00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2
A
/  Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Problemlösning med Derivata

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Max och minproblem

När vi tillämpar derivatan handlar ofta uppgifterna om att hitta ett största eller minsta värde som den givna matematiska modellen kan anta.  Då vi vet att största och minsta värdet återfinns i extrempunkterna eller i intervallets gränser, kan vi använda detta för att hitta funktionens största och minsta värden.

Max och min problem med derivatan

Vi vet att derivatan alltid är lika med noll i extrempunkterna. Om vi sätter derivatan lika med noll och löser ekvationen får vi på så sätt fram de värden på  xxx  som ger det största eller minsta värdet som finns i de lokala extrempunkterna. Kollar vi även ändpunkternas funktionsvärde kan vi på så sätt bestämma det största och/eller minsta funktionsvärdet.

Vilken enhet har derivatan?

Derivatan definieras som gränsvärdet till en ändringskvot. En ändringskvoten i sin tur definieras som yx\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}yx . Utifrån denna kunskap kan vi dra slutsatsen att derivatans enhet vid tillämpning, alltid kommer att motsvara yyy -axelns enhet delat med xxx -axelns enhet. 

 Derivatans enhet=\text{Derivatans enhet}=Derivatans enhet=  y-axelns enhetx-axelns enhet\frac{y\text{-axelns enhet}}{x\text{-axelns enhet}}y-axelns enhetx-axelns enhet  

Så ett tips är att ställa upp en kvot av enheterna och förenkla, om du känner dig osäker på vilken enhet derivatan ska ha.

Exempel 1

Kostnaden K(t)K\left(t\right)K(t) kr för att hyra en eldriven scooter kan beskrivas med modell K(t)=1,50t+10K\left(t\right)=1,50t+10K(t)=1,50t+10 med avseende på tiden ttt i minuter.

Vilken är den rörliga kostnaden per minut?

Lösning

Derivatan motsvarar förändringen av kostnaden. Vi deriverar funktionen och får att

 K(t)=1,50t+10K\left(t\right)=1,50t+10K(t)=1,50t+10   ⇒    K(t)=1,50K’\left(t\right)=1,50K(t)=1,50 

Då  Derivatans enhet=\text{Derivatans enhet}=Derivatans enhet=  y-axelns enhetx-axelns enhet\frac{y\text{-axelns enhet}}{x\text{-axelns enhet}}y-axelns enhetx-axelns enhet   får vi enheten kronorminut\frac{\text{kronor}}{\text{minut}}kronorminut 

och svaret blir att den rörliga minutkostnaden är 1,501,501,50 kr/minut. 

Exempel 2

En bil blir tvungen att tvärbromsa. Bilens hastighet under inbromsningen kan beskrivas med funktionen  v(t)=351,8t2v\left(t\right)=35-1,8t^2v(t)=351,8t2 m/s.

Vilken är retardationen, alltså inbromsningshastigheten, efter 222 sekunder?

Lösning

Derivatan motsvarar förändringen av hastigheten vilket i detta fall motsvarar retardationen, eller även kallad inbromsningshastigheten. Vi deriverar funktionen och får att

 v(t)=351,8t2v\left(t\right)=35-1,8t^2v(t)=351,8t2   ⇒    v(t)=3,6tv’\left(t\right)=-3,6tv(t)=3,6t 

Vi får då att 

  v(2)=3,62=7,2v’\left(2\right)=-3,6\cdot2=-7,2v(2)=3,6·2=7,2 

Att värdet är negativt anger att hastigheten minskar/avtar. När vi svarar anger vi värdet 7,27,27,2. Negationen finns i ordet retardation, som motsats till accelereration som anger en hastighets ökning.

Då  Derivatans enhet=\text{Derivatans enhet}=Derivatans enhet= y-axelns enhetx-axelns enhet\frac{y\text{-axelns enhet}}{x\text{-axelns enhet}}y-axelns enhetx-axelns enhet  

får derivatan enheten

 meter/sekundsekund=metersekund1sekund=metersekund2\frac{\text{meter/sekund}}{\text{sekund}}=\frac{\text{meter}}{\text{sekund}}\cdot\frac{1}{\text{sekund}}=\frac{\text{meter}}{\text{sekund}^2}meter/sekundsekund =metersekund ·1sekund =metersekund2  

vilket man förkortat skriver som m/s2^22 .

Retardationen efter 222 sekunder är 7,27,27,2 m/s 2^22.

För fler exempel på hur man kan tillämpa och använda derivatan i problemlösning så rekommenderar vi att se videogenomgången och göra övningsuppgifterna till denna lektion.   

Numerisk derivering

Ibland dyker det upp funktioner som vi inte kan derivera. Vid dessa tillfällen kan vi göra en numerisk beräkning av derivatan antingen med en ändringskvot i ett lite intervall eller med ett digitala hjälpmedel.

