Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik fortsättning nivå 1
/ Derivata och deriveringsregler
Deriveringsregler Potensfunktioner
Innehåll
Deriveringsregeln för potensfunktioner
Precis som vi nämt tidigare, kan alla deriveringsregler härledas från derivatans definition. Med hjälp av reglerna förenklar och effektiviserar vi deriveringen. I denna lektion presenterar vi deriveringsregeln för potensfunktionen. Den är identisk med regeln för polyomfunktioner eftersom att en polynomfunktion är en typ av en potensfunktion.
För att möjliggöra användandet av regeln måste vi oftast skriva om potensfunktionen i potensform innan vi tillämpar regeln.
Potensregler som är viktiga för derivering av potensfunktioner
Följande potensregler används ofta för att skriva om uttrycken i potensform.
$a^0=1$a0=1
$a^{-n}=$a−n= $\frac{1}{a^n}$1an
$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$√a=a12
$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$n√a=a1n
Det kan alltså vara bra att känna till dessa eller ha dem nära till hands när du deriverar potensfunktioner.
Viktigt att tänka på när man använder deriveringsreglerna
Förutom dessa omskrivningar så gäller samma deriveringsregler för potensfunktioner som också gäller för polynomfunktioner, nämligen att
Fyra bra kom ihåg när du deriverar potensfunktioner
-
Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.
-
Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.
-
Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.
-
Skriv om i potensform innan du deriverar, om uttrycket har variabeln i nämnaren eller återfinns under ett rottecken. Följande två potensregler är användbara för detta.
$\frac{1}{a^n}$1an $=a^{-n}$=a−n som ger att $\frac{k}{x^n}=$kxn = $kx^{-n}$kx−n
$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$n√a=a1n som ger att $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$√x=x12
Nu visar vi exempel med potensfunktioner. Först med en lösning i bråkform och sedan i decimalform. Vilken du använder spelar ingen roll. De är likvärdiga. Men för tal med andra siffror kan de två olika varianterna vara olika fördelaktiga. Så det är bra om du kan båda sätten.
Exempel 1 -Bråkform
Derivera $f(x)=2\cdot\sqrt{x}$ƒ (x)=2·√x
Lösning
Vi börjar med att skriva om funktionen i potensform med hjälp av potensregeln $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$√a=a12 .
$f(x)=2\cdot\sqrt{x}=2\cdot x^{\frac{1}{2}}$ƒ (x)=2·√x=2·x12
Derivatan blir enligt deriveringsregeln
$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\cdot x^{-\frac{1}{2}}$ƒ ’(x)=12 ·2·x−12 vilket i nu kan skriva om igen på formen $f’\left(x\right)=1\cdot x^{-\frac{1}{2}}=$ƒ ’(x)=1·x−12 = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$1x12 =1√x
En del föredrar decimalform framför bråkform. Vi gör nu samma exempel i decimalform för den som vill.
Exempel 1- Decimalform
Derivera $f(x)=2\cdot\sqrt{x}$ƒ (x)=2·√x
Lösning
Vi börjar med att skriva om funktionen i potensform med hjälp av potensregeln $\sqrt{a}=a^{0,5}$√a=a0,5.
$f(x)=2\cdot\sqrt{x}=2\cdot x^{0,5}$ƒ (x)=2·√x=2·x0,5
Derivatan blir enligt deriveringsregeln
$f'(x)=0,5\cdot2\cdot x^{-0,5}$ƒ ’(x)=0,5·2·x−0,5 vilket i nu kan skriva om igen på formen $f’\left(x\right)=1\cdot x^{-0,5}=$ƒ ’(x)=1·x−0,5=$\frac{1}{x^{0,5}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$1x0,5 =1√x
I exemplet här ovan tillämpar vi potensreglerna både för att skriva om funktionen och för att skriva om derivatan. Så återigen så kan det vara viktigt att nämna att dessa är bra att kunna utantill alternativt ha nära till hands i exempelvis ett formelblad.
Exempel 2
Derivera $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{4}{x^3}$4x3
Lösning
Vi skriver om funktionen i potensform med hjälp av regeln$\frac{1}{a^n}=$1an = $a^{-n}$a−n, för att sedan lättare utföra deriveringen.
$f(x)=$ƒ (x)= $\frac{4}{x^3}=$4x3 = $4x^{-3}$4x−3 ⇒ $f'(x)=-3\cdot4x^{-3-1}=-12x^{-4}=$ƒ ’(x)=−3·4x−3−1=−12x−4= $-\frac{12}{x^4}$−12x4
Tyckte du det var svårt att förstå hur omskrivningen gick till är här ett försök att förtydliga det.
