Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Aritmetik, polynom och rationella Uttryck
Vad är ett rationellt uttryck?
Innehåll
Rationella uttryck- vad är det?
Ett rationellt uttryck är en kvot av två polynom, alltså där både täljaren och nämnaren är polynom. Precis som för de rationella talen (bråktalen) får nämnaren aldrig vara lika med noll, för att uttrycket ska vara definierat.
Ett polynom är en summa av konstant- och variabeltermer, där variablerna alltid är basen av en potens med en exponenter som tillhör de naturliga talen.
Det här avsnittet i kursen handlar bland annat om att förfina och vidare utveckla dina aritmetiska och algebraiska förmågor. Till din hjälp behöver du regler i aritmetiken som vi jobbade med i Ma2b eller Ma2c.
Definition av rationella uttryck och funktioner
Vi börjar med att ange definitionen av rationella uttryck. De rationella uttrycken kan adderas, subtraheras, multipliceras och divideras utifrån gällande räkneregler av bråk och på så sätt skapas nya rationella uttryck.
Ett rationellt uttryck en kvot av två polynom $p(x)$p(x) och $q(x)$q(x).
$\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$p(x)q(x) där $q(x)\ne0$q(x)≠0 .
En rationell funktion är en funktion definierad av ett rationellt uttryck. Vi kommer i denna kurs särskilt ge uppmärksamhet åt de rationella funktionernas nollställen och definitionsmängd.
En rationell funktion $r\left(x\right)$r(x) definieras av kvoten av polynomen $p(x)$p(x) och $q(x)$q(x).
$r\left(x\right)=$r(x)= $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$p(x)q(x) där $q(x)\ne0$q(x)≠0 .
Här följer några exempel på rationella funktioner.
Exempel 1
$r(x)=$r(x)= $\frac{x+3}{x^2-9}$x+3x2−9
$r\left(x\right)$r(x) är en rationell funktion, där polynomet i täljaren är $p\left(x\right)=x+3$p(x)=x+3 och polynomet i nämnaren är $q\left(x\right)=x^2-9$q(x)=x2−9
Exempel 2
$r(x)=$r(x)= $\frac{5}{x}$5x
$r\left(x\right)$r(x) är en rationell funktion, där polynomet i täljaren är $p\left(x\right)=5$p(x)=5 och polynomet i nämnaren är $q\left(x\right)=x$q(x)=x
Som vi just sett, kan ett polynom bestå av endast en term som är en konstant. I exemplet var konstanten $5$5. Ett polynom som beskrivs a en konstant $k$k är av graden noll eftersom att $k\cdot x^0=k$k·x0=k där $k$k.
På liknade vis är alla polynom rationella uttryck då $p\left(x\right)=$p(x)=$\frac{p\left(x\right)}{1}$p(x)1
När är ett rationellt uttryck definierat eller inte definierat?
Precis som vi nämnde så finns det för rationella uttryck ibland värden för $x$x där uttrycket inte är definierat.
Ett rationellt uttryck är inte definierat för de $x$x -värdena, som ger att nämnaren blir lika med noll.
Division med noll är inte definierat för de talen vi räknar med i denna kursen, så därför är division med noll en ”förbjuden” operation. Vi kan därför inte heller beräkna uttryckets värde när nämnaren är lika med noll.
Exempel 3
Ange det rationella uttrycket $\frac{x^2+x}{10-x}$x2+x10−x definitionsmängd.
Lösning
Om nämnaren antar värdet noll är uttrycket inte definierat. Det är definierat för alla andra värden på $x$x.
$10-x=0$10−x=0 då $x=10$x=10 .
Alltså gäller att uttrycket är definierat för alla $x$x förutom $x=10$x=10. Vi kan skiva uttryckets definitionsmängd som $x\ne10$x≠10.
Exempel 4
När är det rationella uttrycket $\frac{x+10}{x^2-x}$x+10x2−x inte definierat?
Lösning
Vi tar reda på när nämnaren $x^2-x=0$x2−x=0 eftersom att uttrycket då inte är definierat.
$x^2-x=0$x2−x=0 bryt ut $x$x
$x(x-1)=0$x(x−1)=0
Nollproduktmetoden ger att
$\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=1\end{cases} $
Uttrycket är inte definierat för $x_1=0$x1=0 och $x_2=1$x2=1
Beräkna ett rationellt uttrycks värde
Vi beräknar ett rationellt uttrycks värde på samma vis som ett funktions värde, genom att byta ut variablerna mot variabelns värde.
