Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik - fortsättning Nivå 2
/ Integraler
Rotationsvolymer med skivmetoden
I den här lektionen tränar vi på skivmetoden genom att räkna igenom flera fullständiga exempel, både för rotation kring x-axeln och kring y-axeln. Vill du repetera idén bakom metoden och se hur formlerna härleds, gå till lektionen Volymintegraler – Vad är det?
Skivmetoden — sammanfattning
Volymen av en rotationskropp kan beräknas med integralen
$V = \int_a^b A(x)\, dx$
där $A(x)$A(x) är tvärsnittsarean vinkelrät mot $x$x-axeln och $a$a och $b$b är gränserna i $x$x-led.
Metod för att beräkna volymintegraler
Det finns ett sätt att tänka strukturerat kring beräkning av volymintegraler:
- Ta fram en formel för tvärsnittsarean $A(x)$A(x) för en enskild skiva. Beräknar du i $x$x-led får skivan bredden $\Delta x$△x och i $y$y-led bredden $\Delta y$△y.
- Ställ upp en formel för att beräkna volymen för en skiva.
- Använd en integral för att beräkna volymen, det vill säga summera alla skivors volym, för hela kroppen.
Grafen som roterar kan vridas runt antingen $x$x-axeln eller $y$y-axeln, och valet av rotationsaxel avgör vilken variabel vi integrerar med avseende på. Nedan ser vi formeln för respektive fall, tillsammans med ett exempel för varje.
Rotation kring x-axeln
Tvärsnittsarean $A(x) = \pi y^2$A(x)=πy2 ger
$V = \int_a^b \pi y^2\, dx$
där $a$a och $b$b är gränserna i $x$x-led.
Exempel 1
Beräkna volymen som bildas då linjen $y = 2x$y=2x roterar kring $x$x-axeln i intervallet $0 \leq x \leq 2$0≤x≤2.
Lösning
Vi börjar med att beräkna tvärsnittsarean. Varje skiva är en cirkel med radien $r = y = 2x$r=y=2x, vilket ger arean
$A(x) = \pi y^2 = \pi (2x)^2 = 4\pi x^2$A(x)=πy2=π(2x)2=4πx2
Vi ställer upp en formel för rotation i x-led med gränserna $a = 0$a=0 och $b = 2$b=2. Vi beräknar volymen med integralen.
$V=\int_0^2 4\pi x^2\, dx$V=∫024πx2dx Bestäm den primitiva funktionen
$V=\left[\frac{4\pi x^3}{3}\right]_0^2=$V=[4πx33 ]02= Sätt in gränserna
$V=\frac{4\pi\cdot8}{3}-0=$V=4π·83 −0= Förenkla
$V=\frac{32\pi}{3}\approx33{,}5$V=32π3 ≈33,5
Volymen som bildas är $\frac{32\pi}{3}$32π3 v.e., det vill säga ungefär $33{,}5$33,5 v.e.
Rotation kring y-axeln
Tvärsnittsarean $A(y) = \pi x^2$A(y)=πx2 ger
$V = \int_a^b \pi x^2\, dy$
där $a$a och $b$b är gränserna i $y$y-led.
Exempel 2
Funktionen $y = x^2$y=x2 roterar kring $y$y-axeln. Beräkna volymen i intervallet $0 \leq y \leq 4$0≤y≤4.
Lösning
Eftersom vi roterar kring $y$y-axeln behöver vi $x$x uttryckt som funktion av $y$y. Vi skriver om $y = x^2$y=x2 och får
$x = \sqrt{y}$x=√y
Vi börjar med att beräkna tvärsnittsarean. Varje skiva är en cirkel med radien $r = x = \sqrt{y}$r=x=√y, vilket ger arean
$A(y) = \pi x^2 = \pi y$A(y)=πx2=πy
Vi ställer upp en formel för rotation i y-led med gränserna $a = 0$a=0 och $b = 4$b=4. Vi beräknar volymen med integralen.
$V=\int_0^4 \pi y\, dy$V=∫04πydy Bestäm den primitiva funktionen
$V=\left[\frac{\pi y^2}{2}\right]_0^4=$V=[πy22 ]04= Sätt in gränserna
$V=\frac{16\pi}{2}-0=$V=16π2 −0= Förenkla
$V=8\pi\approx25{,}1$V=8π≈25,1
Volymen som bildas är $8\pi$8π v.e., det vill säga ungefär $25{,}1$25,1 v.e.