$\frac{4}{x^3}=\frac{4\cdot1}{1\cdot x^3}=\frac{4}{1}\cdot\frac{1}{x^3}=$4x3 =4·11·x3 =41 ·1x3 = $4\cdot x^{-3}$4·x−3
och
$-12x^{-4}=$−12x−4= $\frac{-12\cdot x^{-4}}{1\cdot1}=-\frac{12}{1}\cdot\frac{x^{-4}}{1}=-\frac{12}{1}\cdot\frac{1}{x^4}=-\frac{12}{x^4}$−12·x−41·1 =−121 ·x−41 =−121 ·1x4 =−12x4
Du behöver inte redovisa alla dessa steg i din uträkning. Men kanske de är bra att göra till en början, om du tycker att det är lite hokuspokus hur siffror och variabler rör sig upp och ner i bråken.
Exempel i videon
- Exempel på användning av potenslagarna $ a^{-x} = \frac{1}{a^{x}}, a ≠ 0 $ och $ a^{1/n}=\sqrt[n]{a} $.
- Derivera $ f(x)=-4x^{-5} $.
- Derivera $ f(x)=4x^{\frac12} $
- Derivera $ f(x)=\sqrt{x} $
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (14)
-
1. Premium
Skriv $\sqrt{x}$√x i potensform
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Potenser med rationella exponenterLiknande uppgifter: potenser rationella exponenterRättar...2. Premium
Skriv $\frac{1}{x^5}$1x5 i potensform
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Potenser med rationella exponenterLiknande uppgifter: potenser potensform potensreglerRättar...3. Premium
Skriv $\frac{7}{x}$7x i potensform
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Potenser med rationella exponenterLiknande uppgifter: potenser potensform potensreglerRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Skriv $\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt{x}$3√x·√x i potensform
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Kvadratrötter - Roten urLiknande uppgifter: potenser rationella exponenterRättar...5. Premium
Derivera $f(x)=x^{3,5}$ƒ (x)=x3,5
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: deriveringsregler potensfunktionerRättar...6. Premium
Derivera $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{1}{x^2}$1x2
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: deriveringsregler potensfunktionerRättar...7. Premium
Derivera $f(x)=\sqrt{x}$ƒ (x)=√x
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: deriveringsregler potensfunktionerRättar...8. Premium
Derivera $f(x)=x^{\frac{6}{5}}$ƒ (x)=x65 och svara med ett rotuttryck.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: deriveringsregler potensfunktionerRättar...9. Premium
Per-Erik har fått fel på ett prov när han skrev så här.
Välj det alternativ du anser stämmer bäst med hans redovisning.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och deriveringsregler Deriveringsregler PotensfunktionerRättar...10. Premium
Derivera $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{4}{x^4}$4x4
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och deriveringsregler Deriveringsregler Potensfunktioner Matematik 3Rättar...11. Premium
Derivera $f(x)=6\sqrt{x}$ƒ (x)=6√x
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...12. Premium
Bestäm derivatan i punkten $x=0,25$x=0,25 för $f(x)=\sqrt{x}$ƒ (x)=√x
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och deriveringsregler Deriveringsregler Potensfunktioner Matematik 3Rättar...13. Premium
Bestäm derivatan $f´(4)$ƒ ´(4) då $f(x)=4\sqrt{x}$ƒ (x)=4√x med hjälp av deriveringsreglerna.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...14. Premium
Derivera $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{12}{x}+$12x +$8x$8x
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata deriveringsreglerRättar...c-uppgifter (6)
-
15. Premium
Derivera $f(x)=x^{-3}-3\sqrt{x}$ƒ (x)=x−3−3√x och välj vilket alternativ som motsvarar funktionens derivata.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
16. Premium
Derivera $f(x)=\frac{x^4}{2}-2\sqrt{x}$ƒ (x)=x42 −2√x
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Potenser med rationella exponenterLiknande uppgifter: Derivata deriveringsregler potensfunktionerRättar...17. Premium
Vilket potensfunktion $p(x)$p(x) har derivatan $p'(x)=$p’(x)=$-\frac{12}{x^4}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$−12x4 +12√x ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...18. Premium
Derivera $f(x)=\sqrt{9x}+x^2$ƒ (x)=√9x+x2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata derivering deriveringsregler potensfunktionerRättar...19. Premium
Derivera $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{2}{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}$2x +2√x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Potenser med rationella exponenterLiknande uppgifter: Derivata derivatan deriveringsregler potensfunktionRättar...20. Premium
Derivera $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{2}{3x}+\frac{3x}{2}$23x +3x2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata deriveringsregler nationella prov polynomfunktionerRättar...a-uppgifter (1)
-
21. Premium
Bestäm $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sqrt{4+h}+1-(\sqrt{4}+1)}{h}$√4+h+1−(√4+1)h och svara exakt.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Redigera uppgift Stäng Kopiera abc-fråga Flytta abc-fråga Länka abc-fråga Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
Anton Sandell Bergqvist
Uppgift 7.
Derivera f(x)= ((roten ur(x)
Ditt svar: f'(x)=0,5x^(-0,5)
Jag fick fel här. Men det ÄR rätt.
Skulle jag fått fel på ett prov om jag svarade så?
