00:00
00:00
KURSER  / 
Övningsgeneratorn
/  Övningsgeneratorn

Deriveringsregler Exponentialfunktioner

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

I den här lektionen lär du dig att derivera exponentialfunktioner, med hjälp av deriveringsregler.
I Ma3b och Ma3c är exponenten i stort sätt alltid en linjär funktion, alltså en förstagradsfunktion. Derivatan till alla linjära funktioner är alltid en konstant. Därför brukar man ibland lite slarvigt säga att man ”multiplicerar med koefficienten i exponenten”. Men det beror alltså på att derivatan av exponenten, när den är linjär, alltid motsvaras av koefficienten i exponenten.

Det vi egentligen gör är att vi använder oss av kedjeregeln som säger att derivatan till en sammansatt funktion  y=f(g(x))y=f(g(x))y=ƒ (g(x)) har derivatan y=f(g(x))g(x)y'=f'(g(x))\cdot g'(x)y´=ƒ ´(g(x))·g´(x) där den inre funktionen är ggg och den yttre funktionen är ffƒ . Regeln introduceras i Ma4.

Exponentialfunktioner på basen a

Om funktionen står skriven på formen  f(x)=Cakxf(x)=Ca^{kx}ƒ (x)=Cakx  ges derivatan av:

 f(x)=Cakxklnaf'(x)=Ca^{kx}\cdot k\cdot\ln aƒ ’(x)=Cakx·k·lna 

 ln\lnln står för den naturliga logaritmen som är logaritmen med basen  eee .

Exponentialfunktioner på basen e

Denna regel blir extra enkel att använda när vi har en exponentialfunktion med basen  eee. Detta efter som att  lne=1\ln e=1lne=1. Vi får då att

 f(x)=Cekxklne=Cekxkf'(x)=Ce^{kx}\cdot k\cdot\ln e=Ce^{kx}\cdot kƒ ’(x)=Cekx·k·lne=Cekx·k  

Skulle dess utom koefficienten i exponenten  kkk vara lika med  111 får vi en ännu enklare regel, nämligen att

 f(x)=Cex1lne=Cexf'(x)=Ce^x\cdot1\cdot\ln e=Ce^xƒ ’(x)=Cex·1·lne=Cex.

Alltså denna speciella egenskap att funktionen är identisk med sin derivata. Men observera att detta bara gäller när basen är eee och variabeln  xxx  står ensam i exponenten.

Om funktionen står skriven på basen eee enligt f(x)=Cekx f(x) = Ce^{kx} så ges derivatan av

f(x)= Cekxk f'(x) =  C e^{kx}\cdot k

Viktigt att notera här är att exponenten inte förändras. Det är bara för potensfunktionerna. För exponentialfunktionen förblir exponenten den samma vid derivering.

Exempel 1

Bestäm f(x)f'(x)ƒ ´(x) då  f(x)=e4xf(x)=e^{4x}ƒ (x)=e4x  

Lösning

Vi använder deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen  eee  och deriverar funktionen.

 f(x)=Cekxf(x)=C\cdot e^{kx}ƒ (x)=C·ekx  är  f(x)=kCekxf'(x)=k\cdot C\cdot e^{kx}ƒ ´(x)=k·C·ekx  

Viktigt att komma ihåg här är alltså att exponenten inte förändras när du deriverar exponentialfunktioner. Vi får att då

 f(x)=e4xf(x)=e^{4x}ƒ (x)=e4x  är  f(x)=4e4xf'(x)=4e^{4x}ƒ ’(x)=4e4x  

Exempel 2

Bestäm f(x)f'(x)ƒ ´(x) då  f(x)=2e3xf(x)=2e^{3x}ƒ (x)=2e3x  

Lösning

Vi använder deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen  eee  och deriverar funktionen.

 f(x)=Cekxf(x)=C\cdot e^{kx}ƒ (x)=C·ekx  är  f(x)=kCekxf'(x)=k\cdot C\cdot e^{kx}ƒ ´(x)=k·C·ekx  

Viktigt att komma ihåg här är alltså att exponenten inte förändras när du deriverar exponentialfunktioner. Vi får att då

 f(x)=2e3xf(x)=2e^{3x}ƒ (x)=2e3x  är  f(x)=6e3xf'(x)=6e^{3x}ƒ ´(x)=6e3x

eftersom att

 f(x)=32e3x=6x3xf'(x)=3\cdot2\cdot e^{3x}=6x^{3x}ƒ ´(x)=3·2·e3x=6x3x 

Observera att exponenten förblir oförändrad vid deriveringen.  

