00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3
BC
/  Derivatan och grafen

Växande och avtagande funktioner

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Derivatan är mycket användbar när vi ska studera funktioner och de tillhörande grafernas utseende.

Grafen till funktionen f(x)f\left(x\right)ƒ (x) är växande i de intervall där derivatan är positiv eller lika med noll.
Grafen till funktionen f(x)f\left(x\right)ƒ (x) är avtagande i de intervall där derivatan är negativ eller lika med noll.

Punkter där derivatan är lika med noll, så kallade stationära punkter, sägs både vara växande och avtagande.

Växande och avtagande funktioner

Genom att studera hur grafens yyy-värden förändras när xxx -värdena ökar, kan vi avgöra om grafen är växande eller avtagande i ett intervall.

Lite förenklat kan man sammanfatta växande och avtagande så här.

En funktion är växande då större xxx -värden även ger att funktionens yyy-värde ökar. Grafiskt ”stiger” grafen.
En funktion är avtagande då större xxx -värde istället ger att funktionens yyy-värde minskar. Grafiskt ”sjunker” grafen.

Mer exakt definierar vi detta som att

Funktionen ffƒ  är växande på intervall där  f(x1)f\left(x_1\right)\leƒ (x1) f(x2)f\left(x_2\right)ƒ (x2) för alla x1x_1x1 och x2x_2x2 i funktionens definitionsmängd, så länge x1<x_1<x1<  x2x_2x2.

Funktionen ffƒ  är avtagande på intervall där  f(x1)f\left(x_1\right)\geƒ (x1) f(x2)f\left(x_2\right)ƒ (x2) för alla x1x_1x1 och x2x_2x2 i funktionens definitionsmängd, så länge x1<x_1<x1<  x2x_2x2.

En funktion som är växande eller avtagande i hela sin definitionsmängd kallas monoton. Exempelvis är alla exponentialfunktioner monotona.

Exempel 1

Ange det intervall där funktionen är avtagande.
Avtagande och växande funktion

Lösning

Funktionen är avtagande i det slutna intervallen där derivatan är negativ. Derivatan är negativ i de punkter där tangentens lutning är negativ. Vi markera dessa områden i grafen med rött.

Växande och avtagande

Vi kan nu läsa av, att de intervall där funktionen är avtagande är för xx\lexaaa.

Exempel 2

Ange det intervall där funktionen är växande.

Grafen till en polynomfunktion

Lösning

Funktionen är växande i de intervallen där derivatan är positiv. Derivatan är positiv i de punkter där tangentens lutning är positiv. Vi markera dessa områden i grafen med blått.

Vi kan nu läsa av, att de intervall där funktionen är växande är för

  xax\le axa aaoch  bb\leb xx\lex ccc.

När vi talar och växande och avtagande funktioner göra vi det alltid, per definition, över ett intervall. Vi kan bestämma derivatans tecken i en viss punkt, men säger inte att funktionen är växande i punkten, utan i omgivningen av eller intervallet kring punkten x=ax=ax=a.

Samband mellan derivatan och tangentens lutning

Då derivatan även definieras som tangentens lutning i en punkt, kan vi med hjälp av tangenters lutning avgöra om derivatan är positiv eller negativ.

Samband mellan derivatan och tangentens lutning

Om tangentens lutning är positiv i en punkt (a, f(a))\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)(a, ƒ (a)), är även derivatans värde positivt i punkten x=ax=ax=a.

Om tangentens lutning är negativ i en punkt  (a, f(a))\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)(a, ƒ (a)), är även derivatans värde negativt i punkten x=ax=ax=a.

Om tangentens lutning är lika med noll i en punkt (a, f(a))\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)(a, ƒ (a)), är även derivatan lika med noll i punkten x=ax=ax=a.

Nu ett exempel för att förtydliga vad som menas.

Exempel 3

Figuren visar grafen till funktionen f(x)f\left(x\right)ƒ (x).

Avgör om derivatan är positiv, negativ eller lika med noll genom att dra tangenter till punkterna på grafen där xxx är lika med a, b, ca,\text{ }b,\text{ }ca, b, c och ddd .

Växande och avtagande

Lösning

Vi drar en tangent i punkterna på grafen med  xxx-värdena a, b, ca,\text{ }b,\text{ }ca, b, c och ddd .

