Tillämpning med Derivata

Vilken enhet har tillväxthastigheten $N'(t)$N’(t) om $N\left(t\right)$N(t) beskriver folkmängden i en kommun med avseende på tiden $t$t i år?

Vilken enhet har $v\left(t\right)$v(t) om $S\left(t\right)$S(t) beskriver sträckan i km en bil färdats med avseende på tiden $t$t i timmar och  $S’\left(t\right)=v\left(t\right)$S’(t)=v(t)?

Ayse kastar en boll rakt upp i luften. Bollens höjd ges av sambandet 

$s\left(t\right)=1,5+12t-5t^2$s(t)=1,5+12t−5t² 

där $s\left(t\right)$s(t) är höjden över marken i meter och $t$t är tiden i sekunder efter uppkastet.

Bestäm bollens hastighet vid tiden $t=1$t=1 sekund.

Värdet $K(x)$K(x) på Fridas aktie har ökat mycket bra de senaste åren. Utvecklingen av värdet kan beskrivas med funktionen $K(x)=100\text{ }000\cdot e^{0,125x}$K(x)=100 000·e^0,125x , där  $K(x)$K(x)  är värdet på kontot i kronor efter $x$x år.

Beräkna $K´(10)$K´(10)  och tolka.

Använd ett digitalt verktyg för att beräkna ett värde på  $f'(5)$ƒ ’(5)  då   $f\left(x\right)=\left(x^2+3x\right)^x$ƒ (x)=(x²+3x)^x .

Ange svaret med en decimals noggrannhet.

Tabellen nedan visar längden $y$y i cm hos ett nyfödd barn de fem första månaderna. 

Bestäm med hjälp av tabellen och en differenskvot, det bästa möjliga närmevärde på tillväxthastigheten $y'(3)$y’(3) cm/månad.

Träna även på att tolka värdet med några ord, men svara här med differenskvotens värde med enheten cm/månad.

Ange ekvationen för den tangent som tangerar grafen till funktionen  $f(x)=x-x^2$ƒ (x)=x−x² där  $x=-1$x=−1.

Pojkars längd kan de första åren i livet beskrivas med den enkla modellen $f\left(x\right)=78\cdot e^{0,07x}$ƒ (x)=78·e^0,07x   där $f\left(x\right)$ƒ (x) är längden i centimeter och $x$x är pojkars ålder i år.

a) Hur lång är en pojke som är $8$8 år enligt modellen?
Avrunda till hela centimetrar.

b) Hur snabbt växer en pojke som är $8$8 år enligt modellen?
Avrunda till en decimals noggrannhet.

Funktionen  $V(t)=$V(t)= $\frac{500}{2\sqrt{t}}$5002√t  beskriver värdet på marknaden för ett par skor $t$t månader efter att man köp dem. Beräkna hur stor värdeförändringen är efter exakt en månad. 

Träna på att redovisa din beräkning.

En gurkodlare har undersökt hur vikten hos en växande gurka ökar med tiden. Hon redovisar resultatet som en funktion $y=V\left(t\right)$y=V(t), där $V\left(t\right)$V(t) är gurkans vikt i hg och $t$t är tiden i veckor efter mätningens början.

Vad får hon veta genom att bestämma $V’\left(3\right)$V’(3)?

Välj ett av alternativen.

Sam ställer in en flaska vatten i ett kylskåp. Temperaturen hos vattnet kan förenklat beskrivas med modellen $T\left(x\right)=13e^{-0,69x}+4$T(x)=13e^−0,69x+4 där $T\left(x\right)$T(x) är vattnets temperatur i $°C$°C och $x$x är tiden i timmar efter att flaskan ställdes in i kylskåpet.

Bestäm hur lång tid efter att vattnet ställt in i kylen, som vattnets temperatur sjunker med $4,5$4,5 $°C$°C per timme.

Temperaturen  $T(t)$T(t) °C vid uppvärmningen av din väns bastu kan beskrivas med funktionen  $T(t)=22+6\sqrt{t}$T(t)=22+6√t  då $0\le t\le80$0≤t≤80 motsvarar tiden i minuter efter att man satt igång uppvärmningen.

Efter hur många minuter stiger temperaturen i bastun med en halv grad per minut?

Ange svaret med enheten minuter.

Antalet besökare på en hemsida varierade enligt modellen $N\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+10$N(x)=x³−6x²+9x+10 i intervallet  $0\le x\le5$0≤x≤5  där $N\left(x\right)$N(x) motsvarar antalet tusen personer på sidan $x$x timmar efter kl. $12.00$12.00 på dagen.

Beräkna $N’\left(2\right)$N’(2).

Antalet besökare på en hemsida varierade enligt modellen $N\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+10$N(x)=x³−6x²+9x+10 i intervallet  $0\le x\le5$0≤x≤5  där $N\left(x\right)$N(x) motsvarar antalet tusen personer på sidan $x$x timmar efter kl. $12.00$12.00 på dagen.

Vad betyder $N’\left(2\right)$N’(2) i detta sammanhang?

Antalet lämlar  $N(t)$N(t)  i en lämmelkoloni kunde beskrivas med funktionen  $N(t)=3t(t-3)(t-5)+400$N(t)=3t(t−3)(t−5)+400  då  $0\le t\le8$0≤t≤8  motsvarar antal år efter $2008$2008.

Vilket år ökade kolonin med ca $80$80 lämlar/år?

Med hjälp av derivatans definition har vi beräknat derivatan i punkten $A$A och fått att

$\lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{((2+h)^2+3)-(2^2+3)}{h}=4$((2+h)²+3)−(2²+3)h =4 

Bestäm tangentens ekvation i punkten  $A$A .

Värdet på en mobiltelefon kan beskrivas med en exponentiellt avtagande funktion. En telefon köptes för $7\text{ }495$7 495 kr när den köptes ny, och säljs sex månader senare för $5\text{ }000$5 000 kronor. 

Ange efter hur många månader mobilens värde minskar med $400$400 kronor i månaden.

Svara med en decimals noggrannhet och enheten månader.