David M
Tack för en jättebra video! En fråga om sista exemplet i videon som förenklas till 1/2*sqrt(x): borde det inte gå att förenkla vidare till 1/x pga sqrt(x)*sqrt(x) =x?
David M
Ursäkta, tänkte fel här! Förväxlade två gånger roten ur x med roten ur x upphöjd till två:
2*sqrt(x)≠sqrt(x)*sqrt(x) utan 2*sqrt(x) precis som ni skriver i exemplet, enligt t.ex. 2*sqrt(16)=2*4=8 medan sqrt(16)^2=4*4=16.
Salem Alemiye
Hej, på uppgift 7 så är 2 av svarsalternativen samma och jag får p(x)=4x⁻³+√x vilket egentligen ’borde’ vara med bland dessa svarsalternativ
Benjamin Larsson
Hej!
Jag skulle behöva hjälp att derivera \left(x-1\right)/x^2
Mvh Benjamin
Benjamin Larsson
Blev fel i förra kommentaren! Skulle behöva hjälp att derivera (x-1)/x^2
Mvh Benjamin
Benjamin Larsson
Tack! Var inga konstigheter med kvotregeln! Talet är från exponent 3b så den fans värken med i boken eller formelbladet.
Calle
Hej!
Jag undrar hur jag deriverar 2/x?
Mvh Calle
Sebastian Gren
Hur bäreknar jag (1/rotenurx)^3
Sebastian Gren
Glömde när f'(2)
f(x)=2*(1/rotenurx)^3
Ali Abed
hej!
Tack för mycket bra videos =)
Trots mycket bra videos så förstår jag inte detta.
Derivera- f(x) = 2/x+ roten ur X.
Jag förstår inte varför det ska bli 2/X^2 i första ledet.
Tacksam för svar
Sebastian Gren
Hallå. igen hur skulle du lösa denna uppgift. 3√(x)-2x^2+³√(x)
Vill se om jag har löst den på rätt set eller inte. Tack på förhand
Sebastian Gren
Hej skulle jag kunna få lite hjälp med en uppgift.
derivera
g(x)= 3/x^3
svaret ska vara 9/4x
Fins det något simpelt sätt att räkna utt detta?
Marko
4√x+5
4*x^1/2
1/2*4*x^1/2-1
2*x^-1/2 = 2/x^1/2
Vet inte om du förstår min uträkning, men om du gör det.. Vill du berätta för mig om jag har tänkt/gjort rätt?
Philip Jönsson
Hej jag har så otroligt svårt att förstå hur 1/2 * x blir 2 och inte 0.5?
Philip Jönsson
Syftar då på fråga 2 bland övningar!
sara94
Hej
jag har svårt att derivera bråk, finns det en video om hur deriverar man ett bråk?
jag har en fråga här
y= 1/x + 5/x^2
sara94
tack så mycket, det hjälpte mig mycket
Xiaoting Chen
hej, den här uppgiften gör mig lite förvirrad.
y=√x/3
nti_ma3
Ett av exemplena gör mig förvirrad.
20x^-6 = 20 / x^6 eller hur?
Men i sista exemplet 1/2x^-1/2 = 1 /2x^1/2
Men reglerna säger ju att a som i sista fallet är 1/2 ska stå ovanför bråkstrecket. Varför hamnar 2an nedanför? Ska det inte stå (1/2)/ x^1/2?
Ulf
skulle behöva få förklarat
derivering av f(x) roten ur x delat med 5
folkuniv
Hej! Jag undrar om det är någon skillnad på om konstanten står själv där nere eller där uppe och i så fall hur man skriver om det/räknar ut det?
folkuniv
y=x^2/2-x^6/3 är den jag funderar över just nu.
starmarket
Hur löser man:
Bestäm f'(x) om f(x) = 3√x-5/√x ?
nti_ma3
Hej!
När jag försökte lösa andra C-uppgiften stod det att x= 0,25 men när den rättades var x=0,5. Hur kommer det sig? Och är det facit eller uppgiften som har fel x?
Tack på förhand!
Ullvi3
Hej, jag förstår inte riktigt hur jag löser detta: y’ = 0 då y= 2x + 50/x samt y’ = 0 då y= 5x + 20/x^2
Tack på förhand!
Ultimecea
Hej! Jag har exakt den här uppgiften som problem just nu. Jag ska beräkna y'(0). Enligt lösningen får man då 2x^2-50 vilket jag tycker låter lite konstigt. Jag får inte ihop varför man flyttar upp x^2 till 2:an innan -50.
addesnillet
Gött nu fattar ja! 🙂 tack så mycker för du svara så snabbt! uppskattas!
addesnillet
Hej! förstår inte riktigt varför $ \frac{1}{2} x^{ – \frac{1}{2} } = \frac{1}{2x^{1/2}} $. som förklaras i videon vid 6.34 🙂 tack föresten tror ja kanske klarar kurser pågrund utan dessa videos!
Endast Premium-användare kan kommentera.