Exempel 5
Beräkna värdet för $r(x)=$r(x)= $\frac{3x+x^2}{11x-2}$3x+x211x−2 då $x=2$x=2
Lösning
$r(2)=$r(2)= $\frac{3\cdot2+2^2}{11\cdot2-2}=$3·2+2211·2−2 = $\frac{6+4}{22-2}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$6+422−2 =1020 =12
När används rationella uttryck?
Att känna till och att kunna hantera polynom och rationella uttryck med aritmetikens lagar, är en del av kurserna Ma3b och Ma3c.
Funktioner vars funktionsuttryck är rationella uttryck, kallas lämpligt vis rationella funktioner. Dessa ska vi kunna bestämma definitions- och värdemängd till.
Arbetet i algebran med förenkling av uttrycken, är ett viktigt mål i sig självt. I denna kurs behöver man ofta ta hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna. Det blir även nödvändigt att kunna förenkla rationella uttryck för att klara av en annan central del av kursen, nämligen derivatan.
Derivatan definieras nämligen av ett rationellt uttryck. Din förmåga att kunna utveckla och förenkla rationella uttryck kommer då att vara mycket användbar.
Exempel i videon
- Exempel på när $\frac{5x^2+x}{2x+10}$ inte är definierat.
- För vilket x är uttrycket $P(x)= \frac{3{x}-2}{x-1}$ inte definierat?
- För vilka x är uttrycket $P(x)= \frac{4}{2x^2-16{x}-18}$ inte definierat?
- Beräkna $P(-2)$ då$P(x)=\frac{12-x}{24-x^2}$.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (13)
-
1. Premium
Vilket påstående beskriver ett polynom?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Introduktion till Rationella uttryckLiknande uppgifter: Algebra begrepp definition polynom rationellt uttryckRättar... -
2. Premium
Vilket påstående beskriver ett rationellt uttryck?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Introduktion till Rationella uttryckLiknande uppgifter: Algebra begrepp definition polynom rationellt uttryckRättar... -
3. Premium
Ragnars mobilabonnemang kostar $300$300 kronor i fast månadskostnad och $0,5$0,5 kr per samtalsminut. Antag att han ringer $s$s minuter under ett helt år.Vilket uttryck beskriver den genomsnittliga samtalskostnaden per minut?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
4. Premium
Vilket av följande uttryck är inte ett polynom?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
5. Premium
Vilket av följande uttryck är inte ett rationellt uttryck?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
6. Premium
Vilket eller vilka uttryck nedan är rationella uttryck?
A. $\frac{4^x}{3+x}$4x3+x
B. $\frac{4x^3}{3+x}$4x33+x
C. $4\cdot3^x$4·3x
D. $\frac{x^3}{4^x}$x34x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: Matematik 3 rationellt uttryckRättar...7. Premium
För vilket värde på x är det rationella uttrycket $\frac{16+x}{16-x}$16+x16−x inte definierat?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
För vilket $x$x-värde är det rationella uttrycket inte definierat?
$\frac{x^3-3}{x-1}$x3−3x−1
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: aritmetik definitionsmängd rationella uttryckRättar...9. Premium
För vilka värden på $x$x är det rationella uttrycket $\frac{x}{x^2-1}$xx2−1 inte definierat?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...10. Premium
För vilket eller vilka värden på $x$x är det rationella uttrycket $f\left(x\right)$ƒ (x) inte definierat?
$f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{2x^2+8x-10}{10-8x}$2x2+8x−1010−8x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: definitionsmängd nolldivision rationellt uttryck skilt från nollRättar...11. Premium
För vilka värden på $x$x är det rationella uttrycket $\frac{1000}{3x^2+54x+51}$10003x2+54x+51 inte definierat?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...12. Premium
Grafen visar funktionen till $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{x}{x-1}$xx−1
För vilket $x$x-värde är funktionen inte definierad?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Definitionsmängd och VärdemängdLiknande uppgifter: aritmetik rationella Uttryck definitionsmängdRättar...13. Premium
Beräkna värdet för $R(x)=$R(x)= $\frac{6x^2-2}{(x-1)^2}$6x2−2(x−1)2 då $x=-1$x=−1.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Maria Peshkova
Hej, kan någon förklara hur man får svaret på fråga 11, till x=5/4?
Per Eriksson
Hej,
Videon och provet verkar inte riktigt stämma överens. I videon så nämns att definitionen av ett rationellt uttryck är att täljaren och/eller nämnaren består av polynom.
