Författare:Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
I den här lektionen lär du dig att derivera exponentialfunktioner, med hjälp av deriveringsregler.
I Ma3b och Ma3c är exponenten i stort sätt alltid en linjär funktion, alltså en förstagradsfunktion. Derivatan till alla linjära funktioner är alltid en konstant. Därför brukar man ibland lite slarvigt säga att man ”multiplicerar med koefficienten i exponenten”. Men det beror alltså på att derivatan av exponenten, när den är linjär, alltid motsvaras av koefficienten i exponenten.
Det vi egentligen gör är att vi använder oss av kedjeregeln som säger att derivatan till en sammansatt funktion y=f(g(x))y=ƒ (g(x)) har derivatan y′=f′(g(x))⋅g′(x)y´=ƒ ´(g(x))·g´(x) där den inre funktionen är gg och den yttre funktionen är fƒ . Regeln introduceras i Ma4.
Exponentialfunktioner på basen a
Om funktionen står skriven på formen f(x)=Cakxƒ (x)=Cakx ges derivatan av:
f′(x)=Cakx⋅k⋅lnaƒ ’(x)=Cakx·k·lna
lnln står för den naturliga logaritmen som är logaritmen med basen ee .
Exponentialfunktioner på basen e
Denna regel blir extra enkel att använda när vi har en exponentialfunktion med basen ee. Detta efter som att lne=1lne=1. Vi får då att
f′(x)=Cekx⋅k⋅lne=Cekx⋅kƒ ’(x)=Cekx·k·lne=Cekx·k
Skulle dess utom koefficienten i exponenten kk vara lika med 11 får vi en ännu enklare regel, nämligen att
f′(x)=Cex⋅1⋅lne=Cexƒ ’(x)=Cex·1·lne=Cex.
Alltså denna speciella egenskap att funktionen är identisk med sin derivata. Men observera att detta bara gäller när basen är ee och variabeln xx står ensam i exponenten.
Om funktionen står skriven på basen ee enligt f(x)=Cekx så ges derivatan av
f′(x)= Cekx⋅k
Viktigt att notera här är att exponenten inte förändras. Det är bara för potensfunktionerna. För exponentialfunktionen förblir exponenten den samma vid derivering.
Exempel 1
Bestäm f′(x)ƒ ´(x) då f(x)=e4xƒ (x)=e4x
Lösning
Vi använder deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen ee och deriverar funktionen.
f(x)=C⋅ekxƒ (x)=C·ekx är f′(x)=k⋅C⋅ekxƒ ´(x)=k·C·ekx
Viktigt att komma ihåg här är alltså att exponenten inte förändras när du deriverar exponentialfunktioner. Vi får att då
f(x)=e4xƒ (x)=e4x är f′(x)=4e4xƒ ’(x)=4e4x
Exempel 2
Bestäm f′(x)ƒ ´(x) då f(x)=2e3xƒ (x)=2e3x
Lösning
Vi använder deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen ee och deriverar funktionen.
f(x)=C⋅ekxƒ (x)=C·ekx är f′(x)=k⋅C⋅ekxƒ ´(x)=k·C·ekx
Viktigt att komma ihåg här är alltså att exponenten inte förändras när du deriverar exponentialfunktioner. Vi får att då
f(x)=2e3xƒ (x)=2e3x är f′(x)=6e3xƒ ´(x)=6e3x
eftersom att
f′(x)=3⋅2⋅e3x=6x3xƒ ´(x)=3·2·e3x=6x3x
Observera att exponenten förblir oförändrad vid deriveringen.
Vanligt fel vid derivering av exponentialfunktioner
Det är vanligt att man glömmer bort att det inte är korrekt att multiplicera en bas med en faktor.
4⋅32=4⋅9=364·32=4·9=36
Men
4⋅32=122=1444·32≠122=144
På samma sätt gäller att
f’(x)=3x⋅2⋅ln3=6x⋅ln3ƒ ’(x)=3x·2·ln3≠6x·ln3
Du får INTE multiplicera basen aa med faktorn kk eller lnalna i f′(x)=C⋅akx⋅k⋅lnaƒ ´(x)=C·akx·k·lna.
