Gränsvärden

Exempel 1

Beräkna gränsvärdet  $ \lim\limits_{x \to 3} $ $4+x$4+x 

Lösning

Genom att låta $x$x närma sig värdet $3$3 kommer uttrycket närma sig värdet $7$7, därför att 

$ \lim\limits_{x \to 3} $ $4+x=$4+x= $4+3=7$4+3=7 

Exempel 2

Beräkna gränsvärdet $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{3h+h^2}{h}$3h+h²h  

Lösning

Ersätter vi  $h$h med noll direkt, får vi en nolldivision, alltså en kvot där nämnaren är noll. Då kan vi inte beräkna kvotens värde och därmed inte gränsvärdet. Därför förenklar vi först uttrycket till

 $\frac{3h+h^2}{h}=\frac{h\left(3+h\right)}{h}=\frac{3+h}{1}=$3h+h²h =h(3+h)h =3+h1 = $3+h$3+h  

Nu beräknar vi gränsvärdet genom att ersätta $h$h med noll.

$ \lim\limits_{h \to 0} $ $\left(3+h\right)=3+0=3$(3+h)=3+0=3 

Exempel 3

Beräkna gränsvärdet  $ \lim\limits_{x  \to \infty} $  $\frac{4}{x}+$4x +$6$6  

Lösning

Genom att låta $x$x närma sig oändligt stora positiva värden kommer uttrycket närma sig värdet $6$6, därför att 

$ \lim\limits_{x \to \infty} $  $\frac{4}{x}+$4x +  $6=0+6=6$6=0+6=6    

Exempel 4

Beräkna gränsvärdet  $ \lim\limits_{x  \to \infty} $  $\frac{4x^3-3x}{2x^2-5}$4x³−3x2x²−5  

Lösning

Att direkt ersätta $x$x med oändligheten ger  $\frac{\infty}{\infty}$∞∞  vilket inte är definierat. Även om vi förkortar uttrycket får vi att 

 $ \lim\limits_{x  \to \infty} $  $\frac{4x^3-3x}{2x^2-5}=$4x³−3x2x²−5 = 

$ \lim\limits_{x  \to \infty} $  $\frac{x^3}{x^2}\cdot\frac{4-\frac{3}{x^2}}{2-\frac{5}{x^2}}=$x³x² ·4−3x² 2−5x²  = 

$ \lim\limits_{x  \to \infty} $   $x\cdot$x·$\frac{4-\frac{3}{x^2}}{2-\frac{5}{x^2}}=$4−3x² 2−5x²  = 

 $\infty\cdot\frac{4+0}{2+0}=\infty\cdot2$∞·4+02+0 =∞·2 

som inte är definierat som ett gränsvärde och vi säger att gränsvärdet är oegentligt.

Exempel 5

Avgör om gränsvärdet existerar för  $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{1}{x^3}$1x³  $+2$+2  genom att rita grafen till funktionen.

a) $ \lim\limits_{x  \to 0} f(x) $

b) $ \lim\limits_{x  \to \infty} f(x) $

Lösning

Vi ritar grafen.

a) Då $ \lim\limits_{x  \to 0^{-}} f(x)=-\infty $ och $ \lim\limits_{x  \to 0^{+}} f(x)=+\infty $ är gränsvärdet inte det samma från höger och vänster och existerar därmed inte. Vi säger att gränsvärdet saknas.

b) Vi ser att grafen närmar sig $y$y-värdet $2$2 då $x$x går mot oändligheten och vi får därmed att gränsvärdet existerar. Vi får att $ \lim\limits_{x  \to \infty} f(x)=2 $

Exempel 6

Beräkna gränsvärdet  $ \lim\limits_{x  \to 3} $   $\frac{6}{x}+\frac{8x}{6}$6x +8x6    

Lösning

Vi delar upp uttrycket i två funktionsuttryck där  $f\left(x\right)=$ƒ (x)=  $\frac{6}{x}$6x  och  $g\left(x\right)=$g(x)= $\frac{8x}{6}$8x6   och beräknar gränsvärdena var för sig.

$ \lim\limits_{x \to 3} f(x)= \lim\limits_{x \to 3} $  $\frac{6}{x}=\frac{6}{3}$6x =63  $=2$=2    

och 

$ \lim\limits_{x \to 3} g(x)= \lim\limits_{x \to 3} $  $\frac{8\cdot3}{6}=\frac{24}{6}$8·36 =246  $=4$=4    

vilket ger att

$ \lim\limits_{x \to 3}(f(x)+g(x))=$$2+4=6$2+4=6 

Exempel 7

Grafen beskriver exponentialfunktionen   $y=-0,7^x+5$y=−0,7^x+5. Bestäm funktionens gränsvärde då $x$x blir oändligt stort.

