Nationellt prov Matematik 3c ht 2013 del D

Bestäm de värden på $x$x för vilka det gäller att grafen till  $f\left(x\right)=x^3-0,88x$ƒ (x)=x³−0,88x har lutningen $5$5 

Beräkna triangelns area.

Figuren nedan visar grafen till $f\left(x\right)=-0,75x^2+3$ƒ (x)=−0,75x²+3 och en rektangel.
Rektangeln har sina hörn i punkterna $\left(-2,\text{ }0\right)$(−2, 0), $\left(-2,\text{ }5\right)$(−2, 5), $\left(2,\text{ }0\right)$(2, 0) och $\left(2,\text{ }5\right)$(2, 5).

a) Använd figuren och förklara med ord varför $\int\limits_{-2}^0$ $f\left(x\right)\text{ }dx=$ƒ (x) dx=$\int\limits_0^2$ $f\left(x\right)\text{ }dx$ƒ (x) dx 

b) Bestäm arean av det skuggade området.

Idag finns det cirka $7$7 miljarder människor på jorden. En modell som beskriver antalet människor på jorden som funktion av tiden är 

$N\left(t\right)=$N(t)=  $\frac{11}{1+3,4e^{-0,03\cdot t}}$111+3,4e^−0,03·t  

där $N$N är antalet människor i miljarder och $t$t är tiden i år efter $1950$1950.

a) Bestäm antalet människor på jorden år $1950$1950.

b) Enligt modellen kommer antalet människor på jorden med tiden att närma sig en övre gräns. Bestäm denna övre gräns för antalet människor med hjälp av modellen.

Anton och Anya vill veta avståndet mellan två platser, A och B, i skogen. Mellan dessa platser är det besvärligt att ta sig fram. Det är därför svårt för dem att mäta upp avståndet direkt.

Istället väljer de ut två platser C och D som tillsammans med B ligger längs samma linje. Sedan mäter Anton och Anya upp sträckorna AC, AD, BD och CD, se figur. Figuren är inte skalenlig.

Beräkna avståndet mellan A och B.

För en funktion $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)$ƒ (x)=(x−a)(x−b) där $a$a och $b$b är konstanter. Bestäm det samband som ska gälla mellan $a$a och $b$b för att grafen till $f$ƒ  ska ha en tangent med lutningen $2$2 då $x=4$x=4

För polynomfunktionen $f$ƒ  gäller att $f’\left(x\right)>0$ƒ ’(x)>0 för alla $x$x. Undersök hur många reella lösningar ekvationen $f\left(x\right)=0$ƒ (x)=0 har

Albins vikt kan beskrivas med funktionen $V\left(t\right)=0,10t^3-1,23t^2+6,51t+3,72$V(t)=0,10t³−1,23t²+6,51t+3,72 där vikten $V$V kg är en funktion av tiden $t$t år efter födseln. Funktionen gäller under hans åtta första levnadsår.

Den hastighet som Albins vikt ökar med varierar. Bestäm vilka värden hastigheten kan anta under Albins åtta första levnadsår.

Bakterien Clostridium perfringens kan orsaka allvarlig matförgiftning. Om mat som innehåller denna bakterie får svalna i rumstemperatur ökar antalet bakterier. Därför bör man alltid snabbt kyla ner maten efter tillagning. Det krävs ungefär $100\text{ }000$100 000 bakterier per gram mat för att en person ska bli matförgiftad.

Anta att det direkt efter tillagningen finns $100$100 bakterier per gram i en bit kokt lax. Den kokta laxen får svalna i rumstemperatur. Bakteriernas antal ökar med hastigheten $5,73e^{0,0573t}$5,73e^0,0573t bakterier per gram per minut vid tidpunkten $t$t minuter.

Hur lång tid tar det innan det finns så många bakterier per gram i laxen att en person som äter av den riskerar att bli matförgiftad?