Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik fortsättning nivå 1
/ Derivata och deriveringsregler
Deriveringsregler Exponentialfunktioner
Innehåll
I den här lektionen lär du dig att derivera exponentialfunktioner, med hjälp av deriveringsregler. 
I Ma3b och Ma3c är exponenten i stort sätt alltid en linjär funktion, alltså en förstagradsfunktion. Derivatan till alla linjära funktioner är alltid en konstant. Därför brukar man ibland lite slarvigt säga att man ”multiplicerar med koefficienten i exponenten”. Men det beror alltså på att derivatan av exponenten, när den är linjär, alltid motsvaras av koefficienten i exponenten.
Det vi egentligen gör är att vi använder oss av kedjeregeln som säger att derivatan till en sammansatt funktion $y=f(g(x))$y=ƒ (g(x)) har derivatan $y´=f´(g(x))\cdot g´(x)$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x) där den inre funktionen är $g$g och den yttre funktionen är $f$ƒ . Regeln introduceras i Ma4.
Exponentialfunktioner på basen a
Om funktionen står skriven på formen $f(x)=Ca^{kx}$ƒ (x)=Cakx ges derivatan av:
$f'(x)=Ca^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ’(x)=Cakx·k·lna
$\ln$ln står för den naturliga logaritmen som är logaritmen med basen $e$e .
Exponentialfunktioner på basen e
Denna regel blir extra enkel att använda när vi har en exponentialfunktion med basen $e$e. Detta efter som att $\ln e=1$lne=1. Vi får då att
$f'(x)=Ce^{kx}\cdot k\cdot\ln e=Ce^{kx}\cdot k$ƒ ’(x)=Cekx·k·lne=Cekx·k
Skulle dess utom koefficienten i exponenten $k$k vara lika med $1$1 får vi en ännu enklare regel, nämligen att
$f'(x)=Ce^x\cdot1\cdot\ln e=Ce^x$ƒ ’(x)=Cex·1·lne=Cex.
Alltså denna speciella egenskap att funktionen är identisk med sin derivata. Men observera att detta bara gäller när basen är $e$e och variabeln $x$x står ensam i exponenten.
Om funktionen står skriven på basen $e$e enligt $ f(x) = Ce^{kx} $ så ges derivatan av
$ f'(x) = C e^{kx}\cdot k $
Viktigt att notera här är att exponenten inte förändras. Det är bara för potensfunktionerna. För exponentialfunktionen förblir exponenten den samma vid derivering.
Exempel 1
Bestäm $f´(x)$ƒ ´(x) då $f(x)=e^{4x}$ƒ (x)=e4x
Lösning
Vi använder deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen $e$e och deriverar funktionen.
$f(x)=C\cdot e^{kx}$ƒ (x)=C·ekx är $f´(x)=k\cdot C\cdot e^{kx}$ƒ ´(x)=k·C·ekx
Viktigt att komma ihåg här är alltså att exponenten inte förändras när du deriverar exponentialfunktioner. Vi får att då
$f(x)=e^{4x}$ƒ (x)=e4x är $f'(x)=4e^{4x}$ƒ ’(x)=4e4x
Exempel 2
Bestäm $f´(x)$ƒ ´(x) då $f(x)=2e^{3x}$ƒ (x)=2e3x
Lösning
Vi använder deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen $e$e och deriverar funktionen.
$f(x)=C\cdot e^{kx}$ƒ (x)=C·ekx är $f´(x)=k\cdot C\cdot e^{kx}$ƒ ´(x)=k·C·ekx
Viktigt att komma ihåg här är alltså att exponenten inte förändras när du deriverar exponentialfunktioner. Vi får att då
$f(x)=2e^{3x}$ƒ (x)=2e3x är $f´(x)=6e^{3x}$ƒ ´(x)=6e3x
eftersom att
$f´(x)=3\cdot2\cdot e^{3x}=6x^{3x}$ƒ ´(x)=3·2·e3x=6x3x
Observera att exponenten förblir oförändrad vid deriveringen.