Exempel 3

För funktionen  ffƒ   gäller att  f(x)=x1,7exf\left(x\right)=x^{1,7}\cdot e^xƒ (x)=x1,7·ex 

a) Beräkna ett närmevärde till f(3)f'\left(3\right)ƒ ´(3) med hjälp av ändringskvoten  f(3,1)f(2,9)3,12,9\frac{f\left(3,1\right)-f\left(2,9\right)}{3,1-2,9}ƒ (3,1)ƒ (2,9)3,12,9  

b) Använd ett digitalt verktyg för att beräkna ett en bättre närmevärde till f(3)f'(3)ƒ ’(3) 

c) Uppgifterna a) och b)ger inte samma svar. Varför inte?

d) Ange derivatan för  f(x)f\left(x\right)ƒ (x)

Lösning

a)  Vi använder GeoGebra för att beräkna ändringskvotens värde.

Vi skriver in funktionsuttrycket och beräknar sedan kvoten genom att ”hämta” funktionsvärden till kvoten.

Ändringskvoten ger närmevärdet f(3)204,36f'\left(3\right)\approx204,36ƒ ´(3)204,36 

b) Vi anger kommandot f´(3) vilket automatiskt leder till att GeoGebra gör en numerisk beräkning av värdet.

Vi läser av att  f(3)=203,69f’\left(3\right)=203,69ƒ (3)=203,69 

c) Ändringskvoten i a) är beräknad för ett i sammanhanget ”stort” intervall. För att ge samma värde måsta intervallet minskas.

Om vi ändrar stegen från h=0,1h=0,1h=0,1 till h=0,001h=0,001h=0,001 får vi samma värde

d) Vi ber GeoGebra ange derivata åt oss, då vi inte lärt oss deriveringsregler för detta.

Formler och begrepp vid tillämpning av derivatan

Fyra bra kom ihåg när du deriverar potensfunktioner

  1. Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.

  2. Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.

  3. Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.

  4. Skriv om i potensform innan du deriverar, om uttrycket har variabeln i nämnaren eller återfinns under ett rottecken. Följande två potensregler är användbara för detta.

         1an\frac{1}{a^n}1an   =an=a^{-n}=an    som ger att  kxn=\frac{k}{x^n}=kxn =  kxnkx^{-n}kxn 

         an=a1n\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}na=a1n    som ger att  x=x12\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}x=x12  

Polynomen är en av många olika potensfunktioner. Det är samma regel vi använder. 

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Enligt deriveringsregeln för potensfunktioner har vi att då

 f(x)=kxnf(x)=kx^nƒ (x)=kxn  är derivatan  f(x)=nkxn1f'(x)=n\cdot kx^{n-1}ƒ ’(x)=n·kxn1 

När man jobbar med potensfunktioner som är skriva som en kvot med variabeln i nämnaren eller med ett rottecken underlättar man deriveringen mycket genom att skriva om dem i potensform innan man deriverar.

Fyra bra kom ihåg när du deriverar exponentialfunktioner

  1. Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.

  2. Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.

  3. Du bör veta att lne=1\ln e=1lne=1 

  4. Du kan alltid skiva om basen till talet eee med hjälp av den naturliga logaritmen  ln\lnln, efter som att a=elnaa=e^{\ln a}a=elna 

  5. Du kan aldrig multiplicera ihop basen med någon annan faktor i termen.

Deriveringsregler exponentialfunktioner

Enligt deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen aaa har vi att då

 f(x)=Cakxf(x)=C\cdot a^{kx}ƒ (x)=C·akx  är derivatan  f(x)=Cakxklnaf'(x)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln aƒ ´(x)=C·akx·k·lna  

Vi får ett specialfall då  a=ea=ea=e eftersom att  lne=1\ln e=1lne=1 vilket leder till att

  f(x)=Cekxf(x)=C\cdot e^{kx}ƒ (x)=C·ekx  är derivatan  f(x)=Cekxkf'(x)=C\cdot e^{kx}\cdot kƒ ´(x)=C·ekx·k  

Derivatans definition

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Exempel i videon

  • Derivera f(x)=3x22x+5 f(x) = 3x^2-2x+5 .
  • Derivera f(x)=x  f(x) = \sqrt{x} .
  • Derivera f(x)=4e2x f(x) = 4e^{2x} .
  • Racerföraren Billy Rocket kör i hög fart förbi en av hans konkurrenter. Hans hastighet i m/sm/s kan i ett intervall beskrivas med funktionen v(x)=50+x2 v(x)=50+x^2 där xx är tiden i sekunder. Vad är accelerationen efter 10 10 sekunder.
  • Kalle Kanon kastar boll. Funktionen f(x)=3xx2 f(x)=3x-x^2 beskriver bollens höjd efter xx sekunder. Är bollen på väg uppåt eller nedåt efter 1,6sekunder 1,6 \, sekunder ?
  • Vi har funktionen f(x)=x2+5f(x)=x^2+5. Bestäm tangentens ekvation när x=1x=1.