Visste du detta?
Skivmetoden används inom ingenjörsvetenskap för att beräkna volymen av komponenter som tillverkas genom svarvning, till exempel axlar, ventiler och turbinblad. Formen på den färdiga komponenten motsvarar exakt en rotationskropp av det slag vi beräknar här.
Vill du repetera grunderna för skivmetoden och se hur den härleds steg för steg från en kon? Se lektionen Volymintegraler – Vad är det?
Exempel i Videon
- Ett område i första kvadranten begränsas av x-axeln, linjen $x=4$x=4 och kurvan $y=\sqrt{x}$y=√x. Låt området rotera runt x-axeln.
a) Ställ upp en integral som ger volymen av den rotationskropp som uppkommer.
b) Beräkna rotationskroppens volym. - Funktionen $y=x^2$y=x2 roterar runt x-axeln i den första kvadranten i intervallet $0 \leq x \leq a$0≤x≤a. Bestäm $a$a så att volymen blir $2 \, a.e$2 a.e.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
Beräkna volymen som bildas då $y=$y= $\frac{x^2+1}{2}$x2+12 roteras runt $y$y-axeln i intervallet $1\le x\le3$1≤x≤3 .
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Volymintegraler - vad är det?Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar...2. Premium
Beräkna volymen som bildas då $y=e^x$y=ex roteras runt $x$-axeln i intervallet $0\le x\le1$0≤x≤1.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Volymintegraler - vad är det?Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar...3. Premium
Beräkna volymen i intervallet $0 ≤ x ≤ 1$ när funktionen $y = x – x²$ roteras runt $x$-axeln.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Funktionen $y=x^2+2x$y=x2+2x, $y$-axeln samt linjen $x=1$x=1 begränsar ett område i första kvadranten. Beräkna volymen som bildas då detta område roteras runt $x$-axeln.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Funktionerna $y_1=\sqrt[3]{x}$y1=3√x , $y_2=2$y2=2 samt $y$-axeln bildar ett begränsat område i första kvadranten. Beräkna volymen som bildas då detta område roteras kring $y$-axeln.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (6)
-
6. Premium
Funktionen $y=\frac{a}{x}$y=ax roteras kring $x$-axeln i intervallet $1\le x\le2$1≤x≤2. Bestäm ett värde på konstanten $a$, så att rotationsvolymen som bildas får volymen $8\pi$8π v.e.
Använd ”pi” om du vill beskriva talet $\pi$.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Volymintegraler - vad är det?Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar...7. Premium
Beräkna volymen av den ändliga kropp som bildas då $y=x^2-1$y=x2−1 roteras runt $x$-axeln.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Volymintegraler - vad är det?Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar...8. Premium
En funktion roteras kring $x$-axeln. En skiva av den rotationsvolym som bildas har arean $A\left(x\right)=x^2$A(x)=x2. Bestäm volymen som bildas i intervallet $1\le x\le4$1≤x≤4 .
Svara utan enhet och använd ”pi” om du vill beskriva talet $\pi$.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Volymintegraler - vad är det?Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar...9. Premium
Funktionerna $y_1=\sqrt[3]{x}$y1=3√x , $y_2=2$y2=2 samt $y$-axeln bildar ett begränsat område i första kvadranten. Beräkna volymen som bildas då detta område roteras kring $x$-axeln.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...10. Premium
Funktionen $ y = 2x $ roteras runt $y$-axeln i intervallet $ 0≤y≤a $. Bestäm $a$ så att volymen blir $ \frac{2 \pi}{3} \, v.e$.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...11. Premium
Derivera och förenkla $f\left(x\right)=\frac{x-sin\left(x\right)\cdot cos\left(x\right)}{2}$ƒ (x)=x−sin(x)·cos(x)2 . Beräkna sedan volymen som bildas då $y=sin\left(x\right)$y=sin(x) roteras runt $x$-axeln i intervallet $0\le x\le\pi$0≤x≤π .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (2)
-
12. Premium
Använd en lämplig rotationsvolym för ta fram en allmän formel för volymen av en cirkulär kon där basradien $r$ är lika lång som höjden.