Vanligt fel vid derivering av exponentialfunktioner
Det är vanligt att man glömmer bort att det inte är korrekt att multiplicera en bas med en faktor.
$4\cdot3^2=4\cdot9=36$4·32=4·9=36
Men
$4\cdot3^2\ne12^2=144$4·32≠122=144
På samma sätt gäller att
$f’\left(x\right)=3^x\cdot2\cdot\ln3\ne6^x\cdot\ln3$ƒ ’(x)=3x·2·ln3≠6x·ln3
Du får INTE multiplicera basen $a$a med faktorn $k$k eller $\ln a$lna i $f´(x)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ´(x)=C·akx·k·lna.
Exempel 3
Bestäm $f´(x)$ƒ ´(x) då $f(x)=5^x$ƒ (x)=5x. Ange ett exakt svar.
Lösning
Enligt deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen $a$a har vi att då
$f(x)=C\cdot a^{kx}$ƒ (x)=C·akx är $f´(x)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ´(x)=C·akx·k·lna
och då $k=1$k=1 får vi att vår funktions sökta derivata är
$f'(x)=5^x\cdot1\cdot\ln5=$ƒ ’(x)=5x·1·ln5= $5^x\cdot\ln5$5x·ln5
$\ln=1,609…$ln=1,609… men då vi ska svara exakt behåller vi $\ln5$ln5 i svaret.
Att ange ett exakt svar
När vi deriverar exponentialfunktioner får vi ofta ett svar med $\ln a$lna. Har basen värdet $e$e beräknar vi $\ln e=1$lne=1 och förenklar svaret. Men när basen är ett annat tal motsvarar värdet av $\ln a$lna ett långt decimaltal, som kanske dessutom är irrationellt, alltså inte kan skrivas som en kvot av två heltal, då behåller vi det exakta värdet $\ln a$lna.
När det efterfrågas ett exakt svar behåller vi $\ln a$lna i svaret om det inte ger ett exakt värde när vi multiplicerar det med $k$k, vilket det väldigt väldigt sällan blir.
Det är först vid tillämpning som ett närmevärde blir intressant att ta fram eftersom att det då ska tolkat till något. I det sammanhanget vill man oftast ha ett närmevärde. Istället för svaret $3\cdot\ln4$3·ln4 dagar vill man då gärna ha drygt $4$4 dagar.
Exempel 4
Bestäm $f´(x)$ƒ ´(x) då $f\left(x\right)=4^{2x}+5x$ƒ (x)=42x+5x. Ange ett exakt svar.
Lösning
Man deriverar term för term. Den första termen har variabeln i exponenten och vi använder därför deriveringsregeln för exponentialfunktioner där,
$f\left(x\right)=Ca^{kx}$ƒ (x)=Cakx ⇒ $f´(x)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ´(x)=C·akx·k·lna
medan den andra termen har variabeln i basen och vi använder därför deriveringsregeln för potensfunktioner för den.
$f\left(x\right)=kx^n$ƒ (x)=kxn ⇒ $f´(x)=n\cdot kx^{n-1}$ƒ ´(x)=n·kxn−1
och får att
$f\left(x\right)=4^{2x}+5x$ƒ (x)=42x+5x ⇒ $f´(x)=4^{2x}\cdot2\cdot\ln4+5$ƒ ´(x)=42x·2·ln4+5
Då det efterfrågas ett exakt svar behåller vi $\ln4$ln4 eftersom att $\ln4\approx1,386…$ln4≈1,386…
Exempel i videon
- Derivera $ f(x)=2^x $.
- Derivera $ f(x)=e^{2x} $.
- Derivera $ f(x)= 6^x$.
- Derivera $ f(x)= e^{-2x}$.