Vanligt fel vid derivering av exponentialfunktioner

Det är vanligt att man glömmer bort att det inte är korrekt att multiplicera en bas med en faktor.

 432=49=364\cdot3^2=4\cdot9=364·32=4·9=36  

Men

 432122=1444\cdot3^2\ne12^2=1444·32122=144 

På samma sätt gäller att 

 f(x)=3x2ln36xln3f’\left(x\right)=3^x\cdot2\cdot\ln3\ne6^x\cdot\ln3ƒ (x)=3x·2·ln36x·ln3 

Du får INTE multiplicera basen aaa med faktorn kkk eller  lna\ln alna  i  f(x)=Cakxklnaf'(x)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln aƒ ´(x)=C·akx·k·lna

Exempel 3

Bestäm f(x)f'(x)ƒ ´(x) då  f(x)=5xf(x)=5^xƒ (x)=5x.  Ange ett exakt svar.

Lösning

Enligt deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen  aaa  har vi att då

 f(x)=Cakxf(x)=C\cdot a^{kx}ƒ (x)=C·akx  är  f(x)=Cakxklnaf'(x)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln aƒ ´(x)=C·akx·k·lna  

och då  k=1k=1k=1  får vi att vår funktions sökta derivata är

 f(x)=5x1ln5=f'(x)=5^x\cdot1\cdot\ln5=ƒ ’(x)=5x·1·ln5= 5xln55^x\cdot\ln55x·ln5 

 ln=1,609\ln=1,609…ln=1,609…  men då vi ska svara exakt behåller vi ln5\ln5ln5 i svaret.

Att ange ett exakt svar

När vi deriverar exponentialfunktioner får vi ofta ett svar med  lna\ln alna. Har basen värdet eee beräknar vi  lne=1\ln e=1lne=1 och förenklar svaret. Men när basen är ett annat tal motsvarar värdet av lna\ln alna ett långt decimaltal, som kanske dessutom är irrationellt, alltså inte kan skrivas som en kvot av två heltal, då behåller vi det exakta värdet  lna\ln alna.

När det efterfrågas ett exakt svar behåller vi  lna\ln alna i svaret om det inte ger ett exakt värde när vi multiplicerar det med kkk, vilket det väldigt väldigt sällan blir.

Det är först vid tillämpning som ett närmevärde blir intressant att ta fram eftersom att det då ska tolkat till något. I det sammanhanget vill man oftast ha ett närmevärde. Istället för svaret  3ln43\cdot\ln43·ln4 dagar vill man då gärna ha drygt 444 dagar.

Exempel 4

Bestäm f(x)f'(x)ƒ ´(x) då f(x)=42x+5xf\left(x\right)=4^{2x}+5xƒ (x)=42x+5x.   Ange ett exakt svar.

Lösning

Man deriverar term för term. Den första termen har variabeln i exponenten och vi använder därför deriveringsregeln för exponentialfunktioner där,

 f(x)=Cakxf\left(x\right)=Ca^{kx}ƒ (x)=Cakx      ⇒    f(x)=Cakxklnaf'(x)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln aƒ ´(x)=C·akx·k·lna     

medan den andra termen har variabeln i basen och vi använder därför deriveringsregeln för potensfunktioner för den. 

  f(x)=kxnf\left(x\right)=kx^nƒ (x)=kxn     ⇒     f(x)=nkxn1f'(x)=n\cdot kx^{n-1}ƒ ´(x)=n·kxn1 

och får att

 f(x)=42x+5xf\left(x\right)=4^{2x}+5xƒ (x)=42x+5x  ⇒    f(x)=42x2ln4+5f'(x)=4^{2x}\cdot2\cdot\ln4+5ƒ ´(x)=42x·2·ln4+5 

Då det efterfrågas ett exakt svar behåller vi ln4\ln4ln4 eftersom att ln41,386\ln4\approx1,386…ln41,386… 

Exempel i videon

  • Derivera f(x)=2x f(x)=2^x .
  • Derivera f(x)=e2x f(x)=e^{2x} .
  • Derivera f(x)=6x f(x)= 6^x.
  • Derivera f(x)=e2x f(x)= e^{-2x}.
  • Derivera f(x)=4e8x f(x)= 4e^{8x}.