(Här innebär A-nivån att ta fram formeln på ett korrekt sätt, inte att klicka i rätt svar. Öva på att göra en fullständig lösning med papper och penna.)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Volymintegraler - vad är det?Liknande uppgifter: Derivata och integraler Derivata och integraler - Ma 5 integraler Matematik 4 Matematik 5 VolymintegralerRättar... -
13. Premium
Funktionen $y=e^{-x}$y=e−x roteras runt $x$-axeln i intervallet $0\le x\le\infty$0≤x≤∞. Bestäm rotationsvolymen som bildas.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Ruben Lasson
Jag förstår inte vad man beräknar i uppgift 7. Radien vid y<0 borde väl inte vara definierad. Vilken volym är det som bildas vid negativt y-värde, och varför behöver den subtraheras?
Simon Rybrand (Moderator)
Uppgiften är otydlig, vi redigerar den.
Tack för din kommentar!
/Simon
Alexi96
Hej I första exemplet så var integrationsgränserna 4 och 0, men när du flyttade ut konstanten pi så blev det en etta istället för noll, och sen när du räknar primitiv funktion så står nollan där igen. I andra exemplet hade du redan flyttat ut pi innan och då stod det noll där. Varför är det så? Spelar det någon roll vad man skriver där när man ändå ska räkna med integrationsgränserna man hade från början?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Där har det blivit ett skrivfel i videon, det skall förstås vara en nolla där istället. Vi lägger in det i en kommande korrigering av videon.
John Winlund
I exempel 1 står det att y = roten ur x, men i exempel två står det y = x^2, blir förrvirrad?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Tänker du på när vi tar den primitiva funktionen? Dvs att om $ f(x)=x $ så är den primitiva funktionen $ F(x) = \frac{x^2}{2} $.
mikaelhagfeldt@gmail.com
Vet du hur man kan beräkna volymintegraler i programmet GRAPH som du använder dig utav i videon? Har försökt hitta en sådan funktion men till ingen nytta är jag rädd. Skriver jag funktionen på ett visst sätt eller hur gör man?
Tack på förhand!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Tyvärr känner jag inte till en funktion i graph för just volymintegraler. Däremot kan du ju använda dig av den funktion som du har inom integraltecknet och rita ut just denna för att sedan beräkna integralen. Då får du ju volymen som du önskar.
davidlundahl
Hej Simon, jag undrar vart dx tar vägen i den första uppgiften när du intregrerar (pi)x * dx?
MVH David
Simon Rybrand (Moderator)
Hej David,
När du tar primitiv funktion på den funktion du integrerar brukar man ta bort dx. Dvs då handlar det inte längre om ett integraluttryck utan att du skall sätta in integralgränserna i den primitiva funktionen. Fråga gärna mer om detta är otydligt.
davidlundahl
Okej, så om jag förstår det rätt så försvinner alltid dx när man intregrerar.
Exempel om man ska intregrera f(x)=2x^2 + 5x + dx, så blir svaret F(x)=2/3x^3 + 5/2x^2 och så försvinner dx?
Simon Rybrand (Moderator)
Ja i det stället där du tar primitiv funktion tar du bort dx. Själv begreppet dx innebär att du beräknar en så kallad riemannsumma (integral) i x led. Så när du tar den primitiva funktionen i integralkalkylens fundamentalsats så behöver denna beteckning inte följa med.
davidlundahl
Okej, tack så mycket för hjälpen !
Encore
Hej, jag försökte lösa exempeluppgiften men jag kommer fram till PI/12 genom
Pi*(x^2-x^3)*delta x
Pi integral 1,0 X^3/3-x^4/4
1/3-1/4
4/12-3/12 = 1/12 * PI = 1/12PI
vad gör jag fel?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej!
Jag gjorde så att jag flyttade in hela den testuppgiften in i vårt nya testa dig själv system här ovan och gav den en något längre förklaring. Hoppas att det hjälper dig att förstå skivmetoden och den uppgiften.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Daniel, då måste du lösa ekvationen då y = 0, dvs då 4 – x² = 0. I det fallet blir integralens undre gräns x = -2 och den övre gränsen x = 2.
daniel.n.johansson@gmail.com
Tjena Simon,
Hur gör man för att ta reda på integralens gränser i volymintegraluppgifter av typen där man får veta:
Kurvan y=4-x^2 roterar kring x axeln, Bestäm volymen av den ändliga kropp som då uppkommer, Svara i exakt form.
Mvh
Daniel
Endast Premium-användare kan kommentera.