Derivatan och tangentens lutning

Vi får följande.

f(a)>0f'(a)>0ƒ ’(a)>0  och  f(e)>0f'(e)>0ƒ ’(e)>0  eftersom att tangenterna för ffƒ   i  x=ax=ax=a och  x=ex=ex=e har en positiv lutning

 f(b)=0f'(b)=0ƒ ’(b)=0  och  f(d)=0f'(d)=0ƒ ’(d)=0  eftersom att tangenterna för ffƒ   i  x=bx=bx=b  och  x=dx=dx=d har lutningen noll

 f(c)<0f'(c)<0ƒ ’(c)<0  eftersom att tangenten för ffƒ   i  x=cx=cx=c  har en negativ lutning

Samband mellan derivatan och funktionens utseende

Med derivatans hjälp kan vi bestämma hur funktionen förändras i olika punkter. Vi får följande samband mellan derivatan och funktionens förändring.

Om funktionen ffƒ  är deriverabar i  x=ax=ax=a gäller att den räta linje som går genom punkten (a, f(a))\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)(a, ƒ (a)) och har lutningen f(a)f'\left(a\right)ƒ ´(a) kallas för tangenten för ffƒ  i punkten x=ax=ax=a.

Det medför att tangentens lutning, eller kkk-värde, har samma värde som förändringshastigheten i punkten, eller man andra ord, derivatans värde.

Växande och avtagande

Om funktionen ffƒ  är deriverabar på intervallet  a<a<a< x<x<x< bbb  gäller att

ff är växande i intervallet om och endast om  f(x)0f'(x)\ge0ƒ ´(x)0  för alla xxx i intervallet.

ff är avtagande i intervallet om och endast om  f(x)0f'(x)\le0ƒ ´(x)0  för alla xxx i intervallet.

Funktionen ovan är växande i de delar av grafen som är markerade med blått. I de delar som är markerade med rött i grafen är funktionen avtagande. I punkterna där derivatan är lika med noll,  f(x)=0f'(x)=0ƒ ´(x)=0, är funktionen både växande och avtagande.

Följden av definitionerna ovan är att en konstant funktion,  f(x)=Cf\left(x\right)=Cƒ (x)=C, både är växande och avtagande i hela sin definitionsmängd.

Strängt växande och strängt avtagande

I kurser på universitetet skiljer man mellan att en funktion är växande/avtagande eller sträng växande/avtagande. Om en funktion är stängt växande/avtagande måste funktionsvärdet öka/minska mellan två intill liggande funktionsvärden. Funktionsvärdet får alltså inte varar densamma för två intilliggande xxx-värden. Vi tittar på ett exempel.

Växande

Funktionen har ökande funktionsvärden för  x<x<x< aaa och x>bx>bx>b men i intervallet  a<a<a< x<x<x< bbb är funktionen konstant. Så en funktion kan sägas vara växande, även om den är konstant i något intervall, men inte strängt växande.

Konvexitet och konkavitet

Man kan beskriva hur en graf ser ut på ett visst intervall men begreppen konvex och konkav. Man menar då följande.

Konvex

Konvex

En funktion ffƒ  är konvex på intervallet a<a<a< x<x<x< bbb om det för varje par av punkter x1x_1x1 och x2x_2x2 där x1<x_1<x1<  x2x_2x2  och tillhör intervallet, gäller att en sekant igenom punkter (x1, f(x1))\left(x_1,\text{ }f\left(x_1\right)\right)(x1, ƒ (x1)) och  (x2, f(x2))\left(x_2,\text{ }f\left(x_2\right)\right)(x2, ƒ (x2)) ligger över eller på grafen för  ffƒ  på intervallet x1<x_1<x1< x<x<x< x2x_2x2 .

Konkav

Konkav

En funktion ffƒ  är konkav på intervallet a<a<a< x<x<x< bbb om det för varje par av punkter x1x_1x1 och x2x_2x2 där x1<x_1<x1<  x2x_2x2  och tillhör intervallet, gäller att en sekant igenom punkter (x1, f(x1))\left(x_1,\text{ }f\left(x_1\right)\right)(x1, ƒ (x1)) och  (x2, f(x2))\left(x_2,\text{ }f\left(x_2\right)\right)(x2, ƒ (x2)) ligger under eller på grafen för  ffƒ  på intervallet x1<x_1<x1< x<x<x< x2x_2x2 .

Inflexionspunkt

Den punkt x=ax=ax=a  där funktionen byter från att vara konvex till konkav eller tvärtom kallas för en inflexionspunkt.