Exempel 3
Bestäm f′(x)ƒ ´(x) då f(x)=5xƒ (x)=5x. Ange ett exakt svar.
Lösning
Enligt deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen aa har vi att då
f(x)=C⋅akxƒ (x)=C·akx är f′(x)=C⋅akx⋅k⋅lnaƒ ´(x)=C·akx·k·lna
och då k=1k=1 får vi att vår funktions sökta derivata är
f′(x)=5x⋅1⋅ln5=ƒ ’(x)=5x·1·ln5= 5x⋅ln55x·ln5
ln=1,609…ln=1,609… men då vi ska svara exakt behåller vi ln5ln5 i svaret.
Att ange ett exakt svar
När vi deriverar exponentialfunktioner får vi ofta ett svar med lnalna. Har basen värdet ee beräknar vi lne=1lne=1 och förenklar svaret. Men när basen är ett annat tal motsvarar värdet av lnalna ett långt decimaltal, som kanske dessutom är irrationellt, alltså inte kan skrivas som en kvot av två heltal, då behåller vi det exakta värdet lnalna.
När det efterfrågas ett exakt svar behåller vi lnalna i svaret om det inte ger ett exakt värde när vi multiplicerar det med kk, vilket det väldigt väldigt sällan blir.
Det är först vid tillämpning som ett närmevärde blir intressant att ta fram eftersom att det då ska tolkat till något. I det sammanhanget vill man oftast ha ett närmevärde. Istället för svaret 3⋅ln43·ln4 dagar vill man då gärna ha drygt 44 dagar.
Exempel 4
Bestäm f′(x)ƒ ´(x) då f(x)=42x+5xƒ (x)=42x+5x. Ange ett exakt svar.
Lösning
Man deriverar term för term. Den första termen har variabeln i exponenten och vi använder därför deriveringsregeln för exponentialfunktioner där,
f(x)=Cakxƒ (x)=Cakx ⇒ f′(x)=C⋅akx⋅k⋅lnaƒ ´(x)=C·akx·k·lna
medan den andra termen har variabeln i basen och vi använder därför deriveringsregeln för potensfunktioner för den.
f(x)=kxnƒ (x)=kxn ⇒ f′(x)=n⋅kxn−1ƒ ´(x)=n·kxn−1
och får att
f(x)=42x+5xƒ (x)=42x+5x ⇒ f′(x)=42x⋅2⋅ln4+5ƒ ´(x)=42x·2·ln4+5
Då det efterfrågas ett exakt svar behåller vi ln4ln4 eftersom att ln4≈1,386…ln4≈1,386…
Exempel i videon
- Derivera f(x)=2x.
- Derivera f(x)=e2x.
- Derivera f(x)=6x.
- Derivera f(x)=e−2x.
- Derivera f(x)=4e8x.
Kommentarer
e-uppgifter (9)
1.
(1/0/0)E C A B P PL M R 1 K Din vän ska derivera funktionen y=5xy=5x och får resultatet
y’=x⋅5(x−1)y’=x·5(x−1)
Vad tänker du om din väns derivering?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Ange derivatan till f(x)=exƒ (x)=ex
Svar:Ditt svar:Rätt svar: f′(x)=ex(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm derivatan för f(x)=3exƒ (x)=3ex
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Derivera f(x)=e3x+3ƒ (x)=e3x+3
Svar:Ditt svar:Rätt svar: f′(x)=3e3x(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Ange derivatan till f(x)=5e2xƒ (x)=5e2x
Svar:Ditt svar:Rätt svar: f′(x)=10e2x(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Ange derivatan till f(x)=2e4x+8exƒ (x)=2e4x+8ex
Svar:Ditt svar:Rätt svar: f′(x)=8e4x+8ex(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(1/0/0)NPE C A B 1 P PL M R K För funktionen fƒ gäller att f(x)=exƒ (x)=ex
Vilket av följande påståenden A-E är korrekt?