I provet så ges dock bara rätt för om man svarar att både täljaren och nämnaren är ett polynom.
Mvh Per
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Jag har korrigerat videon i detta avseende. Det bör alltså stå nämnare och täljare är polynom.
Olga Piksina
Hej Simon,
Förstår inte riktigt uppgiften 2. Ett rationellt uttryck är ju väl en kvot av två polynom, dvs att en variabel måste finnas i både täljaren och nämnaren. Och även om en negativ exponent ger en kvot finns variabeln i endast nämnaren i uppgiften. Räknas detta ändå som ett rationellt uttryck?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det måste inte vara variabler för att det skall ses som ett rationellt uttryck. Även $p(x)=10$ är tex ett polynom.
Olga Piksina
Tack för ditt svar!
Men måste då finnas en variabel i uttrycket överhuvudtaget eller vilken som helst kvot, t.ex. 3/10 är ett rationellt uttryck?
Simon Rybrand (Moderator)
Ja så är det! Även 3/10 är ett rationellt uttryck även om man oftast benämner det som ett rationellt tal.
Karl
Jag har också lite problem med uppgift 3. (x-1)^2. Jag tänker att det ska vara kvadreringsregel, men det kan inte stämma?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Nej där behöver du egentligen inte utveckla parentesen först med en kvadreringsregel utan det räcker med att sätta in $x=-1$. Så att du får
$ (-1-1)^2=(-2)^2=4 $
oliverkalthoff
I uppgift 3 i nämnaren, efter man satt in -1 istället för X. Jag kan inte förstå hur ni får ((-1)-1)^2 till 4?
oliverkalthoff
det var inget.. tänkte att det skulle gångas i parantesen, dvs: -1 x -1 men så var inte fallet.
Elin Nilsson
På uppgift 3 förstår jag inte vad som händer i täljaren? Hur kan 6(-1)^2-2 bli till 6-2 bara? Jag fick det till 36-2.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Tänk på att det endast är (-1) som skall upphöjas med 2 och inte 6 så det står
$ 6⋅(-1)^2 = 6⋅1 = 6 $
Om det hade stått $ (6x)^2 $ i det rationella uttryckets täljare hade det varit så som du skriver.
Hanna Fox
Hej, jag har svårt med matte och har fått c i matte 1 och 2. Jag skulle vilja öka det till att möjligtvis kunna få ett ha. Har du några förslag på hur jag ska använda mig av matematikvideo för att nå mitt mål?
Hanna Fox
ett a i matte 3b menar jag
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Jag tror att du här kommer att få en bra kunskap av all grundläggande teori med begrepp, metoder och mängder av exempel. Det här är grundförutsättningen för att du skall kunna ta steget och höja ditt betyg vilket ofta betyder att du skall förbättra din problemlösning. Om man har bra grundläggande förståelse för matematiken så ökar möjligheten att bli en bra problemlösare markant.
Sedan har vi rätt mycket problemlösningsgenomgångar där du även får se exempel på och träna de svårare problemen.
Jag önskar dig lycka till med dina studier och mål med dessa!
vitti
Tjaa! Ville bara säga tack som faan!! Jag fick VG på min prövning i matte c tack vare dig!
Jag har alltid vart dålig i matte, fick bara g i a och b kurserna. Du e grym!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Kul att höra att det gick bra! Fortsatt lycka till med pluggandet!
dinmamma777
Kör i firefox så slutar klippen haka upp sig.
Mohamed Osman
Tack. Det gör jag så då.
Mohamed Osman
Efter nya webbdesign går hemsidan mycket långsamt. Ibland startar videon inte. Är något fel som alla har eller bara jag?.
Jag tror att den gamla versionen var mycket lättare och bättre än denna, när det gäller videor men allt annat är bra.
Tack på förhand.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Om det går långsammare att få igång videos så kan en lösning för dig vara att prova webbläsaren Google Chrome (om du inte redan använder den).
Vi vet om och jobbar med att det ibland tar längre tid att ladda in en video, om du vill så får du gärna kontakta oss på support@matematikvideo.se så har vi några knep till för att få det att gå snabbare.
pauline
Tycker det är svårt med rationella uttryck. Vad kan jag repetera i matematik 2 för att underlätta?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Tycker att det kan vara bra att repetera bråktal och bråkräkning och hela algebrakapitlet i Matematik 2. Det kommer att hjälpa dig att få bättre grunder i algebra och därmed göra det enklare att förstå rationella uttryck.
Endast Premium-användare kan kommentera.