I denna kursen kommer vi titta lite extra på den inflexionspunkt som kallas för terrasspunkt. Inflexionspunkten i figuren ovan är ingen terrasspunkt.

En terrasspunkt är en punkt som är både en inflexionspunkt och en stationär punkt. Alltså en punkt med egenskapen att både första och andraderivatan är lika med noll i punkten.

Det leder till att för inflexionspunkter x=ax=ax=a , och därmed även i terrasspunkter, har förstaderivatan en extrempunkt.

Derivatan och funktionens extrempunkter

I punkten där funktionen går från att ha varit växande till att bli avtagande eller tvärt omså har funktionen en så kallad extrempunkt. Det är den punkt där funktionsvärdet varken ökar eller minskar. Förändringen i punkten är noll.

Maximipunkt

En punkt aaa i en definitionsmängd kallas för en maximipunkt om det finns ett intervall kring punkten där f(a)f(x)f\left(a\right)\ge f\left(x\right)ƒ (a)ƒ (x) för alla xxx som tillhör definitionsmängden och intervallet.

Minimipunkt

En punkt aaa i en definitionsmängd kallas för en minimipunkt om det finns ett intervall kring punkten där  f(a)f(x)f\left(a\right)\le f\left(x\right)ƒ (a)ƒ (x) för alla xxx som tillhör definitionsmängden och intervallet.

Extrempunkt är ett samlingsnamn för vetrex, alltså minimi- och maximipunkter. De är som vi tidigare nämnt, så kallade stationära punkter. Det vill säga punkter  x=ax=ax=a  där derivatan antar värdet noll.

Utöver extrempunkterna har vi ännu en sorts stationära punkter att hålla koll på i denna kurs. Nämligen de så kallade terrasspunkterna. Det är punkter där derivatan har teckenväxlingen  +0++0++0+ alternativ  0-0-0. Vi kommer att gå igenom detta mer ingående i lektionen om Nollställen och teckentabeller.

Alternativt skrivsätt för intervall

För att ange ett intervall kan man även använda följande skrivsätt.

 (a, b)\left(a,\text{ }b\right)(a, b)  betecknar alla punkter xxx i intervallet  a<a<a< x<x<x< bbb och motsvarar ett öppen intervall.

 [a, b]\left[a,\text{ }b\right][a, b]  betecknar alla punkter  xxx i intervallet  aa\lea xx\lex bbb och motsvarar ett slutet intervall.

I ett öppet intervall ingår inte punkterna aaa och bbb i intervallet till skillnad från i ett slutet intervall. Skrivsätten kan kombineras för att beskriva halvöppna intervall, som exempelvis  a<a<a< xbx\le bxb  som då skriv som ( a, ba,\text{ }ba, b ].

Kontinuitet och deriverbarhet

Vi nämnde i en tidigare lektion att för att kunna ange derivatan i en specifik punkt i funktionen måste den vara kontinuerlig. Och därför gäller följande.

Om en funktion ffƒ  är deriverbar i x=ax=ax=a så är även ffƒ  kontinuerlig i x=ax=ax=a 

Grafen till en kontinuerlig funktion är sammanhängande i hela sin definitionsmängd. Grafen till en deriverbar funktion är dessutom ”mjukt” sammanhängande. Det vill säga, grafen gör inga tvära byten i riktning. Exempelvis är funktionen  f(x)=xf\left(x\right)=\left|x\right|ƒ (x)=|x| konturering men inte deriverbar i  x=0x=0x=0.  Se figuren nedan.

Graf till ett Absolutbelopp

För grafen byter riktning plötsligt kring origo. Det ger att den inte är ”tillräckligt mjuk” för att kunna dra en entydig tangent i origo. Tangenter godtyckligt nära origo från höger kommer inte ha samma lutning som tangenter godtyckligt nära origo från vänster. Där av är funktionen  f(x)=xf\left(x\right)=\left|x\right|ƒ (x)=|x|  inte deriverbar i x=0x=0x=0

Exempel i videon

  • Exempel på hur derivatan beter sig utifrån en utritad funktion (tredjegradsfunktion).
  • Företaget ”Roligare nu” gör StandUp Comedy föreställningar. Chefen Per har modellerat en funktion för att beskriva intäkterna I(x) I(x) beroende på biljettpriset xx kr. Funktionen han har är I(x)=1000x10x2 I(x)=1000x-10x^2 . Vilket biljettpris ger maximal intäkt?