Lösning

Genom att studera grafen ser vi att funktionen närmar sig värdet  $y=5$y=5 då funktionen antar större och större värde på  $x$x .

Algebraiskt kan vi beräkna detta genom att sätta in större och större värden för $x$x.

 $x=10$x=10 ⇒ $y\left(10\right)=-0,7^{10}+5\approx-2,8\cdot10^{-1}+5=4,72$y(10)=−0,7¹⁰+5≈−2,8·10⁻¹+5=4,72

 $x=100$x=100 ⇒   $y\left(100\right)=-0,7^{100}+5\approx-3,23\cdot10^{-16}+5\approx0+5=5$y(100)=−0,7¹⁰⁰+5≈−3,23·10⁻¹⁶+5≈0+5=5 

x=1 000 ⇒ $y\left(1\text{ }000\right)=-0,7^{1\text{ }000}+5\approx-1,25\cdot10^{-155}+5\approx0+5=5$y(1 000)=−0,7^{1 000}+5≈−1,25·10⁻¹⁵⁵+5≈0+5=5 

x=1 000 000 ⇒ $y\left(1\text{ }000\text{ }000\right)=-0,7^{1\text{ }000\text{ }000}+5\approx-1,10\cdot10^{-154\text{ }902}+5\approx0+5=5$y(1 000 000)=−0,7^{1 000 000}+5≈−1,10·10^{−154 902}+5≈0+5=5 

Vi ser att för  $x=1\text{ }000\text{ }000$x=1 000 000 får  $y\left(1\text{ }000\text{ }000\right)=-0,7^{1\text{ }000\text{ }000}+5\approx0+5=5$y(1 000 000)=−0,7^{1 000 000}+5≈0+5=5. 

Det innebär att gränsvärdet för funktionen när $x$x blir oändligt stort är $5$5. 

Med ett matematiskt språk skriver vi

$ \lim\limits_{x \to ∞} $ $-0,7^x+5=0+5=5$−0,7^x+5=0+5=5 

Vi skulle även kunna resonera oss fram till svaret genom att veta att en bas som finns i intervallet  $0<$0< $a<1$a<1 kommer att bli mindre och mindre ju större exponenten blir. Till slut kommer värdet vara så litet att vi kan räkna med det som värdet noll.

Exempel 8

Undersök om den rationella funktionen $f(x)= $ $\frac{x^2-6x}{x^2-5x}$x²−6xx²−5x  är kontinuerlig i punkterna $x=0$ och $x=5$.

Lösning

En funktion är kontinuerlig om den är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd.

Vi ser att vi får nolldivision för  $x=0$x=0 och $x=5$x=5 vilket ger att det rationella uttrycket inte är definierat för dessa värden. Men hur är det med den rationella funktionen?

Vi undersöker om vi kan utvidga definitionsmängden för den rationella funktionen med hjälp av gränsvärdena då $x\rightarrow 0$ och  $x\rightarrow 5$. 

Vi beräknar gränsvärdet för  $x\rightarrow0 $ och får att

$ \lim\limits_{x \to 0} f(x)= $ $\frac{x^2-6x}{x^2-5x}=$x²−6xx²−5x =$ \lim\limits_{x \to 0} f(x)= $  $\frac{x\left(x-6\right)}{x\left(x-5\right)}=$x(x−6)x(x−5) =$ \lim\limits_{x \to 0} f(x)= $ $\frac{x-6}{x-5}=$x−6x−5 = $\frac{-6}{-5}=$−6−5 = $1,2$1,2 

vilket ger att gränsvärdet existerar och vi kan utvidga definitions- och värdemängden med hjälp av gränsvärdet  $f\left(0\right)=1,2$ƒ (0)=1,2.

Däremot kan vi inte definiera $f\left(5\right)$ eftersom $ \lim\limits_{x \to 5} f(x)$ inte existerar. Vi kan avgöra detta grafiskt genom att skissa grafen till den rationella funktionen.

Vi ser att då vi närmar oss  $x=5$x=5 från vänster gäller att

$ \lim\limits_{x \to 5^-} f(x) $ går mot oändligt stora positiva funktionsvärden

och då vi närmar oss  $x=5$x=5 från höger ger att

$ \lim\limits_{x \to 5^+} f(x) $ går mot oändligt stora negativa funktionsvärden

vilket leder till att

$ \lim\limits_{x \to 5^+} f(x) \ne \lim\limits_{x \to 5^-} f(x)  $

och vi saknar därmed ett gränsvärde då $x$x går mot $5$5.

Den rationella funktionen $f$ƒ  är kontinuerlig. Och med hjälp av gränsvärdet kan vi även lägga till $x=0$ i definitionsmängden så att  $f$ƒ   blir kontinuerlig även för  $x=0$x=0. Men inte $x=5$ då gränsvärdet $ \lim\limits_{x \to 5} f(x)$ inte existerar.