solens uppgång.

En dermatolog (hudläkare) rekommenderar att solskydd används om intensiteten överstiger  $50$50 % av maximal intensitet.

b) Bestäm hur många timmar som solskydd bör användas denna dag enligt rekommendationen.

För funktionen $f$ƒ  gäller att  $f''\left(x\right)=\cos x-\sin2x$ƒ ''(x)=cosx−sin2x. I punkten $\left(0,1\right)$(0,1) har grafen till funktionen $f$ƒ  tangenten  $y=2x+1$y=2x+1.

Bestäm $f'\left(x\right)$ƒ '(x).

Festfixarfirman Skoj & Ploj blåser upp ballonger med ett tryckluftsaggregat.

Ballongerna kan anses vara klotformade och varje ballong ska blåsas upp till volymen $5,5$5,5 liter. Ballongens radie ökar med $3,5$3,5 cm/s vid det tillfälle då dess radie är $6,0$6,0 cm.

Aggregatet ger jämn luftpåfyllning så att volymen ökar med konstant hastighet.

Bestäm hur lång tid det tar att blåsa upp en ballong som från början är tom.

Simone är glasdesigner och har designat en vas som är $3$3 dm hög. Formen på vasen kan beskrivas med den rotationskropp som uppstår då det skuggade området i figuren roteras kring $x$x-axeln. Det skuggade området begränsas av kurvorna  $y_1=\frac{\sqrt{2x+1}}{2}$y₁=√2x+12 ,  $y_2=\frac{\sqrt{2x-0,5}}{2}$y₂=√2x−0,52 , linjen  $x=3$x=3  och de positiva koordinataxlarna.

Simone vill veta hur mycket glasmassa som behövs för att tillverka vasen.

Beräkna hur stor volym glasmassa hon behöver.

Funktionen $h$h definieras genom  $h\left(x\right)=\left(f\left(x\right)\right)^2$h(x)=(ƒ (x))².

Bestäm $h''\left(0\right)$h''(0) för alla funktioner $f$ƒ  med följande egenskaper:

•  $f\left(0\right)=-1$ƒ (0)=−1 
•  $f'\left(0\right)=3$ƒ '(0)=3 
•  $f''\left(0\right)=2$ƒ ''(0)=2