- Derivera $ f(x)= 4e^{8x}$.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (9)
-
1. Premium
Din vän ska derivera funktionen $y=5^x$y=5x och får resultatet
$y’=x\cdot5^{(x-1)}$y’=x·5(x−1)
Vad tänker du om din väns derivering?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
Ange derivatan till $f(x)=e^x$ƒ (x)=ex
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan derivatan för exponentialfunktioner deriveringsreglerRättar...3. Premium
Bestäm derivatan för $f(x)=3e^x$ƒ (x)=3ex
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Derivera $f(x)=e^{3x}+3$ƒ (x)=e3x+3
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Deriveringsregler ExponentialfunktionerLiknande uppgifter: derivatan derivatan för en exponentialfunktion deriveringsregler Matematik 3Rättar...5. Premium
Ange derivatan till $f(x)=5e^{2x}$ƒ (x)=5e2x
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan derivatan för exponentialfunktioner deriveringsreglerRättar...6. Premium
Ange derivatan till $f(x)=2e^{4x}+8e^x$ƒ (x)=2e4x+8ex
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan derivatan för exponentialfunktioner deriveringsreglerRättar...7. Premium
För funktionen $f$ƒ gäller att $f(x)=e^x$ƒ (x)=ex
Vilket av följande påståenden A-E är korrekt?
A. $f$ƒ är en exponentialfunktion med basen $e$e där $e\approx1,718$e≈1,718
B. $f$ƒ har en graf som går genom punkten $(1,0)$(1,0)
C. $f$ƒ är avtagande för $x<0$x<0 och växande för $x>0$x>0
D. $f$ƒ har egenskapen att för alla $x$x gäller att $f′(x)=f(x)$ƒ ′(x)=ƒ (x)
E. $f$ƒ har egenskapen att $f′(1)=0$ƒ ′(1)=0Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och deriveringsregler Deriveringsregler ExponentialfunktionerRättar...8. Premium
Vilken av derivatorna nedan tillhör funktionen $f(x)=e^{2x}+e^x$ƒ (x)=e2x+ex ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...9. Premium
Derivera $f(x)=6^x$ƒ (x)=6x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (5)
-
10. Premium
Derivera $y=7^x+x^7$y=7x+x7
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och deriveringsregler Deriveringsregler Exponentialfunktioner Matematik 3Rättar... -
11. Premium
Derivera $f(x)=3^{2x}-ex$ƒ (x)=32x−ex
Ange ett exakt svar.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Deriveringsregler ExponentialfunktionerLiknande uppgifter: derivatan deriveringsregler Matematik 3Rättar...12. Premium
Derivera $f\left(x\right)=2e^{\frac{x}{2}}$ƒ (x)=2ex2
Ange ett exakt svar.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan deriveringsregler Matematik 3Rättar...13. Premium
Derivera $y=2^{3x}+2x^3$y=23x+2x3 och välj det alternativ som motsvarar funktionens derivata i förenklad form.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Deriveringsregler ExponentialfunktionerLiknande uppgifter: Derivata och deriveringsregler Deriveringsregler Exponentialfunktioner Matematik 3Rättar...14. Premium
Derivera $g(x)=12e^{\frac{x}{2}}+5^x+7$g(x)=12ex2 +5x+7
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (1)
-
15. Premium
Alexandra hävdar att eftersom vi vet att funktionen $f(x)=e^x$ƒ (x)=ex har derivatan $f´(x)=e^x$ƒ ´(x)=ex så vet vi också, med hjälp av derivatans definition, att
$\lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{e^h-1}{h}=$eh−1h =$1$1
Vad tänker du om Alexandras slutsats?
Öva på att skriva din motivering på ett papper. Den kommer krävas för att få poäng på A-nivå.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Irma Frank
Hej,
Är ett korrekt svar på fråga 11: f′(x)=ln9⋅3^(2x)−e? Tänker att det är ”snyggare” att skriva ln 9 istället för 2 * ln 3?
Eddler
Hej Irma!
Ja, $f'(x)=\ln 9\cdot 3^{2x}-e$ är ett korrekt svar. Eftersom $2\ln 3=\ln 3^2=\ln 9$ är det samma sak skrivet på ett annat sätt, och det är onekligen kompaktare.