A. fƒ är en exponentialfunktion med basen ee där e≈1,718e≈1,718
B. fƒ har en graf som går genom punkten (1,0)(1,0)
C. fƒ är avtagande för x<0x<0 och växande för x>0x>0
D. fƒ har egenskapen att för alla xx gäller att f′(x)=f(x)ƒ ′(x)=ƒ (x)
E. fƒ har egenskapen att f′(1)=0ƒ ′(1)=0Svar:Ditt svar:Rätt svar: Alternativ D(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Vilken av derivatorna nedan tillhör funktionen f(x)=e2x+exƒ (x)=e2x+ex ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...9. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Derivera f(x)=6xƒ (x)=6x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (5)
10. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Derivera y=7x+x7y=7x+x7
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...11. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Derivera f(x)=32x−exƒ (x)=32x−ex
Ange ett exakt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: f′(x)=32x⋅2⋅ln3−e(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...12. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Derivera f(x)=2e2xƒ (x)=2ex2
Ange ett exakt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: f′(x)=e2x(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...13. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Derivera y=23x+2x3y=23x+2x3 och välj det alternativ som motsvarar funktionens derivata i förenklad form.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...14. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Derivera g(x)=12e2x+5x+7g(x)=12ex2 +5x+7
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (1)
15. Premium
(0/0/3)E C A B P 1 PL M R 1 K 1 Alexandra hävdar att eftersom vi vet att funktionen f(x)=exƒ (x)=ex har derivatan f′(x)=exƒ ´(x)=ex så vet vi också, med hjälp av derivatans definition, att
h→0lim heh−1=eh−1h =11
Vad tänker du om Alexandras slutsats?
Öva på att skriva din motivering på ett papper. Den kommer krävas för att få poäng på A-nivå.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Elin Sjöberg
Hej, i videon framgår att f(x)=C⋅ekx får f′(x)=k⋅C⋅ekx medans i den förklarande texten står det att f(x)=Cekx får f′(x)=Cekx⋅k.
Varför är det olika eller är det något som inte stämmer?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Elin,
det beror på ett vi kan byta plats på faktorer utan att påverka värdet av produkten. Så det är bara två sätt att skriva samma sak.
Ex. f(x)=4e2x har derivatan f′(x)=8e2x. Vi kan bestämma den antingen genom att ta
f′(x)=4e2x⋅2=8e2x eller f′(x)=2⋅4e2x=8e2x
Louise Widebrant
Hej!
Hur kommer det sig att man löser fråga 10 med deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen a när basen är e?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Deriveringsregeln för basen a fungerar för alla baser, även basen e, men inte tvärt om. Så det är bara för att slippa skriva två olika deriveringsregler.
Signe
Hej, fråga 6 saknar rätt svarsalternativ. Det som står i förklaringen finns inte som svarsalternativ.
Julia Ojeda Ottosson
Tack så mycket! Nu förstår jag 😀
Julia Ojeda Ottosson
Hej! Har problem med denna uppgift där jag ska bestämma första derivatan till funktionen: f(x)=x^3-6x+4
Förstår verkligen inte 🙁
Simon Rybrand (Moderator)
Där använder du deriveringsregler för polynomfunktioner: /lektioner/deriveringsregler-polynom/. Kika gärna på dem så att du lär dig det. Derivatan är annars: f′(x)=3x2−6
Wilfred Cederholm
Hej
Derivatan för f(x)=a^x måste väla vara Df(x)= xa^x-1 ?
Mvh Wilfred
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Nej derivatan för exponentialfunktioner fungerar inte på samma vis som för polynomfunktioner. Här är derivatan istället
f′(x)=ax⋅lna
Caroline
Hej Simon.
I slutet på videon, cirka 03:50 så säger du att
f(x)= 4e^8x blir f'(x)= 8*4e^8x.
Jag undrar varför man inte drar bort en del från exponenten 8? Alltså att svaret bör bli:
f'(x)=8*4e^7x. När man ju annars drar bort.
Sen sitter jag fast på en fråga på ett gammalt nationella; Derivera y = e^4x
Jag vet att svaret blir y’=4e^4x. Men även här, varför drar man inte bort ett från exponenten 4?
Finns det någon annan video för just detta med att derivera e^4x?
Tack på förhand,
/Carro
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Om du kikar på deriveringsregeln för exponentialfunktioner på basen e så är skillnaden mot polynomfunktioner att exponenten inte ändras. Regeln är följande:
f(x)=keax har derivatan
f‘(x)=a⋅keax
Dvs det är samma exponent ax
Detta bör ju också svara på din andra fråga här, säg till annars så diskuterar vi vidare.
AnnaM.
Hej!
Vad är talet e? Förstår inte. I matteboken står det :
f(x+h) – f(x)/ h= a^x+h – a^x / h = a^x * a^h- 1/h
Vart kom ettan ifrån? Och sen en massa tabeller med gränsvärden och konstanter med decimaler 🙁
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Jag anar att du skall bestämma derivatan av f(x)=ax med hjälp av derivatans definition som vi kan ställa upp enligt
hf(x+h)−f(x)=hax+h−ax=haxah−ax
Här kan du bryta ut ax i täljaren så att du får
hax(ah−1)=axhah−1
Går det att förstå vad ettan kommer ifrån då? Det är alltså från att vi bryter ut ax
Talet e är ett irrationellt tal vars närmevärde är e≈2,7182818284590452 och detta tal e är sådant att
h→0limaxhah−1=ax.
Dvs då h→0limhah−1=1
Hoppas att detta hjälper dig vidare med att förstå och fördjupa dig i talet e.
emil saltin
Y=70*0,855^x kan skrivas Y=70*e^kx
Hur bestämmer man talet k med 3 decimaler och visst är funktionen avtagande?
Simon Rybrand (Moderator)
Funktionen är avtagande och ser ut enligt följande:
Ställ upp ekvationen
ekx=0,855x⇔
lnekx=ln0,855x⇔
kx=xln0,855⇔
k=ln0,855≈−0,157
Sara Thulesius
Hej,
Tack för kanonbra genomgångar!
Hur bestämmer man en ekvation för tangenten till en funktion, i detta fall f(x)=e^x i tex punkten (1,e)?
Tacksam för hjälp
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Kika in den här genomgången där vi går igenom metoden för detta:
/lektioner/derivata-och-tangentens-lutning/
Xiaoting Chen
Hur löser man den här ekvationen e^0.5x=6-0.5x genom att rita graferna till y=e^0.5x och y= 6-0.5x.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Om du ritar ut de bägge funktionerna (i en grafritande räknare, online eller på datorn) så hittar du lösningarna till ekvationen där de bägge funktionernas grafer skär varandra.
EmelieBengtsson
Hej, jag har kört fast med det här att derivera med talet e.
204*e^1,5t
5ex-6e^-3x+e^1x
Hur ska man göra?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
y=204⋅e1,5t
Har derivatan
y′=1,5⋅2041,5t=3061,5t
Tänk på att exponenten inte förändras när funktionen deriveras.
abfvuxgot
Hej! Har kört fast på detta tal. Derivera 1/e^x och ange svaret utan negativa exponenter?
Simon Rybrand (Moderator)
Du kan använda potensregeln
a−b=ab1
både när du skriver om funktionen för att derivera och när du anger svaret. Dvs
y=ex1=e−x
y′=−e−x=ex−1
nti_ma3
vad är derivatan för 3 x^4x=? och 3 4^5x=?
Rayhanny
Hur skulle du derivera detta talet, 3^x+3x
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, där använder du deriveringsregeln för exponentialfunktioner med en annan bas en talet e, nämligen
y=ax har derivatan y′=ax⋅lna
så du får derivatan y’=3xln3+3
Ahmedgaal
hej!
det är jätte bra förklaring hur du resonerar genomgångarna och jag tackar dig. det enda jag behöver veta är att jag skall göra slutprov på matte och jag köpte matte c och nutiden finns det så kallade matte 3 och hur det blir för mig som köpte denna matte c
ifall frågar jag om det finns skillnad på slutprov matte c förtiden och slutprov matte 3 i nutiden.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, Kul att du gillar genomgången om derivata och exponentialfunktioner. Det är väldigt svårt för oss att svara kring specifika slutprov och hur dessa är utformade. Matematik 3 är ju en helt ny kurs för året och det har ännu inte gått något nationellt prov på detta. Kontakta den skola som anordnar slutprovet för att få mer information.
Endast Premium-användare kan kommentera.