Den skrivningen är nu tillagd bland de godkända svaren.
Staffan Carle
Hej! I uppg.7 är inte c ett korrekt alternativ?
Eddler
Hej!
Alternativ C stämmer inte. Funktionen $f(x) = e^x$ är strikt växande för alla $x$, även när $x < 0$. Grafen lutar alltid uppåt, den avtar aldrig. Det korrekta påståendet är D: för $e^x$ gäller att $f'(x) = f(x)$ för alla $x$, det vill säga derivatan är lika med funktionsvärdet. Det är den egenskap som definierar $e$.
Elin Sjöberg
Hej, i videon framgår att $f(x)=C\cdot e^{kx}$ får $f´(x)=k\cdot C\cdot e^{kx}$ medans i den förklarande texten står det att $f(x)=Ce^{kx}$ får $f´(x)=Ce^{kx}\cdot k$.
Varför är det olika eller är det något som inte stämmer?
Louise Widebrant
Hej!
Hur kommer det sig att man löser fråga 10 med deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen a när basen är e?
Signe
Hej, fråga 6 saknar rätt svarsalternativ. Det som står i förklaringen finns inte som svarsalternativ.
Julia Ojeda Ottosson
Tack så mycket! Nu förstår jag 😀
Julia Ojeda Ottosson
Hej! Har problem med denna uppgift där jag ska bestämma första derivatan till funktionen: f(x)=x^3-6x+4
Förstår verkligen inte 🙁
Wilfred Cederholm
Hej
Derivatan för f(x)=a^x måste väla vara Df(x)= xa^x-1 ?
Mvh Wilfred
Caroline
Hej Simon.
I slutet på videon, cirka 03:50 så säger du att
f(x)= 4e^8x blir f'(x)= 8*4e^8x.
Jag undrar varför man inte drar bort en del från exponenten 8? Alltså att svaret bör bli:
f'(x)=8*4e^7x. När man ju annars drar bort.
Sen sitter jag fast på en fråga på ett gammalt nationella; Derivera y = e^4x
Jag vet att svaret blir y’=4e^4x. Men även här, varför drar man inte bort ett från exponenten 4?
Finns det någon annan video för just detta med att derivera e^4x?
Tack på förhand,
/Carro
AnnaM.
Hej!
Vad är talet e? Förstår inte. I matteboken står det :
f(x+h) – f(x)/ h= a^x+h – a^x / h = a^x * a^h- 1/h
Vart kom ettan ifrån? Och sen en massa tabeller med gränsvärden och konstanter med decimaler 🙁
emil saltin
Y=70*0,855^x kan skrivas Y=70*e^kx
Hur bestämmer man talet k med 3 decimaler och visst är funktionen avtagande?
Sara Thulesius
Hej,
Tack för kanonbra genomgångar!
Hur bestämmer man en ekvation för tangenten till en funktion, i detta fall f(x)=e^x i tex punkten (1,e)?
Tacksam för hjälp
Xiaoting Chen
Hur löser man den här ekvationen e^0.5x=6-0.5x genom att rita graferna till y=e^0.5x och y= 6-0.5x.
EmelieBengtsson
Hej, jag har kört fast med det här att derivera med talet e.
204*e^1,5t
5ex-6e^-3x+e^1x
Hur ska man göra?
abfvuxgot
Hej! Har kört fast på detta tal. Derivera 1/e^x och ange svaret utan negativa exponenter?
nti_ma3
vad är derivatan för 3 x^4x=? och 3 4^5x=?
Rayhanny
Hur skulle du derivera detta talet, 3^x+3x
Ahmedgaal
hej!
det är jätte bra förklaring hur du resonerar genomgångarna och jag tackar dig. det enda jag behöver veta är att jag skall göra slutprov på matte och jag köpte matte c och nutiden finns det så kallade matte 3 och hur det blir för mig som köpte denna matte c
ifall frågar jag om det finns skillnad på slutprov matte c förtiden och slutprov matte 3 i nutiden.
Endast Premium-användare kan kommentera.